Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА ІІ ГЕОМЕТРІЯ

РОЗДІЛ 2 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§8. ДВОГРАННИЙ КУТ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПЛОЩИН

1. Двогранний кут

У стереометрії, крім плоских кутів, розглядають ще й двогранні кути.

Щоб ввести поняття двогранного кута, зауважимо, що кожна пряма, проведена у площині, ділить її на дві півплощини (мал. 8.1).

Двогранним кутом називають фігуру, яка утворена двома півплощинами зі спільною прямою, що їх обмежує.

На малюнку 8.2 зображено двогранний кут. Півплощини, що утворюють двогранний кут, називають гранями, а пряму, що їх обмежує, - ребром двогранного кута.

У повсякденному житті нам часто трапляються предмети, що мають форму двогранного кута, наприклад, напіврозгорнута книжка, дві суміжні стіни кімнати, двоскатні дахи будинків тощо.

Мал. 8.1

Мал. 8.2

Мал. 8.3

Площина а, яка перпендикулярна до ребра а двогранного кута, перетинає грані двогранного кута по променях АВ і АС (мал. 8.3). Кут ВАС називають лінійним кутом двогранного кута. Двогранний кут має безліч лінійних кутів, усі вони між собою рівні.

Градусною мірою двогранного кута називають градусну міру його лінійного кута.

Зазвичай замість «градусна міра двогранного кута дорівнює...» кажуть «двогранний кут дорівнює...».

Задача 1. Двогранний кут дорівнює 30°.

На одній із граней вибрано точку на відстані 6 см від ребра двогранного кута. Знайти відстань від цієї точки до другої грані.

Розв’язання. Нехай точка А належить одній із граней двогранного кута з ребром а, АС ⊥ а, АС = 6 см (мал. 8.4).

Мал. 8.4

1) Позначимо другу грань кута через а і проведемо до неї перпендикуляр АВ. Сполучимо точки В і С.

2) АВ ⊥ а, АС - похила до а, ВС - її проекція, АС ⊥ а. Тоді ВС ⊥а (за теоремою про три перпендикуляри).

3) АС ⊥ а і ВС ⊥ а, тому a ⊥ (ABC) (за ознакою перпендикулярності прямої і площини). Отже, ∠ACB - лінійний кут двогранного кута, тоді ∠ACB = 30° (за умовою).

4) Із ∆АВС (∠B = 90°), за властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо:

Відповідь. 3 см.

2. Перпендикулярність площин

Дві площини, що перетинаються, утворюють чотири двогранні кути. Якщо один з них дорівнює 90°, то інші, цілком очевидно, теж дорівнюють по 90° (мал. 8.5).

Дві площини називають перпендикулярними (взаємно перпендикулярними), якщо, перетинаючись, вони утворюють прямі двогранні кути.

Якщо площини а і β перпендикулярні, це записують так: a ⊥ β.

Мал. 8.5

Мал. 8.6

і Теорема (ознака перпендикулярності площин). Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до іншої площини, то ці площини взаємно перпендикулярні.

Доведення. Нехай площина а проходить через пряму АВ, яка перпендикулярна до площини β і перетинає її в точці А (мал. 8.6). Доведемо, що a ⊥ β.

1) Нехай а ⊥ β = АК. Оскільки АВ ⊥ β, то АВ перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у площині β і проходить через точку А, зокрема, АВ ⊥ АК.

2) Проведемо в площині β пряму АР таку, що АР ⊥ АК. Тоді ∠BAP - лінійний кут двогранного кута, грані якого належать площинам а і β.

3) Оскільки ∠BAP = 90°, то а ⊥ β.

Задача 2. Точка М рівновіддалена від усіх вершин прямокутника ABCD і не лежить у його площині. Довести, що площини ABC і МАС взаємно перпендикулярні.

Доведення. 1) Нехай О - точка перетину діагоналей прямокутника ABCD (мал. 8.7), тоді АО = ОС.

2) Оскільки AM = МС, то МО - медіана і висота трикутника АМС. Отже, MO ⊥ АС.

3) Аналогічно доводимо, що MO ⊥ BD.

4) Оскільки МО ⊥ АС і MO ⊥ BD, то MO ⊥ (ABC) (за ознакою перпендикулярності прямої і площини).

5) Тоді, за ознакою перпендикулярності площин, (МАС) ⊥ (ABC).

Мал. 8.7

Мал. 8.8

Задача 3. Два рівнобедрених трикутники ABC і АВС1 мають спільну основу АВ. Площини трикутників взаємно перпендикулярні. Знайти відстань між точками С і С1, якщо АВ = 16 см, АС = 10 см, АС1 = 17 см.

Розв’язання. 1) Нехай К - середина АВ, тоді СК - медіана і висота рівнобедреного трикутника ABC, а С1К - медіана і висота рівнобедреного трикутника АВС1 (мал. 8.8).

2) Оскільки СК ⊥ АВ і С1К ⊥ АВ, то ∠CKC1 - лінійний кут двогранного кута з ребром АВ, тому ∠CKC1 = 90°.

4) У ∆АСК:

5) У ∆АС1К:

6) У АСКС1:

Відповідь. 3 см.

Яку фігуру називають двогранним кутом? Що називають гранями і ребром двогранного кута? Що таке лінійний кут двогранного кута? Що є градусною мірою двогранного кута? Які площини називають взаємно перпендикулярними? Сформулюйте й доведіть ознаку перпендикулярності площин.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

8.1 (Усно). Наведіть приклади взаємно перпендикулярних площин серед предметів, що нас оточують.

8.2. (Усно). Кут ABC - лінійний кут двогранного кута з ребром m (мал. 8.9). Які з тверджень є правильними:

1) АВ || ВС; 2) ВС ⊥ m; 3) (ABC) ⊥ m;

4) ∠АСВ - також лінійний кут двогранного кута?

8.3. На малюнку 8.9 ∠ABC - лінійний кут двогранного кута. Яким є взаємне розміщення:

1) прямої АВ і прямої m; 2) прямої m і площини ABC?

Мал. 8.9

Мал. 8.10

8.4. Лінійний кут двогранного кута дорівнює половині прямого кута. Чому дорівнює двогранний кут?

8.5. Двогранний кут дорівнює третині розгорнутого кута. Чому дорівнює лінійний кут цього двогранного кута?

8.6. Площини прямокутників ABCD і ABKL взаємно перпендикулярні (мал. 8.10). Яким є взаємне розміщення:

1) прямої AL і площини ABC;

2) прямої DC і площини ALK?

8.7. Площини квадратів ABCD і ABKL взаємно перпендикулярні (мал. 8.10). Яким є взаємне розміщення:

1) прямої ВС і площини АВК;

2) прямої LK і площини ABC?

8.8. (Усно). Скільки пар взаємно перпендикулярних площин можна провести через дану пряму?

2

8.9. Площини квадратів ABCD і ABKL взаємно перпендикулярні (мал. 8.10). Знайдіть відстані від точки L до точок D і С, якщо АВ = 4 см.

8.10. Площини прямокутника ABCD і квадрата ABKL взаємно перпендикулярні (мал. 8.10). Знайдіть відстані від точки К до точок С і D, якщо АВ = 3 см, ВС = 4 см.

8.11. Двогранний кут дорівнює 60°. На одній із його граней на відстані 2 см від іншої грані позначено точку. Знайдіть відстань від цієї точки до ребра двогранного кута.

8.12. Двогранний кут дорівнює 45°. На одній із його граней на відстані 6 см від ребра двогранного кута взято точку. Знайдіть відстань від цієї точки до другої грані двогранного кута.

8.13. Площини рівних між собою рівнобедрених трикутників ABC і АВ1С взаємно перпендикулярні (мал. 8.11). Медіана ВК, проведена до основи трикутника ABC, дорівнює 3 см. Знайдіть відстань між точками В і В1.

Мал. 8.11

8.14. Площини рівних між собою рівносторонніх трикутників ABC і АВ1С взаємно перпендикулярні (мал. 8.11). Знайдіть висоту В1К трикутника АВ1С, якщо ВВ1 = 5 см.

8.15. Які з тверджень правильні:

1) через точку, взяту поза площиною, можна провести площину, перпендикулярну до цієї площини, і причому тільки одну;

2) якщо площина а перпендикулярна до площини β, то у площині а існує пряма а, перпендикулярна до площини β;

3) якщо пряма і площина перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, то вони паралельні між собою;

4) якщо площини а і β взаємно перпендикулярні, то площина а перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у площині β?

8.16. Точка, що належить одній із граней двогранного кута, лежить на відстані 4 см від другої грані та на відстані 8 см від ребра цього кута. Знайдіть міру двогранного кута.

8.17. Точка, що належить одній із граней двогранного кута, знаходиться на відстані 10 см від ребра двогранного кута та на відстані 5 см від другої грані. Знайдіть міру двогранного кута.

8.18. Площини а і β - перпендикулярні. Яким може бути взаємне розташування прямої а і площини β, якщо пряма а:

1) паралельна площині а; 2) належить площині а;

3) перпендикулярна до площини а;

4) і площина а перетинаються, але не є перпендикулярними?

Виконайте відповідні малюнки.

8.19. Площини а і β - перпендикулярні. Яким може бути взаємне розташування площин β і у, якщо площини а і у:

1) перпендикулярні; 2) паралельні; 3) перетинаються, але не під прямим кутом?

Виконайте відповідні малюнки.

8.20. Рівнобедрені трикутники ABC і АВС1 лежать у різних гранях двогранного кута з ребром АВ, який дорівнює 120°. Знайдіть СС1, якщо СК = 3 см, С1К = 5 см, де СК і С1К - висоти трикутників.

8.21. Рівнобедрені трикутники KLM і КLМ1 лежать у різних гранях двогранного кута з ребром KL, який дорівнює 60°. Знайдіть ММ1, якщо МР = 3 см, М1Р = 8 см, де МР і M1P - висоти трикутників.

8.22. ABCDA1B1C1D1 - куб. Знайдіть міру двогранного кута, який утворюють площини АВС1 і ABC.

3

8.23. Щоб побудувати лінійний кут двогранного кута, проводять площину, перпендикулярну до ребра цього кута. Чи буде ця площина перпендикулярна до граней двогранного кута?

8.24. Дві прямі перпендикулярні до двох граней двогранного кута й перетинаються. Знайдіть кут між прямими, якщо двогранний кут дорівнює 70°.

8.25. Дві прямі перетинаються під прямим кутом і перпендикулярні до граней двогранного кута. Знайдіть градусну міру двогранного кута.

8.26. Площини а і β взаємно перпендикулярні. Точка М віддалена від площини а на 8 см, а від лінії перетину площин - на 10 см. Знайдіть відстань від точки М до площини β.

8.27. Точка Р віддалена від двох взаємно перпендикулярних площин на 8 см і 15 см. Знайдіть відстань від точки Р до лінії перетину площин.

8.28. DS - перпендикуляр до площини квадрата ABCD. Доведіть, що:

1) (SAD) ⊥ (SCD);   2) (SBC) ⊥ (SCD).

8.29. Точка О - центр квадрата ABCD, OS - перпендикуляр до його площини. Доведіть, що:

1) (SAC) ⊥ СABD);   2) (SAC) ⊥ (SBD).

8.30. З точок А і В, які належать двом перпендикулярним площинам а і β, проведено перпендикуляри АС і BD до прямої перетину площин. Знайдіть АС, якщо АВ = 7 см, CD = 3 см, BD = 2 см.

8.31. З точок М і N, які лежать у двох перпендикулярних площинах β і у, проведено перпендикуляри МК і NL до прямої перетину площин. Знайдіть MN, якщо ML = 8 см, KN = 14 см, KL = 2 см.

8.32. Площини рівнобедрених трикутників KLM і KLM1 зі спільною основою KL взаємно перпендикулярні. Знайдіть MM1, якщо ∠М1 = 60°, KL = 8 см, МК = 5 см.

8.33. Площини рівнобедрених трикутників ABC і АВС1 зі спільною основою АВ взаємно перпендикулярні, ∠ACB = 90°, АВ = 10 см, АС1 = 13 см. Знайдіть CC1.

8.34. Площини правильного трикутника ABC і квадрата ABDE взаємно перпендикулярні, АВ = 2а см. Знайдіть:

1) довжини відрізків CD і СЕ; 2) косинус кута ECD.

8.35. Два рівносторонніх трикутники ABC і АВС1 лежать у взаємно перпендикулярних площинах, АВ = 2b см. Знайдіть:

1) довжину відрізка СС1;   2) косинус кута САС1.

4

8.36. Точки С і D лежать на одній із граней двогранного кута й віддалені від його ребра відповідно на 2 і 3 см. Знайдіть міру двогранного кута, якщо точка С віддалена від другої грані кута на 1 см менше, ніж точка D.

8.37. Точки М і N лежать на одній із граней двогранного кута й віддалені від другої грані на 3 см і 4 см. Знайдіть міру двогранного кута, якщо сума відстаней від точок М і N до ребра двогранного кута дорівнює 14 см.

8.38. Чотирикутник ABCD, у якого АВ = AD і ВС = CD, зігнули під кутом 90° по діагоналі BD. Площі трикутників ABD і BDC, що при цьому утворилися, дорівнюють відповідно 28 см2 і 96 см2. Знайдіть, якою стала відстань між точками А і С після згинання, якщо BD = 8 см.

8.39. Квадрат, площа якого дорівнює S, зігнули по діагоналі так, що його частини стали взаємно перпендикулярними. Знайдіть відстань між кінцями другої діагоналі після згинання.

8.40. Відрізок завдовжки m спирається кінцями на дві взаємно перпендикулярні площини. Відстані від кінців відрізка до лінії перетину площин дорівнюють а і b. Знайдіть відстань між основами перпендикулярів, проведених з кінців відрізка до лінії перетину площин. При яких обмеженнях на а, b і m задача має розв’язки?

Життєва математика

8.41. Знайдіть площу (в гектарах) лісового масиву, зображеного на плані з квадратною сіткою 1x1 (у см) в масштабі 1 : 20 000.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

8.42. Проведіть пряму а і позначте точки М і К, які віддалені від прямої а на 2 см і 3 см відповідно.

8.43. Проведіть прямі а і b так, що а | b, і відстань між ними дорівнює 2,5 см.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.