Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА ІІ ГЕОМЕТРІЯ

РОЗДІЛ 2 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§7. ПЕРПЕНДИКУЛЯР І ПОХИЛА. ТЕОРЕМА ПРО ТРИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ

1. Перпендикуляр і похила

Розглянемо площину а і точку А, що їй не належить (мал. 7.1).

Перпендикуляром, проведеним із даної точки до даної площини, називають відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини і лежить на прямій, перпендикулярній до площини.

Мал. 7.1

На малюнку 7.1 АН - перпендикуляр, проведений з точки А до площини а. Кінець Н перпендикуляра, який лежить у площині а, називають основою перпендикуляра.

Відстанню від точки до площини називають довжину перпендикуляра, проведеного із цієї точки до цієї площини.

На малюнку 7.1 довжина відрізка АН - відстань від точки А до площини а.

Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називають будь-який відрізок, який сполучає цю точку з точкою площини і не є перпендикуляром.

На малюнку 7.1 АК - похила, проведена з точки А до площини а. Кінець К цієї похилої, який лежить у площині а, називають основою похилої. Відрізок НК, який сполучає основи перпендикуляра і похилої, називають проекцією похилої АК на площину а.

Розглянемо властивості перпендикуляра, похилих та їх проекцій. Зауважимо, що ці властивості аналогічні до відповідних властивостей перпендикуляра, похилих та їх проекцій на пряму у площині.

1. Довжина перпендикуляра, проведеного з точки до площини, менша за довжину будь-якої похилої, проведеної із цієї самої точки до площини.

Справді, у прямокутному трикутнику АНК (∠H = 90°) відрізок АН є катетом, а відрізок АК - гіпотенузою (мал. 7.1), тому АН < АК.

2. Якщо дві похилі, проведені з точки до площини, рівні, то рівні і їх проекції.

Нехай із точки А до площини а проведено похилі АК і АК1, АК = АК1, та перпендикуляр АН (мал. 7.2). Тоді ∆АНК = ∆АНК. (за катетом і гіпотенузою), а тому НК = НК1.

Мал. 7.2

Мал. 7.3

Правильним є і обернене твердження.

3. Якщо проекції двох похилих, проведених з точки до площини, рівні, то рівні й похилі.

На малюнку 7.2 ∆АНК = ∆АНК1 (за двома катетами), тому АК = AK1.

4. Якщо з точки до площини проведено дві похилі, то більшою з них є та, що має більшу проекцію на цю площину.

Нехай АН ⊥ а, АК і AL - похилі до а, НК і HL — їх проекції (мал. 7.3). Нехай НК > HL.

Тоді в ∆АНК: у ∆AHL:

Оскільки НК > HL, то АН2 + НК2 > AH2 + HL2, тому АК > AL.

Правильним є і обернене твердження.

5. Якщо з точки до площини проведено дві похилі, то більша похила має більшу проекцію на цю площину.

Нехай АН ⊥ а, АК і AL - похилі до а, НК і HL — їх проекції (мал. 7.3). Нехай АК > AL.

Тоді в ∆АНК

у ∆AHL:

Оскільки АК > AL, то АК2 - AH2 > AL2 - АН2, тому НК > HL.

Задача 1. 3 точки до площини проведено дві похилі завдовжки 41 см і 50 см. Знайти відстань від точки до площини та довжини проекцій похилих, якщо вони відносяться як 3 : 10.

Розв’язання. Нехай AL = 41 см, АК = 50 см і АН ⊥ а (мал. 7.3). Тоді АН - відстань від точки А до площини а.

За властивістю 5 маємо: HL < НК. Нехай HL = 3х (см), НК = 10х (см).

1) Із ∆AHL АН2 = AL2 - LH2 = 412 - (3х)2.

2) Із ∆АНК АН2 = АК2 - НК2 = 502 - (10х)2.

3) Прирівнюючи отримані вирази, маємо:

412 - 9х2 = 502 - 100х2,

звідки х2 = 9, тобто х = 3, ураховуючи, що х > 0.

Отже, HL = 3 ∙ 3 = 9 (см), НК = 10 ∙ 3 = 30 (см).

4) Тоді

Відповідь. 40 см; 9 см і 30 см.

Задача 2. 3 точки до площини проведено дві похилі завдовжки 2 см кожна. Кут між похилими дорівнює 60°, а кут між їх проекціями - прямий. Знайти відстань від точки до площини.

Розв’язання. АС = АВ = 2 см, ∠BAC = 60°, ∠BHC = 90° (мал. 7.4). Знайдемо АН.

1) У ∆ABC: тому ∆АВС - рівносторонній, ВС = 2 см.

2) Оскільки АВ = АС, то НВ = НС. Нехай НВ = НС = х (см).

Мал. 7.4

Із ∆НВС: НВ2 + НС2 = ВС2, х2 + х2 = 22, 2х2 =4, х2 = 2, х = (см).

3) Із ∆АВН:

Відповідь. см.

2. Теорема про три перпендикуляри

Розглянемо одну з найважливіших теорем стереометрії, яку називають теоремою про три перпендикуляри.

Теорема (про три перпендикуляри). Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

Доведення. Нехай АН - перпендикуляр, AM - похила до площини а, пряму а проведено у площині а через точку М (мал. 7.5).

Розглянемо першу частину теореми. Нехай а ⊥ НМ. Доведемо, що a ⊥ AM.

1) Проведемо пряму ВМ паралельно прямій АН. За властивістю взаємно перпендикулярних прямої і площини, ВМ ⊥ а. Тому ВМ ⊥ а.

2) Проведемо через прямі ВМ і НМ площину β.

3) Оскільки a ⊥ ВМ і а ⊥ НМ, то, за ознакою перпендикулярності прямої і площини, а ⊥ β. Тому пряма а перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить в площині β і проходить через точку М, зокрема, до прямої AM. Першу частину теореми доведено.

Розглянемо другу частину теореми. Оскільки a ⊥ AM і a ⊥ ВМ, то а ⊥ β (за ознакою перпендикулярності прямої і площини), а тому а ⊥ НМ.

Мал. 7.5

Задача 3. 3 вершини А квадрата ABCD проведено перпендикуляр АК до площини квадрата. Знайти SABCD, якщо KD = 6 см, КС = 10 см.

Розв’язання. Нехай ABCD - квадрат, АК ⊥ (ABC), тоді KD - похила, AD - її проекція (мал. 7.6).

1) Оскільки AD ⊥ DC, то, за теоремою про три перпендикуляри, KD ⊥ DC.

2) Із AKDC (∠D = 90°):

3) Тоді SABCD = 82 = 64 (см2).

Відповідь. 64 см2.

Мал. 7.6

Задача 4. Через вершину D ромба ABCD проведено перпендикуляр DT до його площини. Побудувати перпендикуляр із точки Т до прямої АС.

Розв’язання. 1) Проведемо діагоналі ромба АС і BD, які перетинаються в точці О.

2) За властивістю діагоналей ромба BD ⊥ АС, тому DO ⊥ АС.

3) DT ⊥ (ADC), ТО - похила до (ADC), DO - її проекція, DO ⊥ АС. Тоді, за теоремою про три перпендикуляри, ТО ⊥ АС (мал. 7.7). Отже, ТО і є шуканим перпендикуляром.

Мал. 7.7

А ще раніше...

Теореми про три перпендикуляри, без якої сьогодні неможливо уявити курс стереометрії, у «Началах» Евкліда немає. Доведена вола була пізніше математиками Близького і Середнього Сходу. Зокрема, доведення цієї теореми є у «Трактаті про повний чотиристоронник» Насир ад-Діна ат-Тусі та в тригонометричному трактаті його анонімного попередника.

У Європі теорему про три перпендикуляри вперше сформулював швейцарський математик Луї Бертран (1731-1812), учень і друг Леонарда Ейлера, а довів її французький математик Адріан Марі Лежандр (1752-1833). Доведення міститься в його підручнику «Початки геометрії» (1794), який вважався найкращим тогочасним підручником з геометрії. Підтвердженням цього є те, що він неодноразово перевидавався, в тому числі ще за життя Лежандра, і перекладався, а наведене в ньому доведення теореми про три перпендикуляри часто використовували інші математики, зокрема, А.П. Кисельов, автор класичного підручника «Елементарна геометрія для середніх навчальних закладів», за яким навчалися майже ціле століття (перше видання датується 1892 р., а останнє - 1980 р.).

Що називають перпендикуляром, проведеним із даної точки до даної площини? Що називають основою перпендикуляра? Що називають похилою, проведеною з даної точки до даної площини? Що називають основою похилої і що називають проекцією похилої? Сформулюйте властивості перпендикуляра і похилої.   Сформулюйте й доведіть теорему про три перпендикуляри.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

7.1. АС - перпендикуляр, а АВ - похила до площини а (мал. 7.8). Порівняйте: 1) АВ і АС; 2) АВ і ВС.

7.2. З точки А до площини а проведено перпендикуляр АС і похилу АВ (мал. 7.8). Знайдіть:

1) АВ, якщо ВС = 5 см, АС = 12 см;

2) АС, якщо АВ = 10 см, ВС = 6 см;

3) ВС, якщо АВ = 20 см, ∠BAC = 30°;

4) АС, якщо ВС = 6 см, ∠АВС = 45°.

7.3. З точки А до площини а проведено перпендикуляр АС і похилу АВ (мал. 7.8). Знайдіть:

1) АС, якщо АВ = 15 см, ВС = 9 см;

2) АВ, якщо АС = ВС = 2 см;

3) ВС, якщо АС = 8 см, ∠BAC = 45°;

4) АВ, якщо АС = 6 см, ∠АВС = 30°.

Мал. 7.8

Мал. 7.9

7.4. 3 точки А до площини а проведено похилі АВ і АС та перпендикуляр AD (мал. 7.9). Порівняйте BD і DC, якщо АВ > АС.

7.5. З точки А до площини а проведено похилі АВ і АС та перпендикуляр AD (мал. 7.9). Порівняйте АВ і АС, якщо BD > DC.

7.6. З точки до площини проведено перпендикуляр і похилу, які утворюють між собою кут 60°. Знайдіть відстань від точки до площини, якщо проекція похилої дорівнює 3 см.

7.7. З точки до площини проведено похилу, довжина якої 10 см. Знайдіть відстань від точки до площини, якщо похила утворює зі своєю проекцією кут 45°.

7.8. З точки А до площини а проведено похилі АВ і АС та перпендикуляр AD (мал. 7.9). Знайдіть відстань від точки А до площини а та довжину похилої АС, якщо АВ = 10 см, BD = 6 см, DC = 15 см.

7.9. З точки А до площини а проведено похилі АВ і АС та перпендикуляр AD (мал. 7.9). Знайдіть відстань від точки А до площини а та довжину відрізка CD, якщо АВ = 25 см, BD = 20 см, АС = 17 см.

7.10. MB - перпендикуляр до площини прямокутника ABCD. Доведіть, що ∠MAD = 90°.

7.11. КС - перпендикуляр до площини квадрата ABCD. Доведіть, що кут KDA - прямий.

7.12. Із точки А до площини проведено перпендикуляр АК і похилу АР, яка на 3 см довша за свою проекцію. Знайдіть довжину похилої, якщо АК = 9 см.

7.13. Із точки В до площини проведено перпендикуляр BL і похилу ВМ, що дорівнює 26 см. Знайдіть довжину перпендикуляра, якщо він на 14 см коротший за проекцію похилої.

7.14. У трикутнику ABC АС = ВС = 10 см, АВ = 12 см, СН - висота трикутника, CM - перпендикуляр до площини трикутника, CM = 6 см.

1) Знайдіть відстань від точки М до вершин трикутника.

2) Доведіть, що МН ⊥ АВ.

3) Знайдіть довжину відрізка МН.

7.15. У правильному трикутнику ABC AM - медіана, АР - перпендикуляр до площини трикутника, АВ = 2 см, АР = 2 см.

1) Знайдіть відстань від точки Р до вершин трикутника.

2) Доведіть, що PM ⊥ ВС.

3) Знайдіть довжину відрізка РМ.

7.16. З вершини D квадрата ABCD, площа якого дорівнює 25 см2, до його площини проведено перпендикуляр DK. Знайдіть відстань від точки К до вершин А і В квадрата, якщо КС = 12 см.

7.17. З вершини С квадрата ABCD, периметр якого дорівнює 32 см, до його площини проведено перпендикуляр СМ. Знайдіть відстані від точки М до вершин В і D квадрата, якщо МА =17 см.

7.18. Основа АВ рівнобедреного трикутника ABC належить площині а, АС = ВС = 13 см, АВ = 24 см. З точки С до площини а проведено перпендикуляр CO, а з точки О до прямої АВ - перпендикуляр ОМ. Знайдіть СМ.

7.19. Сторона ВС правильного трикутника ABC належить площині β. З точки А до площини β проведено перпендикуляр АК, а з точки К до прямої ВС - перпендикуляр KN. Знайдіть AN, якщо ВС = 6 см.

7.20. КВ - перпендикуляр до площини ромба ABCD. Побудуйте перпендикуляр, проведений із точки К до прямої АС.

7.21. АР - перпендикуляр до площини квадрата ABCD. Побудуйте перпендикуляр, проведений із точки Р до прямої BD.

3

7.22. Точка S рівновіддалена від усіх вершин паралелограма ABCD. Доведіть, що ABCD - прямокутник.

7.23. Точка Р рівновіддалена від усіх вершин ромба ABCD. Доведіть, що ABCD - квадрат.

7.24. Точка М віддалена від площини правильного трикутника на 8 см і рівновіддалена від усіх його вершин. Знайдіть відстань від точки М до вершин трикутника, якщо периметр трикутника дорівнює 18 см.

7.25. Точка К віддалена від кожної вершини квадрата ABCD на 26 см. Знайдіть відстань від точки К до площини квадрата, якщо його площа дорівнює 1152 см2.

7.26. З точки до площини проведено дві похилі, довжини яких 5 см і 7 см, а різниця їх проекцій - 4 см. Знайдіть проекції похилих і відстань від точки до площини.

7.27. З точки до площини проведено дві похилі, різниця довжин яких дорівнює 4 см. Знайдіть довжини похилих і відстань від точки до площини, якщо проекції похилих дорівнюють 10 см і 2 см.

7.28. З вершини А ромба ABCD проведено перпендикуляр AM до його площини, AM = 1 см, АВ = BD = 3 см. Знайдіть довжину похилої МС та її проекції на площину ромба.

7.29. У трикутнику ABC ∠BAC = 31°, ∠АСВ - 59°. Пряма AD перпендикулярна до площини трикутника ABC. Визначте вид трикутника BCD.

7.30. У трикутнику ABC ∠ABC = 40°, ∠ВАС = 50°. Пряма ВК перпендикулярна до площини трикутника ABC. Доведіть, що КС ⊥ СА.

7.31. З точки А до площини а проведено дві похилі, кут між якими 60°, а кут між їх проекціями - 90°. Довжина кожної проекції 2 см. Знайдіть довжину похилих і відстань від точки А до площини а.

7.32. З точки М до площини проведено дві похилі, кожна з яких завдовжки см. Кут між похилими - 90°, а кут між їх проекціями - 120°. Знайдіть довжини проекцій похилих і відстань від точки до площини.

7.33. Площа прямокутного трикутника дорівнює 6 см2, а різниця його катетів - 1 см. Точка М віддалена від площини трикутника на 6 см і рівновіддалена від усіх його вершин. Знайдіть відстань від точки М до вершин трикутника.

7.34. Один із катетів прямокутного трикутника дорівнює 6 см, а другий - на 2 см коротший за гіпотенузу. Точка, що не лежить у площині трикутника, віддалена від кожної з його вершин на 13 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини трикутника.

7.35. АК - перпендикуляр до площини ромба ABCD, О - точка перетину його діагоналей. Доведіть, що пряма BD перпендикулярна до площини АКО.

7.36. BL - перпендикуляр до площини квадрата ABCD, Q - точка перетину його діагоналей. Доведіть, що АС ⊥ (LBQ).

Мал. 7.10

Мал. 7.11

Мал. 7.12

Мал. 7.13

7.37. AS - перпендикуляр до площини квадрата ABCD (мал. 7.10). Знайдіть усі прямокутні трикутники з вершиною в точці S.

7.38. ∆АВС - рівнобедрений, АС = ВС, пряма СР перпендикулярна до площини АВС (мал. 7.11). Проведіть перпендикуляр із точки Р до прямої АВ.

7.39. Пряма AS перпендикулярна до площини прямокутного трикутника ABC, ∠C = 90° (мал. 7.12). Проведіть перпендикуляр із точки S до прямої ВС.

4

7.40. ∆АВС - прямокутний, ∠C = 90°, AM = MB, МК ⊥ (АВС) (мал. 7.13). Проведіть перпендикуляри з точки К до катетів АС і ВС.

7.41. З точки А до площини а проведено дві рівні похилі, кут між якими 90°. Кут між проекціями похилих 120°. Знайдіть косинус кута, який утворює кожна похила зі своєю проекцією.

7.42. З точки К до площини β проведено дві рівні похилі, кут між якими дорівнює 60°. Знайдіть кут, який утворює одна з похилих зі своєю проекцією на площину β, якщо проекції похилих взаємно перпендикулярні.

7.43. З точки до площини проведено дві похилі. Довжина однієї з них — 8 см, а її проекції - 2 см. Кут між похилими дорівнює 60°, а відстань між основами похилих - 7 см. Знайдіть довжину проекції другої похилої. Скільки розв’язків має задача?

7.44. З точки до площини проведено дві похилі. Довжина однієї з них - 5 см, а її проекції - 11 см. Кут між проекціями похилих дорівнює 60°, а відстань між основами похилих - см. Знайдіть довжину другої похилої. Скільки розв’язків має задача?

7.45. Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 13 см і 15 см. З вершини найменшого кута трикутника до його площини проведено перпендикуляр, і з другого кінця цього перпендикуляра до прямої, що містить протилежну до цього кута сторону трикутника, проведено перпендикуляр завдовжки 13 см. Знайдіть довжину перпендикуляра, проведеного до площини трикутника.

7.46. Сторони трикутника дорівнюють 11 см, 25 см і 30 см. Через вершину найбільшого кута трикутника до його площини проведено перпендикуляр і з другого кінця цього перпендикуляра до протилежної цьому куту сторони проведено перпендикуляр завдовжки 11 см. Знайдіть довжину перпендикуляра, проведеного до площини трикутника.

7.47. Точка М лежить на відстані 30 см від площини рівнобічної трапеції та рівновіддалена від усіх вершин трапеції. Висота трапеції дорівнює 12 см, а діагональ трапеції завдовжки 20 см перпендикулярна до бічної сторони. Знайдіть відстань від точки М до вершин трапеції.

7.48. Точка К віддалена від кожної з вершин рівнобічної трапеції на 65 см. Бічна сторона трапеції перпендикулярна до її діагоналі. Знайдіть відстань від точки К до площини трапеції, якщо висота трапеції дорівнює 24 см, а діагональ трапеції - 40 см.

7.49. Точка О - центр кола, вписаного в рівнобічну трапецію, периметр якої 48 см, а гострий кут 30°. Через точку О до площини трапеції проведено перпендикуляр ОМ завдовжки 4 см. З точки М проведено перпендикуляри до основ трапеції. Знайдіть довжини цих перпендикулярів.

7.50. Точка Q - центр кола, вписаного у трикутник зі сторонами 10 см, 10 см і 12 см. З точки Q до площини трикутника проведено перпендикуляр QL завдовжки 4 см. Знайдіть довжину перпендикуляра, проведеного з точки L до найбільшої сторони трикутника.

Життєвa мaтемaтикa

7.51. Необхідно пофарбувати стелю у двох кімнатах: одна з них квадратної форми зі стороною 4 м, а інша - прямокутна з розмірами 5 м і 4 м. Для фарбування 1 м2 стелі потрібно 240 г фарби. Фарба продається в банках по 2,5 кг. Яку найменшу кількість банок фарби треба придбати?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

7.52. Прямі а і b перетинаються під кутом 60°. Точка М належить прямій а і віддалена від прямої b на 4 см. Знайдіть відстань від точки М до точки перетину прямих а і b.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.