Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА ІІ ГЕОМЕТРІЯ

РОЗДІЛ 1 ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§5. ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПЛОЩИН

1. Взаємне розміщення двох площин

Як стверджується в аксіомі СIII, якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій. Отже, можна дійти висновку, що є два випадки взаємного розміщення двох площин:

1) площини можуть перетинатися по прямій (мал. 5.1);

2) площини можуть не мати спільних точок (мал. 5.2).

Мал. 5.1

Мал. 5.2

2. Паралельні площини

Дві площини називають паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

На малюнку 5.2 площини а і β паралельні, це позначають так: а || β.

Уявлення про паралельні площини в повсякденному житті дають, наприклад, дно та кришка закритої коробки, дві протилежні стіни кімнати, шибки склопакета тощо.

Теорема 1 (ознака паралельності площин). Якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим другої площини, то ці площини паралельні.

Доведення. Нехай а і β - дані площини (мал. 5.3), а1 і а2 - дві прямі, що лежать у площині а і перетинаються в точці А, b1 і b2 — дві прямі, що лежать у площині β, причому a1 || b1, а2 || b2.

Мал. 5.3

1) Маємо, що а1 || β, а2 || β (за ознакою паралельності прямої і площини).

2) Доведемо, що а || β від супротивного. Припустимо, що площини а і β не паралельні, тобто перетинаються по прямій с.

3) Пряма с лежить у площині а і не має спільних точок з a1. Дійсно, якби с і а1 перетиналися, то ця точка була б також точкою перетину прямої а1 і площини β, але ж а1 || β. Тому а1 || с.

4) Аналогічно а2 || с. Приходимо до того, що через точку А проходять дві різні прямі - а1 і а2, паралельні прямій с, що суперечить теоремі про існування прямої, паралельної даній.

5) Отже, наше припущення хибне, тому а || β.

Наслідок. Якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини паралельні іншій площині, то ці площини паралельні.

Задача 1. Побудувати паралельні площини, що проходять через дві дані мимобіжні прямі.

Розв’язання. Нехай а і b - мимобіжні прямі.

1) Через довільну точку прямої а проведемо пряму b1, паралельну b, а через довільну точку прямої b проведемо пряму a1, паралельну а (мал. 5.4).

2) Через прямі а і b1 проведемо площину а, а через прямі b і а1 - площину β.

3) Тоді а || β (за ознакою паралельності площин). Умову задачі виконано.

Мал. 5.4

Теорема 2 (про існування площини, паралельної даній). Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

Доведення цієї теореми не наводимо, оскільки воно є досить громіздким.

Довести, що дві площини, які паралельні третій площині, паралельні між собою.

Доведення. Нехай а || β і а || у. Доведемо, що β || у від супротивного.

1) Припустимо, що β і у перетинаються по деякій прямій m, а деяка точка А належить цій прямій.

2) Тоді маємо, що через точку А проходять дві площини β і у, паралельні площині а, що суперечить теоремі про існування площини, яка проходить через дану точку паралельно даній площині.

3) Отже, наше припущення хибне, тому β || у.

3. Властивості паралельних площин

Розглянемо деякі властивості паралельних площин.

1. Якщо дві паралельні площини перетнути третьою, то прямі перетину будуть паралельні.

Доведення. Нехай площина у перетинає паралельні площини а і β по прямих а і b відповідно (мал. 5.5).

1) Прямі а і b лежать в одній площині - площині у, тому вони або перетинаються, або паралельні.

2) Припустимо, що прямі а і b перетинаються в деякій точці. Тоді ця точка належить кожній із площин а і β, тобто площини перетинаються, що суперечить умові. Прийшли до протиріччя, отже, а || b.

Мал. 5.5

Мал. 5.6

2. Відрізки паралельних прямих, кінці яких належать двом паралельним площинам, рівні між собою.

Доведення. Розглянемо відрізки АВ і CD паралельних прямих, кінці яких належать двом паралельним площинам а і β (мал. 5.6).

1) За попередньою властивістю АС || BD.

2) Отже, АВ || CD і АС || BD, тому ABDC - паралелограм.

Тоді АВ = CD (за властивістю паралелограма).

Задача 3. Два промені зі спільним початком - точкою М - перетинають паралельні площини а і β у точках A1, В1 і А2, В2 відповідно (мал. 5.7). Довести, що трикутники А1МВ1 і А2МВ2 подібні.

Доведення. 1) Проведемо через прямі МА2 І МВ2 площину. Ця площина перетинає площину а по прямій A1B1, а площину β - по прямій А2В2.

2) За властивістю паралельних площин А1В1 || А2В2.

3) Розглянемо ∆А1МВ1 і ∆А2МВ2.

Кут М у них спільний, ∠MB1A1 = ∠MB2A2 (ЯК ВІДПОВІДНІ кути при перетині паралельних прямих А1B1 і А2В2 СІЧНОЮ МВ2).

4) Тому ∆А1МВ1 ∾ ∆А2МВ2 (за двома кутами).

Мал. 5.7

Яким може бути взаємне розміщення двох площин? Які площини називають паралельними? Сформулюйте й доведіть ознаку паралельності площин. Сформулюйте наслідок із неї. Сформулюйте теорему про існування площини, паралельної даній. Сформулюйте й доведіть властивості паралельних площин.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

5.1. Наведіть приклади паралельних площин у повсякденному житті.

5.2. Площини а і β паралельні. Пряма а лежить у площині а.

Яким є взаємне розташування прямої а і площини β?

5.3. Площини а і β паралельні. Пряма а лежить у площині а, пряма b — у площині β. Чи можуть прямі а і b перетинатися?

5.4. На малюнку 5.8 зображено прямокутний паралелепіпед.

Чи паралельні площини:

1)АВС і A1B1C1; 2) АВВ1 і ABC?

5.5. На малюнку 5.8 зображено куб. Чи паралельні площини:

1) AA1D і ACD; 2)ABB1 i CDC1?

5.6. Прямі т і п перетинаються в точці О і перетинають паралельні площини а і β в точках А, В, С і D відповідно (мал. 5.9). Яким є взаємне розміщення прямих АВ і CD?

Мал. 5.8

Мал. 5.9

Мал. 5.10

Мал. 5.11

5.7. Сторони кута АВС перетинають паралельні площини а і β в точках К, L, М і N відповідно (мал. 5.10). Яким є взаємне розташування прямих KL і MN?

5.8. Площини а і β паралельні. Точка М не належить жодній із них. Скільки існує прямих, які паралельні кожній із площин а і β та проходять через точку М?

5.9. Площини а і β паралельні. Точка Р не належить жодній із них. Скільки існує площин, які паралельні кожній із площин а і β та проходять через точку Р?

5.10. Відрізки ML і NK паралельних прямих m і n містяться між паралельними площинами а і β (мал. 5.11). Знайдіть:

1) MN, якщо LK = 3 см;   2) ML, якщо NK = 9 см.

5.11. Відрізки ML і NK паралельних прямих m і n містяться між паралельними площинами а і β (мал. 5.11). Знайдіть:

1) NK, якщо ML = 10 см;   2) LK, якщо MN = 4 см.

5.12. ABCDA1B1C1D1 - куб (мал. 5.8). Укажіть паралельні площини, яким належать мимобіжні прямі АА1 і DC. Відповідь обґрунтуйте.

5.13. ABCDA1B1C1D1 - прямокутний паралелепіпед (мал. 5.8). Укажіть паралельні площини, яким належать мимобіжні прямі АВ і В1С1. Відповідь обґрунтуйте.

5.14. Точка Р не лежить у площині трикутника АВС (мал. 5.12). Точки К, L, N - середини відрізків АВ, АС і АР відповідно. Доведіть, що площина KLN паралельна площині ВРС.

5.15. Прямі, що містять сторони АС і АВ трикутника ABC, паралельні площині а (мал. 5.13). Доведіть, що пряма ВС також паралельна площині а.

Мал. 5.12

Мал. 5.13

5.16. У площині β існують три прямі, паралельні площині а. Чи можна зробити висновок, що площини а і β паралельні?

5.17. Чи можуть бути паралельними площини, які проходять через мимобіжні прямі?

5.18. Доведіть, що коли пряма перетинає одну з двох паралельних площин, то вона перетинає і другу.

5.19. Площини а і β паралельні. Пряма а паралельна площині а і не лежить у площині β. Доведіть, що пряма а паралельна площині β.

5.20. Доведіть, що коли площина перетинає одну з двох паралельних площин, то вона перетинає і другу.

5.21. Площини а і β паралельні. Яким може бути взаємне розташування прямої а і площини β, якщо:

1) пряма а паралельна площині а;

2) пряма а перетинає площину а;

3) пряма а належить площині а?

До кожного з випадків виконайте відповідний малюнок.

5.22. Площини а і β перетинаються по прямій b. Яким може бути взаємне розміщення прямої а і площини β, якщо:

1) пряма а паралельна площині а;

2) пряма а перетинає площину а;

3) пряма а належить площині а?

До кожного з випадків виконайте відповідний малюнок.

5.23. Пряма а паралельна площині а. Яким може бути взаємне розміщення площин а і β, якщо:

1) пряма а належить площині β;

2) пряма а перетинає площину β;

3) пряма а паралельна площині β?

До кожного з випадків виконайте відповідний малюнок.

5.24. Пряма а перетинає площину а. Яким може бути взаємне розміщення площин а і β, якщо:

1) пряма а належить площині β;

2) пряма а перетинає площину β;

3) пряма а паралельна площині р?

До кожного з випадків виконайте відповідний малюнок.

5.25. Через точку О, яка лежить між паралельними площинами а і β, проведено прямі m і n (мал. 5.9). Пряма m перетинає площини а і β у точках А і D, а пряма n — у точках В і С відповідно. Знайдіть АВ, якщо ОС = О В і CD = 5 см.

5.26. Площини а і β паралельні. Паралельні прямі а і b перетинають площину а в точках А і В, a площину β - у точках С і D відповідно. Доведіть, що ∠ABC = ∠BCD.

5.27. Площини β і у паралельні. Паралельні прямі m і n перетинають площину β в точках М і N, а площину у - у точках К і L відповідно. Доведіть, що ∠MNL + ∠NLK = 180°.

5.28. Чи правильне твердження: «Якщо пряма належить площині а і паралельна площині β, то площини а і β паралельні»? Відповідь обґрунтуйте.

5.29. Чи можуть перетинатися площини, що паралельні одній і тій самій прямій?

5.30. Дві прямі, що належать площині а, відповідно паралельні двом прямим, що належать площині β. Чи можна стверджувати, що а | β?

5.31. Основи трапеції паралельні площині а. Чи можна стверджувати, що площина трапеції паралельна площині а?

3

5.32. Площини а і β паралельні. Через точку М площини β проведено пряму m, паралельну площині а. Доведіть, що пряма m належить площині β.

5.33. Площини β і у паралельні. У площині β проведено пряму b. Через точку С площини у проведено пряму с, паралельну b. Доведіть, що пряма с належить площині у.

5.34. Точка S не належить площині трикутника ABC. Точки К, L і М належать відрізкам SA, SB і SC відповідно, причому ∠MKA + ∠KAC = 180°, ∠LKA + ∠KAB = 180°. Доведіть, що площини ABC і KLM паралельні.

5.35. Точка Q не належить площині трикутника KLM. Точки А, В, С належать відрізкам QK, QL і QM відповідно, причому ∠QAC = ∠QKM, ∠QCB = ∠QML. Доведіть, що площини KML і ABC паралельні.

5.36. Точку Q, що не лежить у площині паралелограма ABCD, сполучено з вершинами паралелограма (мал. 5.14). Побудуйте площину, що проходить через точку М відрізка QA паралельно площині паралелограма.

5.37. Точку К, що не лежить у площині трикутника ABC, сполучено з його вершинами (мал. 5.15). Побудуйте площину, що проходить через точку L відрізка КС паралельно площині ABC.

Мал. 5.14

Мал. 5.15

5.38. Площини а і β паралельні. Через точку К, що лежить між цими площинами, проведено прямі а і b, які перетинають площину а у точках А1 і B1, а площину β — у точках А2 і В2. Знайдіть довжину відрізка А2В2, якщо А1В1 = 10 см, КВ1 = 6 см, КВ2 = 3 см.

5.39. Два промені з початком у точці А перетинають одну з двох паралельних площин у точках К1 і L1, а другу - у точках К2 і b2. Знайдіть довжину відрізка К1b1, якщо K2L2 = 20 см, АК1 : АК2 = 4 : 5.

5.40. Два промені з початком у точці В перетинають одну з двох паралельних площин у точках С1 і D1, а другу - у точках С2 і D2. Знайдіть довжину відрізка C2D2, якщо C1D1 = 8 см, ВС1 = 10 см, ВС2 = 15 см.

5.41. ABCDA1B1C1D1 - куб (мал. 5.16). М - середина CC1. Побудуйте через точку М площину, паралельну площині ADC1.

Мал. 5.16

Мал. 5.17

5.42. ABCDA1B1C1D1 - куб (мал. 5.17). Доведіть, що площини A1С1D і АВ1С паралельні.

5.43. Площини а і β паралельні. Точки М і N належать площині а, К і L - площині β. Відрізки ML і KN перетинаються, причому ML = KN і MN = KL.

1) Доведіть, що точки М, N, К і L лежать в одній площині.

2) Визначте вид чотирикутника MNLK.

3) Знайдіть площу чотирикутника MNLK, якщо KL = 5 см, ML = 13 см.

5.44. Площини β і у паралельні. Точки А і В належать площині β, а точки С і D - площині у, причому АВ = CD. Відрізки АС і BD перетинаються.

1) Доведіть, що точки А, В, С і D лежать в одній площині.

2) Визначте вид чотирикутника ABCD.

3) Знайдіть міру кута ADC, якщо ∠DAB = 130°.

5.45. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 дорівнює 10 см. Точка М - середина ребра AA1.

1) Побудуйте точку L - точку перетину площини СВ1М з ребром AD.

2) Знайдіть довжину відрізка ML.

5.46. Три прямі, що проходять через одну точку і не лежать в одній площині, перетинають одну з двох паралельних площин у точках А, В, С, а другу - у точках A1, B1, C1. Доведіть, що ∆АВС ∾ ∆А1В1С1.

5.47. Площина трикутника ABC зі сторонами 5 см, 5 см і 8 см паралельна площині а. Світло, що виходить з точки S, утворює на площині а тінь А1В1С1 від трикутника ABC. Обчисліть:

1) сторони трикутника А1В1С1, якщо SA : АА1 = 1 : 2;

2) площу трикутника А1В1С1.

Чи можна знайти площу трикутника А1В1С1, не знаходячи його сторін?

5.48. Площина р паралельна площині трикутника KLM. Світло, що виходить із точки Q, утворює на площині β тінь K1L1M1 від трикутника KLM. Сторони трикутника K1L1M1 дорівнюють 12 см, 15 см і 9 см. Знайдіть:

1) сторони трикутника KLM, якщо QK : КК1 = 2 : 1;

2) площу трикутника KLM.

Життєва математика

5.49. На однаковій відстані один за другим вздовж прямої встановлено три телеграфних стовпи. Перший і другий знаходяться від дороги на відстанях 18 м і 24 м. Знайдіть відстань від дороги до третього стовпа.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

5.50. Прямі а і b перпендикулярні та перетинаються у точці М. Точка А належить прямій а, а точка В - прямій b. Знайдіть:

1) АВ, якщо AM = 5 см, MB = 12 см;

2) AM, якщо АВ = 10 см, MB = 8 см.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.