Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА ІІ ГЕОМЕТРІЯ

РОЗДІЛ 2 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§10. ВИМІРЮВАННЯ КУТІВ У ПРОСТОРІ. ОРТОГОНАЛЬНЕ ПРОЕКТУВАННЯ

1. Кут між прямими

Як і на площині, у просторі

кутом між прямими, що перетинаються, називають менший із кутів, що утворилися при перетині цих прямих.

Якщо прямі паралельні, то кут між ними вважають рівним нулю.

Розглянемо поняття кута між мимобіжними прямими.

Кутом між мимобіжними прямими називають кут між прямими, що паралельні даним мимобіжними прямим і перетинаються.

Нехай а1 і b1 — прямі, що перетинаються в точці С і паралельні мимобіжним прямим а і b, а кут між прямими а1 і b1 дорівнює φ (мал. 10.1). Тоді кут між прямими а і b також дорівнює φ. Можна довести, що кут між мимобіжними прямими а і b не залежить від вибору точки С. У задачах точку С зручно вибирати на одній із прямих, наприклад на прямій а, і проводити через цю точку пряму, паралельну прямій b.

Мал. 10.1

ABCDA1B1C1D1 - куб. Знайти кут між мимобіжними прямими ВС і DC1.

Розв’язання (мал. 10.2). 1) Пряма АН паралельна прямій ВС, тому шуканий кут дорівнює куту між прямими AD і DC1.

Мал. 10.2

2) Оскільки DC - проекція похилої DC1 на (ADC) і DC ⊥ AD, то, за теоремою про три перпендикуляри, DC1 ⊥ AD.

3) Отже, кут між прямими ВС і DC1 дорівнює 90°.

Відповідь. 90°.

Таким чином, можна говорити про кут φ між будь-якими двома прямими простору. Очевидно, що цей кут φ задовольняє умову 0° < φ < 90°.

Перпендикулярними можуть бути як прямі, що перетинаються, так і мимобіжні прямі.

Дві прямі називають перпендикулярними (взаємно перпендикулярними), якщо кут між ними дорівнює 90°.

У задачі 1 прямі ВС і DC1 - взаємно перпендикулярні.

2. Кут між прямою і площиною

Якщо пряма паралельна площині або їй належить, то кут між ними вважають рівним нулю. Якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між ними вважають рівним 90°.

Нехай дано пряму а, що перетинає площину а в точці М і не є перпендикулярною до цієї площини (мал. 10.3). Основи перпендикулярів, проведених з точок прямої а на площину а, належать прямій b. Ця пряма b є проекцією прямої а на площину a.

Мал. 10.3

Якщо пряма перетинає площину і не є перпендикулярною до неї, то кутом між прямою і площиною називають кут між прямою і її проекцією на цю площину.

Так само визначають і кут між похилою і площиною. Очевидно, що кут φ між прямою і площиною задовольняє умову 0° ≤ φ ≤ 90°.

Задача 2. З точки до площини проведено похилу завдовжки 18 см. Знайти кут, який утворює похила з площиною, якщо проекція похилої на площину дорівнює 9 см.

Розв’язання. 1) AM - похила, AM = 18 см, ВМ - її проекція, ВМ = 9 см (мал. 10.3). Тоді ∠AMВ - шуканий.

2) У ∆АМВ (∠B = 90°) тому ∠M = 60°.

Відповідь. 60°.

3. Кут між площинами

Якщо дві площини паралельні, то кут між ними вважають рівним нулю. Якщо дві площини перетинаються, то вони утворюють чотири двогранних кути зі спільним ребром (мал. 10.4).

Величину меншого з двогранних кутів, що утворилися при перетині двох площин, називають кутом між площинами.

Зрозуміло, що кут φ між площинами задовольняє умову 0° < φ < 90°. Якщо φ = 90°, то площини взаємно перпендикулярні.

Якщо пригадати означення лінійного кута двогранного кута, то означення кута між площинами можна сформулювати по-іншому.

Мал. 10.4

Кутом між площинами, що перетинаються, називають кут між прямими, проведеними в цих площинах перпендикулярно до їх лінії перетину.

На малюнку 10.5 площини а і β перетинаються по прямій m. У площині а проведено пряму а таку, що а ⊥ m, а в площині β - пряму b таку, що b і n, прямі а і b перетинаються. Якщо кут між прямими а і b дорівнює φ, то кут між площинами а і β також дорівнює φ.

Мал. 10.5

Задача 3. Квадрат ABCD і прямокутник ABC1D1 мають спільну сторону, а кут між їх площинами дорівнює 60°. Знайти відстань між точками D і D2, якщо SABCD = 9 Cм2, SABC1D1 = 24 см2. Скільки розв’язків має задача?

Розв’язання. 1) Оскільки AD ⊥ АВ і AD1 ⊥ АВ, то кутом між площинами можна вважати менший із кутів, що утворилися при перетині прямих AD і AD1 (мал. 10.6). Менший з них за умовою дорівнює 60°. Тому кут DAD1 може дорівнювати 60° або 120°. Отже, задача має два розв’язки.

2) SABCD = 9 см2, тому АВ = AD = 3 (см).

3) SABC1D1 = 24 см2, тому АD1 = = 8 (см).

Мал. 10.6

4) Якщо ∠DAD1 = 60°, то із ∆ADD1 за теоремою косинусів:

Якщо ∠DAD1 = 120°, то

Відповідь. 7 см або V97 см.

4. Ортогональне проектування

Окремим випадком паралельного проектування є ортогональне проектування.

Паралельне проектування, напрям якого перпендикулярний до площини проекції, називають ортогональним проектуванням. Паралельну проекцію фігури, що утворюється при ортогональному проектуванні, називають ортогональною проекцією фігури.

На малюнку 10.7 фігура F' є ортогональною проекцією фігури (тіла) F.

Мал. 10.7

Мал. 10.8

Ортогональне проектування часто використовують у кресленні. Деталь проектують на дві (або три) площини, і потім дві (або три) проекції зображують на площині креслення. На малюнку 10.8 зображено дві ортогональні проекції деякої деталі циліндричної форми.

Розглянемо властивості ортогонального проектування многокутника.

Теорема (про площу ортогональної проекції многокутника). Площа ортогональної проекції многокутника на площину дорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною многокутника і площиною проекції:

Sпp = Sφ ∙ cosφ,

де Sφ — площа многокутника, Sпр — площа його проекції, φ — кут між площиною многокутника і площиною проекції.

Доведення. Доведемо спочатку теорему для трикутника у випадку, коли площина проекції проходить через одну з його сторін.

1) Проекцією трикутника ABC на площину а є трикутник АВС1 (мал. 10.9).

2) Проведемо висоту СК трикутника ABC. За теоремою про три перпендикуляри С1К ⊥ АВ. Отже, С1К - висота трикутника ABC1.

3) Оскільки СК ⊥ АВ і С1К ⊥ АВ, то φ = ∠CKC1 - кут між площиною трикутника ABC і площиною проекції а.

4) КС1 = КС cos φ.

Тому SABC1 = SABC ∙ cosφ.

Для випадку, який ми розглядаємо, теорему доведено.

Мал. 10.9

Якщо замість площини а візьмемо будь-яку іншу паралельну їй площину, теорема також буде правильною, оскільки проекції трикутника на паралельні площини будуть між собою рівними.

У загальному випадку для доведення теореми многокутник розбивають (наприклад, діагоналями) на скінченну кількість трикутників. Тоді ортогональна проекція многокутника складатиметься з ортогональних проекцій трикутників, що утворилися, і теорему також можна буде довести. Строге математичне доведення теореми в цьому випадку не наводимо.

Задача 4. Ортогональною проекцією трикутника АВС на площину а є прямокутний трикутник А1В1С1 з катетами 4 см і 6 см. Знайти площу трикутника ABC, якщо кут між площинами ABC і А1В1С1 дорівнює 30°.

Розв’язання.

2) Нехай φ = 30° - кут між площинами ABC і А1В1С1. Оскільки SA1B1C1 = SABC ∙ cosφ, то

Відповідь. 8 см2.

Що називають кутом між прямими, які перетинаються? Яким є кут між паралельними прямими? Що називають кутом між мимобіжними прямими? Які прямі називають перпендикулярними? Яким є кут між паралельними прямою і площиною; площиною і прямою, що їй належить? Що називають кутом між прямою і площиною? Яким є кут між паралельними площинами? Що називають кутом між площинами, які перетинаються? Що називають ортогональним проектуванням? Що називають ортогональною проекцією фігури? Сформулюйте теорему про площу ортогональної проекції.

Pозв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

10.1. (Усно). Чи може кут між мимобіжними прямими дорівнювати:

1) 0°;   2) 20°;    3) 90°;   4) 100°?

10.2. (Усно). Чи може кут між прямою і площиною дорівнювати:

1) 0°;   2) 30°;   3) 90°;   4) 120°?

10.3. Чи може кут між площинами, що перетинаються, дорівнювати:

1) 0°;   2) 40°;   3) 90°;   4) 150°?

10.4. Чому дорівнює кут між:

1) суміжними гранями куба;

2) протилежними гранями куба?

10.5. Похила AM утворює з площиною а кут 45° (мал. 10.3). Знайдіть довжину похилої, якщо довжина її проекції дорівнює 4 см.

10.6. Похила AM дорівнює 10 см і утворює з площиною а кут 60° (мал. 10.3). Знайдіть проекцію похилої.

10.7. (Усно). Знайдіть серед предметів, що вас оточують, мимобіжні перпендикулярні прямі.

2

10.8. Із точки до площини проведено похилу завдовжки 12 см. Знайдіть кут, який утворює похила з площиною, якщо проекція похилої дорівнює 6 см.

10.9. Із точки до площини проведено похилу завдовжки 8 см. Знайдіть кут, який утворює похила з площиною, якщо перпендикуляр, проведений із точки до площини, дорівнює 4 см.

10.10. Дві площини перетинаються під кутом 60°. Точка Р лежить в одній з них і віддалена від другої на 6 см. Знайдіть відстань від точки Р до лінії перетину площин.

10.11. Дві площини перетинаються під кутом 30°. Точка М лежить в одній з них і на 10 см віддалена від їх лінії перетину. Знайдіть відстань від точки М до другої площини.

10.12. (Усно). Чи може площа ортогональної проекції многокутника:

1)дорівнювати площі многокутника;

2) бути більшою за площу многокутника;

3) бути меншою за площу многокутника?

10.13. Перенесіть таблицю в зошит і заповніть її порожні комірки.

Площа многокутника

Кут між площинами многокутника і його ортогональною проекцією

Площа проекції

40 см2

30°

 
 

45°

10 см2

60 см2

 

30 см2

10.14. Перенесіть таблицю в зошит і заповніть її порожні комірки.

Площа многокутника

Кут між площинами многокутника і його ортогональною проекцією

Площа проекції

4 см2

45°

 
 

60°

30 см2

32 см2

 

16 см2

10.15. ABCDA1B1C1D1 - куб (мал. 10.10). Знайдіть кути, які утворює:

1) пряма АА1 з прямими ВС, BC1, DC1;

2) пряма СВ1 з прямими ВС, BC1.

10.16. ABCDA1B1C1D1 - куб (мал. 10.10). Знайдіть кути, які утворює пряма А1В1 з прямими ВС і DC1.

10.17. ABCDA1B1C1D1 - куб (мал. 10.10). Який кут пряма DC1 утворює з площиною ABC?

10.18. Пряма а перпендикулярна до трьох прямих, що лежать у площині а. Чи можна стверджувати, що пряма а перпендикулярна до площини а?

10.19. Пряма перпендикулярна до двох сторін паралелограма. Чи можна стверджувати, що пряма перпендикулярна і до площини паралелограма?

Мал. 10.10

10.20. Пряма МА перпендикулярна до прямих АВ і AD, що містять сторони паралелограма ABCD. Знайдіть кут між прямими МА і CD.

10.21. Пряма СК перпендикулярна до прямих СА і СВ, що містять сторони трикутника ABC. Знайдіть кут між прямими СК і АВ.

10.22. Ребро куба дорівнює 1 см (мал. 10.10). Знайдіть площу чотирикутника AB1C1D, використовуючи формулу площі ортогональної проекції.

10.23. З точки до площини проведено дві похилі. Одна з них, завдовжки 8 см, утворює з площиною кут 30°. Знайдіть довжину другої похилої, якщо вона утворює з площиною кут 60°.

10.24. З точки до площини проведено дві похилі. Одна з них утворює з площиною кут 45°, а друга - 30°. Проекція першої похилої на площину дорівнює 2 см. Знайдіть довжину другої похилої.

10.25. Точка О - центр квадрата ABCD, ОК - перпендикуляр до площини квадрата. Пряма АК нахилена до площини квадрата під кутом 60°. Знайдіть довжину відрізка АК, якщо АВ = 4 см.

10.26. AS - перпендикуляр до площини квадрата ABCD. Пряма SC нахилена до площини квадрата під кутом 30°. Знайдіть довжину відрізка SC, якщо АВ = 6 см.

3

10.27. Дано прямокутник ABCD зі сторонами АВ = 9 см і ВС =12 см. AM - перпендикуляр до площини прямокутника. Пряма МС нахилена до площини прямокутника під кутом 30°. Знайдіть:

1) довжину перпендикуляра МА;

2) тангенс кута нахилу прямої MB до площини прямокутника;

3) тангенс кута, який утворює площина MDC з площиною прямокутника.

10.28. У рівнобедреному трикутнику ABC АВ = АС = 10 см, ВС = 12 см. AM - перпендикуляр до площини трикутника. Площина МВС утворює з площиною трикутника кут 45°. Знайдіть:

1) довжину перпендикуляра AM;

2) тангенс кута нахилу прямої МС до площини трикутника;

3) площу трикутника МВС.

10.29. ABCDA1B1C1D1 - куб (мал. 10.10). Знайдіть градусну міру кута між прямими СВ1 і DC1.

10.30. ABCDA1B1C1D1 - куб (мал. 10.10). Знайдіть градусну міру кута між прямими АВ1 і ВС1.

10.31. (Усно). До скількох ребер куба перпендикулярна пряма DС1 (мал. 10.10)?

10.32. Через гіпотенузу АВ прямокутного трикутника ABC проведено площину а. Відстань від точки С до площини а дорівнює 6 см. Який кут утворює пряма ВС з площиною а, якщо АВ = 14 см, АС = 5 см?

10.33. Через гіпотенузу АВ прямокутного трикутника ABC проведено площину β. Катет АС утворює з площиною β кут 60°. Знайдіть відстань від точки С до площини β, якщо АВ = 10 см, ВС = 8 см.

10.34. Ортогональною проекцією ромба зі стороною 5 см і діагоналлю 8 см є паралелограм. Кут між площинами ромба і паралелограма дорівнює 45°. Знайдіть площу паралелограма.

10.35. Ортогональною проекцією паралелограма є ромб, сторона якого дорівнює 13 см, а одна з діагоналей - 10 см. Знайдіть площу паралелограма, якщо кут між площинами паралелограма і ромба дорівнює 30°.

10.36. Через сторону рівностороннього трикутника проведено площину, яка утворює з площиною трикутника кут 60°. Знайдіть кути, які утворюють дві інші сторони трикутника з цією площиною.

10.37. Через гіпотенузу рівнобедреного прямокутного трикутника проведено площину, яка утворює з площиною трикутника кут 30°. Знайдіть кути, які утворюють катети трикутника з цією площиною.

10.38. У ромбі ABCD АВ = 8 см, ∠BAD = 45°. З вершини В до площини ромба проведено перпендикуляр ВК. Площина AKD утворює з площиною ромба кут 60°. Знайдіть:

1) відстань від точки К до площини ромба;

2) площу трикутника AKD.

10.39. У паралелограмі ABCD АВ = 6 см, AD = 8 см, ∠BAD = 30°. З вершини В до площини паралелограма проведено перпендикуляр ВМ. Площина MAD утворює з площиною паралелограма кут 45°. Знайдіть:

1) відстань від точки М до площини паралелограма;

2) площу трикутника AMD.

10.40. Два рівнобедрених трикутники мають спільну основу завдовжки 10 см. Кут між площинами трикутників дорівнює 60°, а їх площі - 25 см2 і 40 см2. Знайдіть відстань між вершинами трикутників. Скільки розв’язків має задача?

10.41. Два рівнобедрених трикутники, кут між площинами яких дорівнює 60°, мають спільну основу завдовжки 20 см. Площа одного з трикутників дорівнює 30 см2, а висота другого, яка проведена до основи, дорівнює 5 см. Знайдіть відстань між вершинами трикутників. Скільки розв’язків має задача?

10.42. Трикутник А1В1С1 є ортогональною проекцією трикутника ABC зі сторонами 36 см, 34 см і 14 см. Знайдіть кут між площинами трикутників, якщо трикутник А1В1С1 - прямокутний із катетами 12 см і 28 см.

10.43. Прямокутний трикутник K1L1M1 з катетами 3 см і 8 см є ортогональною проекцією трикутника KLM зі сторонами 4 см, 13 см і 15 см. Знайдіть кут між площинами трикутників.

10.44. Через сторону АВ рівностороннього трикутника ABC проведено площину а. Проекції сторін ВС і АС на цю площину взаємно перпендикулярні. Які кути утворюють прямі ВС і АС з площиною а?

10.45. Пряма утворює зі сторонами прямого кута кути по 60°. Знайдіть міру кута, який утворює ця пряма з площиною прямого кута.

Життєва математика

10.46. Очеретина виступає на 1 м над поверхнею озера. Її верхівку зрівняли з поверхнею води, відхиливши від вертикального положення на 2 м у бік. Знайдіть глибину озера в місці, де росте очерет.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

10.47. Серед точок А(-2; 0), B( 1; -1), С(0; 4), D(14; 0), М(-4; -4), N(0; -7) виберіть ті, що належать:

1) осі абсцис; 2) осі ординат;

3) додатній півосі х;   4) від’ємній півосі х;

5) додатній півосі у;   6) від’ємній півосі у.

10.48. Знайдіть відстань від кожної з точок М(-2; 3), N(-5; -1), Т(7; 11), l(4; 0) до осей координат.

10.49. Знайдіть АВ, якщо:

1) А(-2, 7), 5(2; 4);   2) А(-1; 1), 5(2; 3).

10.50. Знайдіть координати точки М - середини відрізка АВ, якщо А(-2; 4), 5(8; 16).

Українці у світі

Серед тих імен, які навіки закарбуються в історії математичного олімпіадного руху, буде й ім’я В’ячеслава Ясінського.

Народився В’ячеслав Андрійович у 1957 році в с. Чернівці Могилів-Подільського району Вінницької області. Навчаючись у Чернівецькій середній школі №1, неодноразово брав участь у математичних олімпіадах, а у 1974 році став переможцем Республіканської математичної олімпіади школярів (тодішній аналог 4-го етапу Всеукраїнської олімпіади юних математиків). Вищу освіту здобув у Вінницькому державному педагогічному інституті.

Саме завдяки ВА. Ясінському на сторінках журналу «Математика в школе», що виходив друком у Москві, прославилось м. Вінниця, адже журнал постійно проводив конкурси із розв’язування задач і В’ячеслав Андрійович майже завжди ставав їх переможцем. Працюючи на педагогічній ниві і як шкільний учитель, і як викладач вишу, В.А. Ясінський став одним з учасників творення нового явища - олімпіадної математики. Його книга «Задачі міжнародних олімпіад із математики та методи їх розв’язування» здобула визнання не тільки в Україні, а й в Європі, зокрема, її було перевидано у Польщі, де польські колеги з величезною цікавістю сприйняли зміст цієї праці.

В.А. Ясінський багато зробив для підтримки і розвитку олімпіадного руху та інших математичних змагань в Україні та світі. У 1991 році він став членом журі Всеукраїнської олімпіади юних математиків. Також очолював журі та оргкомітет Математичного Турніру Міст, що проходив у Вінниці. Цей турнір, що по суті є математичною олімпіадою, проводився щорічно з 1980 року, а участь в ньому брали більше 100 міст з 25 держав Європи, Азії, Південної і Північної Америки, Австралії. Також ВА. Ясінський був членом методичної комісії Міжнародної олімпіади з геометрії, що створювала базу авторських олімпіадних задач з геометрії. Він і сам протягом багатьох років складав задачі для Міжнародної математичної олімпіади, за що у липні 2005 року на 46-й Міжнародній математичній олімпіаді його було нагороджено відповідним сертифікатом.

Саме на таких постатях тримається і розвивається рух математичних змагань в Україні та у світі. Пам’ятатимемо...

(1957-2015)









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.