Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА ІІ ГЕОМЕТРІЯ

РОЗДІЛ 2 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ МИ

- пригадаємо властивості похилих та їх проекцій на площині;

- дізнаємося про перпендикулярність прямих і площин; властивості похилих та їх проекцій у просторі; двогранний кут та його вимірювання; кут між площинами та його вимірювання; ортогональне проектування;

- навчимося у просторі встановлювати перпендикулярність прямих і площин; вимірювати відстані і кути.

§6. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ У ПРОСТОРІ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ

У цьому параграфі розглянемо питання про перпендикулярність прямих, що перетинаються, а в одному з наступних - питання про перпендикулярність мимобіжних прямих.

1. Перпендикулярність прямих у просторі

Як і на площині, у просторі

дві прямі, які перетинаються під прямим кутом, називають перпендикулярними (взаємно перпендикулярними) (мал. 6.1).

Для позначення перпендикулярності у просторі використовують той самий символ, що й на площині, наприклад, якщо прямі а і b взаємно перпендикулярні, то це записують так: a ⊥ b.

Мал. 6.1

Задача 1. ABCDA1B1C1D1 - прямокутний паралелепіпед (мал. 6.2). Знайти всі прямі, що перетинають пряму АА1 і перпендикулярні до неї.

Відповідь. АВ, AD, A1D1, А1В1.

Мал. 6.2

Мал. 6.3

Задача 2. Прямі АВ, АС і AD попарно перпендикулярні (мал. 6.3). Знайти довжину відрізка ВС, якщо DB = см, DC = 20 см, DA = 16 см.

Розв’язання. 1) Із ∆DAB (∠A = 90°):

Відповідь. 13 см.

2. Пряма, перпендикулярна до площини

Якщо пряма не лежить у площині і не паралельна їй, то вона перетинає площину. У цьому параграфі розглянемо випадок, коли пряма перпендикулярна до площини.

Пряму, яка перетинає площину, називають перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до кожної прямої, що лежить у площині і проходить через точку перетину (мал. 6.4).

Ще кажуть, що площина перпендикулярна до прямої, або пряма і площина взаємно перпендикулярні. Записати це можна так: а ⊥ а або а ⊥ а.

У повсякденному житті ми постійно стикаємося із взаємно перпендикулярними прямою і площиною: телеграфний стовп перпендикулярний до поверхні землі; шнур, на якому висить лампа, перпендикулярний до площини стелі; лінія перетину стін перпендикулярна як до площини підлоги, так і до площини стелі; ніжка столу перпендикулярна до його поверхні тощо.

Мал. 6.4

Мал. 6.5

3. Ознаки перпендикулярності прямої і площини

На малюнку 6.5 лінія перетину стін b перпендикулярна до площини підлоги а. Також лінія перетину стін b перпендикулярна до прямих а1 і а2, які лежать у площині а і перетинаються з прямою b. Цей малюнок є наочною ілюстрацією ознаки перпендикулярності прямої і площини.

Теорема (ознака перпендикулярності прямої і площини). Якщо пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що проходять через точку перетину, то вона перпендикулярна до площини.

На малюнку 6.6 пряма b перетинається з площиною а у точці М. Прямі а1 і а2 проходять через точку М, а1 ⊥ b, а2 ⊥ Ь. За ознакою перпендикулярності прямої і площини отримаємо, що: b ⊥ а.

Доведення ознаки перпендикулярності прямої і площини не наводимо, оскільки воно є досить громіздким.

Мал. 6.6

Наслідок. Пряма, що перпендикулярна до двох прямих, які перетинаються, перпендикулярна до площини, яка проходить через ці прямі.

Ознаку перпендикулярності прямої і площини застосовують на практиці. Так, наприклад, щоб перевірити, чи перпендикулярна лінія перетину стін кімнати до підлоги, достатньо перевірити, чи утворює ця лінія прямі кути із деякими двома прямими, які лежать у площині підлоги і проходять через течку перетину лінії перетину стін із підлогою.

Задача 3. Через точку Р, що лежить поза площиною трикутника ABC, проведено пряму АР, перпендикулярну до прямих АВ і АС. Пряма АК лежить у площині трикутника ABC. Довести, що прямі АР і АК перпендикулярні.

Доведення. 1) За умовою АР ⊥ АВ і АР ⊥ АС (мал. 6.7). Тому, за ознакою перпендикулярності прямої і площини, АР ⊥ (ABC).

2) Оскільки АР ⊥ (ABC), то пряма АР перпендикулярна до будь-якої прямої, яка лежить у площині трикутника ABC і проходить через точку А, зокрема, й до прямої АК.

Мал. 6.7

4. Побудова взаємно перпендикулярних прямої і площини

Довести, що через будь-яку точку простору можна провести площину, перпендикулярну до даної прямої.

Доведення. Нехай дано пряму а і точку К, що їй не належить (мал. 6.8). Доведемо, що існує площина, яка проходить через точку К перпендикулярно до прямої а.

1) Через пряму а і точку К, що їй не належить, проведемо площину а.

2) Через пряму а проведемо площину β, відмінну від а.

3) У площині а через точку К проведемо пряму с, перпендикулярну до прямої а.

4) У площині β через точку перетину прямих а і с проведемо пряму b, перпендикулярну до прямої а.

5) Через прямі b і с проведемо площину у. Ця площина проходить через точку К і перпендикулярна до прямої а (за ознакою перпендикулярності прямої і площини).

Мал. 6.8

Аналогічно доводять і випадок, коли К є а.

Зауважимо, що можна також довести, що побудована площина у - єдина.

5. Властивості взаємно перпендикулярних прямих і площин

У прямокутному паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1 (мал. 6.2) прямі АА1 і ВВ1 паралельні між собою і кожна з них перпендикулярна до площини ABC. Узагальнимо цей факт.

1. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої.

На малюнку 6.9: а || b і а ⊥ а, тому, за властивістю 1,61а. На малюнку 6.2 кожна з прямих ВВ1 і СС1 перпендикулярна до площини ABC. Між собою ці прямі паралельні. Узагальнимо цю властивість.

2. Дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, паралельні між собою.

На малюнку 6.9: а ⊥ a, b ⊥ a, тому, за властивістю 2, а || b.

Мал. 6.9

Мал. 6.10

Пряма а перпендикулярна до площини а. Через точку М, яка не лежить на прямій а, провести пряму, перпендикулярну до площини a.

Розв’язання. За теоремою про існування прямої, паралельної даній, через точку М проведемо пряму b таку, що b ⊥ а (мал. 6.10). Оскільки а ⊥ а, а || b, то і b ⊥ а (за властивістю 1). Пряма b - шукана.

A ще раніше ...

Три (з XI по XIII) книги «Начал» Евкліда містять майже винятково стереометричний матеріал. Зокрема, в ХІ-й книзі викладаються загальні основи стереометри, питання взаємного розташування, включно з паралельністю і перпендикулярністю прямих і площин.

XI -па книга «Начал» починається з 32 означень, серед яких є і означення прямої, перпендикулярної до площини: «Пряма є перпендикулярною до площини, якщо вона є перпендикулярною до всіх прямих, які проведено в площині в точці, у якій вона цю площину зустрічає».

Це означення не дає практичного критерію, щоб встановити, чи є дана пряма перпендикулярною до площини, чи ні. Тому далі, у цій самій книзі, Евклід формулює і доводить теорему: «Якщо пряма з двома прямими, що перетинаються, у точці їх перетину утворює прямі кути, то вона перпендикулярна до площини, яка містить ці дві прямі».

Згадана теорема, яка в Евкліда, фактично, була ознакою перпендикулярності прямої до площини, у більш компактному і зручному для застосування вигляді наведена в цьому параграфі.

Які прямі називають перпендикулярними? Яку пряму називають перпендикулярною до площини? Сформулюйте ознаку перпендикулярності прямої і площини та наслідок з неї. Сформулюйте властивості взаємно перпендикулярних прямих і площин.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

6.1. Пряма m перпендикулярна до площини а (мал. 6.11), а пряма n лежить у площині а і проходить через точку Р перетину прямоїm і площини а. Яким є кут між прямими m і n?

Мал. 6.11

Мал. 6.12

6.2. CC1 ⊥ (АВС) (мал. 6.12). Яким є кут між прямими:

1) СС1 і СВ;   2) СС1 і АС?

6.3. Пряма АА1 проходить через вершину А трикутника ABC (мал. 6.12), АА1 ⊥ АС, АА1 ⊥ АВ. Як розміщена пряма АА1 відносно площини ABC?

6.4. Пряма АР проходить через вершину А паралелограма ABCD (мал. 6.13), АР ⊥ АВ, АР ⊥ AD. Як розміщена пряма АР відносно площини паралелограма ABCD?

6.5. (Усно). Чи правильне твердження: «Через точку, яка лежить на даній прямій, можна провести тільки одну пряму, перпендикулярну до даної прямої»?

6.6. (Усно). Наведіть приклади з повсякденного життя:

1) взаємно перпендикулярних прямих;

2) взаємно перпендикулярних прямої і площини.

Мал. 6.13

Мал. 6.14

6.7. АК ⊥ (ABC), АК || CL (мал. 6.14). Чи перпендикулярна пряма CL до площини АВС1 Відповідь обґрунтуйте.

6.8. АК ⊥ (ABC), CL ⊥ (АВС) (мал. 6.14). Чи паралельні прямі АК і CL1 Відповідь обґрунтуйте.

2

6.9. Прямі а і b взаємно перпендикулярні. Яким може бути взаємне розміщення прямих а і с, якщо прямі b і с: 1) перпендикулярні; 2) паралельні; 3) мимобіжні;

4) перетинаються, але не перпендикулярні?

До кожного випадку виконайте малюнок.

6.10. Прямі а і b перпендикулярні до прямої m. Чи можуть прямі а і b:

1) перетинатися;   2) бути перпендикулярними;

3) бути мимобіжними?

До кожного випадку виконайте малюнок.

6.11. Пряма АР проходить через вершину А паралелограма ABCD, АР ⊥ АВ, АР ⊥ AD (мал. 6.13). Доведіть, що АР ⊥ АС.

6.12. Пряма СК проходить через вершину С трикутника ABC, СК ⊥ СВ, СК ⊥ СА (мал. 6.15). Доведіть, що СК ⊥ CM, де М - довільна точка, що належить стороні АВ.

6.13. Через дві точки простору А і В, які не належать площині а, перпендикулярно до неї проведено прямі АК і BL. Доведіть, що АК і BL лежать в одній площині.

Мал. 6.15

6.14. На малюнку 6.14 АК ⊥ АВ, АК ⊥ АС, ⊥ C ⊥ АС, LC ⊥ СВ. Доведіть, що АК || LC.

6.15. На малюнку 6.14 АК ⊥ АВ, АК ⊥ АС, АК || LC. Доведіть, що LC ⊥ СВ.

6.16. Пряма а перпендикулярна до площини а. Як можуть бути розміщені пряма b і площина а, якщо прямі а і b:

1) мимобіжні;   2) перпендикулярні;

3) перетинаються, але не перпендикулярні;

4) паралельні?

Виконайте відповідні малюнки.

6.17. Пряма а перпендикулярна до площини а. Як можуть бути розміщені прямі а і b, якщо пряма b:

1) належить площині а; 2) паралельна площині а;

3) перпендикулярна до площини а;

4) перетинає площину а, але не є перпендикулярною до цієї площини?

Виконайте відповідні малюнки.

6.18. Як розміщена відносно площини круга пряма, перпендикулярна до двох його діаметрів?

6.19. Як розміщена відносно площини круга пряма, перпендикулярна до двох його хорд, що перетинаються?

6.20. Пряма AS перпендикулярна до площини квадрата ABCD (мал. 6.16). Знайдіть SC, якщо АВ = 3 Cм, SA = 4 см.

6.21. Пряма AS перпендикулярна до площини квадрата ABCD (мал. 6.16). Знайдіть АВ, якщо SC = 10 см, SA = 6 см.

Мал. 6.16

6.22. Через вершину С прямого кута трикутника ABC проведено пряму СР, перпендикулярну до площини трикутника. Доведіть, що пряма ВС перпендикулярна до площини АСР.

6.23. Через точку О - точку перетину діагоналей ромба ABCD - проведено пряму ОК, перпендикулярну до площини ромба. Доведіть, що пряма BD перпендикулярна до площини АКС.

6.24. Прямі DA, DB і DC попарно перпендикулярні (мал. 6.17). Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо:

1) CD = 6 см, ВС = 14 см, AD = 3 см;

2) АС = а, ВС = b, AD = c.

Мал. 6.17

6.25. Прямі DA, DB і DC попарно перпендикулярні (мал. 6.17). Знайдіть довжину відрізка АС, якщо:

1) АВ = 9 см, ВС = 16 CM, AD = 5 см;

2) BD = а, ВС = b, AD = с.

6.26. Пряма SO перпендикулярна до площини кола із центром О. Точка М лежить на колі. Знайдіть радіус кола, якщо SM = 12 см, ∠SMO = 45°.

6.27. Пряма MQ перпендикулярна до площини кола із центром Q. Точка Р лежить на колі. Знайдіть відстань від точки М до точки Р, якщо PQ = 8 см, ∠MPQ = 60°.

3

6.28. Діагональ АС паралелограма ABCD перпендикулярна до площини а, а вершини В і D належать цій площині. Знайдіть периметр паралелограма, якщо АВ = а см.

6.29. Сторона ВС паралелограма ABCD належить площині у, а сторона АВ перпендикулярна до цієї площини. Знайдіть АС, якщо BD = b см.

6.30. З вершини А правильного трикутника ABC до площини трикутника проведено перпендикуляр AS. Знайдіть відстані від точки S до вершин трикутника, якщо АС = 2 СМ, ∠SCA = 30°.

6.31. Точка О - центр правильного трикутника ABC. Через точку О до площини трикутника проведено перпендикуляр ОМ. Знайдіть відстані від точки М до вершин трикутника, якщо ОМ = 1 см, АВ = 3 см.

6.32. ABCD - паралелограм, S - точка поза площиною паралелограма, SA = SC, SB = SD (мал. 6.18). Доведіть, що пряма SO перпендикулярна до площини паралелограма.

Мал. 6.18

Мал. 6.19

Мал. 6.20

3

6.33. ABCD - ромб, М - точка поза площиною ромба, МА = МС (мал. 6.19). Доведіть, що пряма АС перпендикулярна до площини МОВ.

6.34. ABCD - прямокутник, точка S не лежить у його площині і SA ⊥ АВ (мал. 6.20). Знайдіть взаємно перпендикулярні пряму і площину.

Мал. 6.21

6.35. Точка А не належить площині трикутника BCD, ∠ABC = 90°, ∠DBC = 90° (мал. 6.21). Знайдіть взаємно перпендикулярні пряму і площину.

6.36. Точка S не лежить у площині трикутника ABC і рівновіддалена від усіх його вершин. Пряма SO перпендикулярна до площини трикутника, де О — точка перетину прямої SO і площини трикутника ABC. Доведіть, що О - центр кола, описаного навколо трикутника ABC.

6.37. Точка М лежить поза площиною прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°) і рівновіддалена від усіх його вершин. MO ⊥ (ABC), де О - точка перетину прямої МО і площини ABC.

1) Визначте положення точки О.

2) Знайдіть МО, якщо МА = 13 см, АС = 6 см, ВС = 8 см.

6.38. Точка S лежить поза площиною правильного трикутника ABC і рівновіддалена від усіх його вершин. SO ⊥ (ABC), де О - точка перетину прямої SO і площини ABC.

1) Визначте положення точки О.

2) Знайдіть SO, якщо АВ = 6 см, SA = 4 см.

6.39. Відрізок АВ завдовжки 20 см не має спільних точок з площиною а. Прямі АК і ВМ, які перпендикулярні до площини а, перетинають цю площину в точках К і М, КМ = 16 см. Знайдіть ВМ, якщо АК = 15 см. Розгляньте два випадки: 1) АК > ВМ; 2) АК < ВМ.

6.40. Відрізок CD завдовжки 15 см не має спільних точок із площиною β. Прямі СА і DB, які перпендикулярні до площини р, перетинають цю площину в точках А і В. Знайдіть АВ, якщо BD = 10 см, АС = 22 см.

4

6.41. Через вершину А прямокутника ABCD проведено пряму AS, перпендикулярну до його площини, SD = 6 см, SC = 9 см, SB = 7 см. Знайдіть:

1) SA; 2) площу прямокутника ABCD.

6.42. Пряма АК перпендикулярна до площини прямокутника ABCD. Знайдіть АК, якщо KD = 20 см, КС = 24 см, КВ = 15 см.

6.43. У рівнобедреному трикутнику АВС (АВ = ВС) основа і висота, проведена до неї, мають довжину 4 см. Точка О лежить у площині трикутника ABC, OK - перпендикуляр до його площини. Відомо, що АК = ВК = СК. Знайдіть довжину відрізка СК, якщо О К = 6 см.

6.44. У трикутнику ABC AB = 8 см, ВС = CA = 5 см. Точка О лежить в площині трикутника АВС, ОМ - перпендикуляр до його площини. Знайдіть довжину відрізка ОМ, якщо МА = MB = МС = 5 см.

6.45. Прямі АС і BD перпендикулярні до площини а і перетинають її у точках А і В. Знайдіть відстань між точками С і D, якщо АВ = 24 см, BD = 21 см, АС = 11 см. Скільки розв’язків має задача?

6.46. Через вершину А ромба ABCD проведено пряму AM, перпендикулярну до прямих AD і АС. Доведіть, що пряма BD перпендикулярна до площини АМС.

6.47. Через вершину D квадрата ABCD проведено пряму DN, перпендикулярну до його площини. Доведіть, що пряма АС перпендикулярна до площини DBN.

Життєва математика

6.48. Одного рулону шпалер вистачає для обклеювання смуги від підлоги до стелі завширшки 1,6 м. Скільки рулонів шпалер потрібно купити для обклеювання прямокутної кімнати розмірами 3,7 м на 4,6 м (площею дверей та вікна знехтувати)?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

6.49. АН ⊥ а (мал. 6.22). Як можна назвати:

1) відрізок АН; 2) відрізок АК;

3) точку Н;   4) точку К?

Порівняйте між собою довжини відрізків АН і АК.

Мал. 6.22

Мал. 6.23

Мал. 6.24

6.50. АН ⊥ а (мал. 6.23). Порівняйте:

1) КН і HL, якщо АК = AL; 2) АК і AL, якщо КН = HL.

6.51. АН ⊥ а (мал. 6.24). Порівняйте:

1) АК і AL, якщо НК > HL; 2) НК і HL, якщо АК > AL.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.