Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА ІІ ГЕОМЕТРІЯ

РОЗДІЛ 2 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§9. ВІДСТАНІ У ПРОСТОРІ

1. Відстань від точки до прямої

Як і на площині, у просторі

відстань від точки до прямої — це довжина перпендикуляра, проведеного з цієї точки до цієї прямої.

На малюнку 9.1 довжина відрізка АВ - відстань від точки А до прямої а.

Задача 1. Пряма AM перпендикулярна до площини рівностороннього трикутника ABC. Знайти відстань від точки М до прямої ВС, якщо AM = 4 см, АВ = 2 см.

Мал. 9.1

Розв’язання. 1) Нехай точка К - середина ВС (мал. 9.2). Тоді АК - медіана і висота рівностороннього трикутника ABC.

2) Проведемо відрізок МК. Оскільки AM ⊥ (АВС), МК - похила до (ABC), АК - її проекція, АК ⊥ ВС, то МК ⊥ ВС (за теоремою про три перпендикуляри). Тоді МК - відстань від точки М до прямої ВС.

Мал. 9.2

Відповідь. 5 см.

2. Відстань від точки до площини

Як було зазначено в одному з попередніх параграфів,

відстань від точки до площини — це довжина перпендикуляра, проведеного із цієї точки до цієї площини.

Задача 2. прямокутнику ABCD зі сторонами АВ = 6 см, ВС = 8 см діагоналі перетинаються в точці О, ОК - перпендикуляр до площини прямокутника. Знайти відстань від точки К до площини прямокутника, якщо АК - 13 см.

Розв’язання. OK ⊥ (ABC), тому ОК - шукана відстань (мал. 9.3).

Відповідь. 12 см.

Мал. 9.3

3. Відстань від прямої до площини

Якщо пряма належить площині або перетинає площину, то вважають, що відстань від прямої до площини дорівнює нулю.

Відстанню від прямої до паралельної їй площини називають довжину перпендикуляра, проведеного з будь-якої точки прямої до площини.

На малюнку 9.4 довжина відрізка АВ - відстань від прямої а до паралельної їй площини а.

Можна довести, що відстань від прямої до паралельної їй площини не залежить від вибору точки А. Дійсно, А1В1 = АВ (як протилежні сторони прямокутника).

Мал. 9.4

Мал. 9.5

Задача 3. ABCDA1B1C1D1 - куб, ребро якого дорівнює 4 см. Знайти відстань від прямої ВС до площини АВ1С1.

Розв’язання (мал. 9.5). 1) Оскільки ВС || В1С1, то пряма ВС паралельна площині АВ1С1.

2) СD ⊥ C1D, точка О - точка перетину діагоналей грані CD1C1D.

3) CO ⊥ АB1C1, тому СО - шукана відстань.

4) СD1 = CD ∙ = 4 = 8 (см).

5)

Відповідь. 4 см.

4. Відстань між площинами

Якщо площини перетинаються, то вважають, що відстань між такими площинами дорівнює нулю.

Відстанню між двома паралельними площинами називають довжину перпендикуляра, проведеного з будь-якої точки однієї площини до другої.

На малюнку 9.6 довжина відрізка АВ - відстань між площинами а і β. Відстань між паралельними площинами не залежить від вибору точки А.

Мал. 9.6

Мал. 9.7

Задача 4. Кінці відрізка MN завдовжки 17 см належать паралельним площинам а і β. Проекція відрізка на одну із цих площин дорівнює 8 см. Знайти відстань між площинами а і β.

Розв’язання. 1) Проведемо МК - перпендикуляр до площини β (мал. 9.7).

2) Тоді МК - шукана відстань, a NK - проекція MN на площину β, NK = 8 см.

3) Із ∆MNK (∠K = 90°):

Відповідь. 15 см.

Що називають відстанню від точки до прямої; відстанню від точки до площини? Якою є відстань від прямої до площини, якщо пряма перетинає площину або їй належить? Що називають відстанню від прямої до паралельної їй площини? Якою є відстань між площинами, що перетинаються? Що називають відстанню між паралельними площинами?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

9.1. ABCDA1B1C1D1 - куб (мал. 9.5). Назвіть відрізок, довжина якого є відстанню від:

1) точки D1 до прямої DC;

2) точки А до площини А1В1С1.

9.2. ABCDA1B1C1D1 - куб (мал. 9.5). Назвіть відрізок, довжина якого є відстанню від:

1) точки В до прямої DC; 2) точки В1 до площини ABC.

9.3. Дано куб із ребром а (мал. 9.5). Знайдіть відстань:

1) від точки А1 до площини DD1C1;

2) від точки D до прямої ВС;

3) від прямої СС1 до площини ABD;

4) від прямої DC до площини АВВ1;

5) між площинами ABD і DCC1;

6) між площинами ABC і А1В1С1.

9.4. Дано куб із ребром b (мал. 9.5). Знайдіть відстань:

1) від точки D до площини А1В1С1;

2) від точки В1 до прямої A1D1;

3) від прямої A1D1 до площини ABC;

4) від прямої АВ до площини В1С1С;

5) між площинами АВВ1 і DCC

6) між площинами ADD1 і А1В1С1.

9.5.   Пряма а паралельна площині а (мал. 9.8). З деякої точки М прямої а до площини а проведено похилу завдовжки 5 см, проекція якої KN дорівнює 4 см. Знайдіть відстань від прямої а до площини а.

Мал. 9.8

9.6. Площини а і β паралельні (мал. 9.7). З точки М, яка належить площині а, до площини β проведено перпендикуляр МК і похилу MN завдовжки 10 см. Знайдіть відстань між площинами а і β, якщо проекція похилої MN на площину β дорівнює 6 см.

2

9.7. Кінці відрізка MN, що не перетинає площину а, знаходяться на відстанях 6 см і 10 см відповідно від цієї площини. На якій відстані від площини знаходиться середина відрізка MN?

9.8. Кінці відрізка АВ, що не перетинає площину β, знаходяться на відстанях 8 см і 4 см відповідно від цієї площини. На якій відстані від площини знаходиться середина відрізка АВ?

9.9. З точки А до площини β проведено похилу завдовжки 8 см та перпендикуляр, які утворюють між собою кут 30°. Знайдіть відстань від точки А до площини β.

9.10. З точки В до площини а проведено перпендикуляр і похилу. Знайдіть відстань від точки В до площини а, якщо проекція похилої дорівнює 3 см і утворює з похилою кут 45°.

9.11. Один із кінців відрізка лежить у площині а, а його середина віддалена від площини на 3 см. На якій відстані від площини знаходиться другий кінець відрізка?

9.12. Один із кінців відрізка належить площині а, а другий віддалений від неї на 10 см. На якій відстані від площини знаходиться середина цього відрізка?

9.13. Через вершину А прямокутника ABCD до його площини проведено перпендикуляр АК. Знайдіть відстань від точки К до прямої CD, якщо АС = 20 см, CD = 16 см, АК = 9 см.

9.14. Через вершину В квадрата ABCD до його площини проведено перпендикуляр ВМ. Знайдіть відстань від точки М до прямої AD, якщо BD = 4 см, ВМ = 3 см.

9.15. У трикутнику ABC АС = ВС = 5 см, АВ = 6 см. СМ - перпендикуляр до площини трикутника, СМ = 3 см. Знайдіть відстань від точки М до прямої АВ.

9.16. ВК - перпендикуляр до площини рівностороннього трикутника ABC, АВ = 6 см, ВК = 12 см. Знайдіть відстань від точки К до прямої АВ.

3

9.17. На малюнку 9.9 зображено куб із ребром завдовжки b, MN - середня лінія трикутника ABD. Знайдіть відстань від прямої СС1 до площини MNN1.

Мал. 9.9

9.18. На малюнку 9.9 зображено куб із ребром a. MN - середня лінія трикутника ABD. Знайдіть відстань між площинами BB1D і MNN1.

9.19. Через вершину А квадрата ABCD проведено перпендикуляр AT. Знайдіть відстань від точки Т до прямих, що містять діагоналі квадрата, якщо АВ = 8 Cм, AT = 7 см.

9.20. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 5 см і 9 см. Через середину гіпотенузи до площини трикутника проведено перпендикуляр завдовжки 6 см. Знайдіть відстань від кінця перпендикуляра, що не лежить у площині трикутника, до прямих, що містять катети трикутника.

9.21. Точка М лежить на бісектрисі кута ABC. До площини кута проведено перпендикуляр MS. Доведіть, що точка S рівновіддалена від прямих, що містять сторони кута.

9.22. Доведіть, що коли точка М рівновіддалена від усіх вершин многокутника й не лежить у його площині, то її проекцією на площину многокутника є центр кола, описаного навколо многокутника.

9.23. Точка S рівновіддалена від усіх вершин прямокутника ABCD і знаходиться на відстані 3 см від його площини. Знайдіть відстань від точки S до точки А, якщо CD = 4 см, ∠CAD = 30°.

9.24. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 24 см. Точка Q, що не лежить у площині трикутника, віддалена від кожної з його вершин на 20 см. Знайдіть відстань від точки Q до площини трикутника.

9.25. Точка віддалена від кожної з прямих, що містять сторони рівностороннього трикутника, на 15 см, а від площини трикутника - на 12 см. Знайдіть площу трикутника.

9.26. Площа правильного трикутника дорівнює 27 см2. Відстань від точки М, що лежить поза площиною трикутника, до прямих, що містять сторони трикутника, дорівнює 5 см. Знайдіть відстань від точки М до площини трикутника.

9.27. Точка К віддалена від двох даних паралельних прямих на 13 см і 15 см, а відстань між цими прямими - 14 см. Знайдіть відстань від точки К до площини, у якій лежать ці паралельні прямі.

9.28. З вершини більшого кута трикутника, сторони якого дорівнюють 21 см, 13 см і 20 см, до площини трикутника проведено перпендикуляр завдовжки 35 см. Знайдіть відстані від кінців перпендикуляра до прямої, що містить протилежну до цього кута сторону трикутника.

9.29. З вершини середнього за величиною кута трикутника, сторони якого дорівнюють 9 см, 10 см і 11 см, до площини трикутника проведено перпендикуляр, довжина якого 7 см. Знайдіть відстані від кінців перпендикуляра до прямої, що містить протилежну до цього кута сторону трикутника.

4

9.30. Проекцією точки S на площину многокутника є точка О, що лежить усередині многокутника. Доведіть, що якщо точка S рівновіддалена від усіх прямих, що містять сторони многокутника, то точка О - центр кола, вписаного в многокутник.

9.31. Точка Р рівновіддалена від усіх прямих, що містять сторони паралелограма. Доведіть, що цей паралелограм є ромбом.

9.32. Точка К рівновіддалена від усіх прямих, що містять сторони ромба, і віддалена на 1 см від його площини. Знайдіть відстань від точки К до сторін ромба, якщо його діагоналі дорівнюють 6 см і 8 см.

9.33. Точка F віддалена на 5 см від усіх прямих, що містять сторони прямокутного трикутника. Проекція цієї точки на площину трикутника лежить усередині трикутника. Знайдіть відстань від точки F до площини трикутника, якщо його катет дорівнює 12 см, а гіпотенуза - 15 см.

9.34. Кінці двох відрізків, довжини яких 40 см і 30 см, належать двом паралельним площинам, а проекції цих відрізків на одну з них відносяться як 16 : 9. Знайдіть відстань між площинами.

9.35. Кінці двох відрізків, довжини яких відносяться як 26 : 25, належать двом паралельним площинам, а проекції цих відрізків на одну з них дорівнюють 40 см і 28 см. Знайдіть відстань між площинами.

9.36. Вершини А і D паралелограма ABCD лежать у площині а, а дві інші вершини - поза цією площиною. Проекції діагоналей на цю площину дорівнюють 20 см і 22 см. Знайдіть відстань від прямої ВС до площини а, якщо АВ = 15 см, ВС = 19 см.

Життєва математика

9.37. Коробка мае форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами 20 см, 30 см і 50 см. Скільки таких коробок можна помістити в кузов вантажівки, розміри якого 2 м, 3 м і 1,5 м?

Підготуйтеся де вивчення нового матеріалу

9.38. Побудуйте прямі а і b, що перетинаються під кутом:

1) 30°;   2) 45°;   3) 60°;   4) 90°.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.