Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА ІІ ГЕОМЕТРІЯ

РОЗДІЛ 3 КООРДИНАТИ І ВЕКТОРИ ПРОСТОРІ

У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ МИ

- пригадаємо поняття вектора, його модуля; дії над векторами;

- ознайомимося з прямокутною системою координат, координатами вектора, паралельним перенесенням і симетрією у просторі;

- навчимося знаходити відстань між точками у просторі, координати середини відрізка у просторі; додавати і віднімати вектори, множити вектор на число, знаходити скалярний добуток векторів; будувати симетричні зображення.

§11. ПРЯМОКУТНА СИСТЕМА КООРДИНАТ У ПРОСТОРІ

З прямокутною системою координат на площині ми вже ознайомилися в курсі геометрії 9 класу. У цьому параграфі розглянемо прямокутну систему координат у просторі та дізнаємося, що таке координатний метод розв’язування геометричних задач.

1. Прямокутна система координат у просторі

Через довільну точку О простору проведемо три попарно перпендикулярні прямі х, у, z (мал. 11.1). На кожній з них виберемо напрям, позначивши його стрілкою, та одиничний відрізок. У такий спосіб задають прямокутну систему координат у просторі. Точку О називають початком координат, а прямі з вибраними напрямами - осями координат (або координатними осями). Вісь х називають віссю абсцис, вісь у - віссю ординат, вісь z - віссю аплікат. Початок координат розбиває кожну з осей на дві півосі - додатну (яка містить стрілку напряму) і від’ємну. Площини, які проходять відповідно через осі координат х і у, у і z та х і z називають координатними площинами ху, yz і хz.

Мал. 11.1

Мал. 11.2

У прямокутній системі координат кожній точці М простору відповідає єдина впорядкована трійка чисел, а кожній впорядкованій трійці чисел - єдина точка простору. Цю трійку чисел називають координатами точки і визначають так само, як координати точки на площині.

Проведемо через точку М площину, перпендикулярну до осі х (мал. 11.2). Вона перетинає вісь х у точці Мх. Координатою х (абсцисою) точки М називають число, що відповідає точці Мх на осі х. Якщо точка Мх збігається з точкою О, то вважатимемо, що абсциса точки М дорівнює 0.

Проведемо площини, перпендикулярні до осей у і z, які перетинають ці осі в точках Му і Мz відповідно. Координатою у (ординатою) точки М називають число, що відповідає точці Му на осі у, а координатою z (аплікатою) точки М називають число, що відповідає точці М2 на осі z. Точку М з її координатами записують, як і в прямокутній системі координат на площині, а саме: М(х; у; z). Якщо точку не позначено літерою, її записують лише її координатами: (х; у; z).

На малюнку 11.3, наприклад, позначено точки А(9; 5; 8), В(4; -3; 5), С(9; 0; 0), D(4; 0; 5), Р(0; 7; 0), Т(0; 0; -2), К(9; 5; 0).

Мал. 11.3

Якщо точка лежить на осі координат або на координатній площині, то певні її координати дорівнюватимуть нулю. На малюнку 11.3 точка С належить осі х, її координати у і z дорівнюють нулю; точка Р належить осі у, її координати х і z дорівнюють нулю; точка Т належить осі z, її координати х і у дорівнюють нулю. І навпаки: точка (х; 0; 0) належить осі абсцис; точка (0; y, 0) - осі ординат; точка (0; 0; z) - осі аплікат.

На малюнку 11.3 точка К належить площині ху, її координата z дорівнює нулю; у точки D, яка належить площині xz, координата у дорівнює нулю. У точки, яка належатиме площині yz, нулю дорівнюватиме координата х. І навпаки: точка (х; у; 0) належить площині ху; точка (х; 0; z) - площині xz, точка (0; у; z) - площині yz.

Для початку координат - точки О - маємо: 0(0; 0; 0).

Знайти: 1) координати точки К, яка є проекцією точки А(9; 5; 8) на площину ху;

2) відстань від точки А(9; 5; 8) до площини ху.

Розв’язання. 1) Проекцією точки А( 9; 5; 8) на площину ху є точка К{9; 5; 0) (мал. 11.3).

2) Відстань від точки А(9; 5; 8) до площини ху дорівнює 8.

Відповідь. 1) К(9; 5; 0);   2) 8.

Із задачі 1 можемо дійти висновків, що:

1) проекцією точки (х; у; z) на площину ху є точка (x; у, 0); на площину xz — точка (x; 0; z); на площину yz - (0; у; z).

2) відстань від точки (x; у; z) до площини ху дорівнює |z|,

до площини xz дорівнює |у|, а до площини yz дорівнює |х|.

2. Відстань між двома точками

Як відомо, відстань між двома точками А(х1; у1) і В( х2; y2) площини знаходять за формулою

Аналогічно й у просторі:

відстань між двома точками А(х1; у1; z1) і В(х2; у2, z2) простору знаходять за формулою

Задача 2. Точки М(-1; 2; 4) і N(1; 0; 3) - відповідно середини сторін АВ і ВС трикутника ABC. Знайти довжину сторони АС цього трикутника.

Розв’язання. 1) Оскільки М - середина АВ, N - середина ВС, то MN - середня лінія ∆АВС. Тому MN = АС, отже, АС = 2MN.

2)

3) Тоді АС = 2 ∙ 3 = 6.

Відповідь. 6.

Задача 3. Відстань між точками А(х; 4; 5) і В(2; 6; 2) дорівнює 7. Знайдіть х.

Розв’язання. 1) АВ2 = (2-х)2 + (6 - 4)2 + (2 - 5)2 = (2 - х)2 +13.

2) Оскільки АВ = 7, то АВ2 = 49. Маємо рівняння:

(2 - х)2 + 13 = 49, коренями якого є числа -4 і 8.

Відповідь. -4 або 8.

3. Координати середини відрізка

Нагадаємо, як знайти координати середини відрізка на площині. Якщо точка М(хМ; уМ) - середина відрізка АВ, де А(х1; у1), В(х2; у2), то

Аналогічно й у просторі:

якщо М(хМ; уМ; ZМ) - середина відрізка з кінцями в точках A(x1; у1, z1) і В(х2; у2; z2), то:

Довести, що середина відрізка з кінцями в точках А(2; -4; 6) і В(-6; 4; 12) лежить у площині xz.

Розв’язання. Нехай М(хM; уM; zM) - середина відрізка АВ.

1) Тоді

2) Отже, М(-2; 0; 9).

3) Оскільки ордината точки М дорівнює нулю, то точка М належить площині xz.

ABCD - паралелограм, А(-2; 4; 5), В(2; -1; 4), С(0; 12; 7), О - точка перетину діагоналей.

1) Знайти координати точки О.

2) Знайти координати вершини D паралелограма.

3) З’ясувати, чи є паралелограм ABCD ромбом.

Розв’язання. 1) Точка О ділить навпіл кожну з діагоналей. Тому 0(хO; уO; zO) - середина АС. Маємо:

Отже, 0(-1; 8; 6).

2) Точка О є також серединою діагоналі BD. Тому

Розв’язавши ці рівняння, матимемо:

xD = -4; yD = 17; zD = 8.

Отже, D(-4; 17; 8).

3) Знайдемо довжини сусідніх сторін паралелограма:

Оскільки АВ ≠ ВС, то ABCD не є ромбом.

Відповідь. 1) 0(-1; 8; 6); 2) D(-4; 17; 8); 3) ні.

А ще раніше...

Нам вже відомо, що прямокутну систему координат на площині запропонували П’єр Ферма та Рене Декарт у XVII cм. Вони допускали можливість запровадження координат і у просторі, але далі припущень цю ідею так і не розвинули.

У 1715 р. Йоганн Бернуллі в одному зі своїх листів до Лейбніца означив просторові координати х, у, z як перпендикуляри на три взаємно перпендикулярні площини. Приблизно у той самий час інші математики починають записувати рівняння деяких поверхонь через просторові координати. Першим, хто постійно і широко використовував координати у просторі, став французький математик Клеро. У своїй праці «Дослідження ліній двоякої кривизни» (1731 р.) Клеро додав у систему координат третю координату та проілюстрував цю ідею рівняннями деяких поверхонь.

Ідея координат у тривимірному просторі знайшла своє продовження у праці Ейлера «Уведення в аналіз» (1748 р.). Друга частина цієї праці, що називалася «Додатки про поверхні», стала першим системним викладом аналітичної геометрії тривимірного простору.

Подальшому розвитку просторової аналітичної геометри сприяли праці математиків Г. Монжа, Ж. Лагранжа та С. Лакруа.

Аленік Клод Клеро (1713-1765)

Поясніть, як задають прямокутну систему координат у просторі. Що називають початком координат, осями координат, координатними площинами? Поясніть, як визначають координати точки в просторі. Що можна сказати про координати точки, яка належить осі х; осі у; осі z? Що можна сказати про координати точки, яка належить площині ху; площині xz; площині yz? За якою формулою знаходять відстань між точками А(х1; y1; z1) І В(Х2; у2; z2)? За якими формулами знаходять координати точки М - середини відрізка з кінцями А(х1; у1; z1) і В(х2; y2; z2)?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

11.1. Які з точок А(2; 0; -3), В(0; 0; -5), С(4; 0; 0), D(0; 2; -1), Е(3; -1; 2), F(0; -1; 0) належать координатним осям? Укажіть, яким саме.

11.2. Які з точок К(0; 0; 7), L(2; 2; 2), М(4; 9; 0), N(0; 19; 0), Р(-1; 0; 14), Т(-9; 0; 0) лежать на координатних осях? Укажіть, на яких саме.

11.3.Які з точок К(0; 2; -3), Р( 1; 2; -3), М(2; 0; -4), А(7; -1; -1), Q(1; -4; 0), 8(1; 1; 1) належать координатним площинам? Укажіть, яким саме.

11.4. Які з точок А(2; 0; -9), В(-4; 1; -4), С(0; 11; -11), D(-1; 1; 0) належать координатним площинам? Укажіть, яким саме.

11.5. Точка М лежить на від’ємній півосі аплікат на відстані 7 від початку координат. Які координати точки М?

11.6. Точка Т лежить на додатній півосі абсцис на відстані 3 від початку координат. Які координати точки Т?

11.7. Знайдіть координати середини відрізка АВ, якщо:

1) А(2; -11; 0), B(4; -7; 6);   2) А(-2; 5; 4), В(2; 0; 7).

11.8. Знайдіть координати середини відрізка CD, якщо:

1) С(0; 2; -7), D(6; -4; -9);   2) С(2; -4; 9), D(7; 4; 0).

11.9. Знайдіть довжину відрізка CD, якщо:

1) С(4; 0; -1), D(2; 3; 5);   2) С(0; -2; 1), D(2; -2; 3).

11.10. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо:

1) А(4; -1; 0), В(6; 1; 1);   2) А(4; -1; 2), В(5; -1; 5).

2

11.11. У точок М(2; -1; 4) і N(2; -1; 7) дві перші координати попарно однакові. Чи паралельна пряма MN деякій осі координат? Якщо відповідь позитивна, то якій саме?

11.12. Які з наведених точок лежать на одній прямій, паралельній осі абсцис: А(2; -1; 3), В(2; 1; -3), С(-2; 1; -3), D(-2; -1; -3)?

11.13. Які з наведених точок лежать на одній прямій, паралельній осі ординат: М(3; -1; 5), N(3; -1; -5), К(3; 1; 5), L(-3; -1; 5)?

11.14. Знайдіть координати проекцій точки А(-1; 2; -4) на координатні площини.

11.15. Знайдіть координати проекцій точки Р(2; -3; 7) на координатні площини.

11.16. На яких відстанях від координатних площин лежить точка М(4; -7; 11)?

11.17. На яких відстанях від координатних площин лежить точка К(-2; 4; -9)?

11.18. Чи належить деякій координатній осі середина відрізка АВ, якщо А(4; -2; 7), B(-4; 2; -9)? Якщо так, то якій саме?

11.19. Доведіть, що середина відрізка з кінцями в точках М(9; -11; 7) і N(-9; 5; -7) лежить на осі ординат.

11.20. Точка Р - середина відрізка MN. Знайдіть координати точки N, якщо P(-1; 2; 7), М(2; 1; 3).

11.21. Точка С - середина відрізка АВ. Знайдіть координати точки А, якщо С(0; 2; -3), В( 1; 4; -8).

11.22. Яка з точок А( 1; 2; -3) або B(4; 0; 1) лежить ближче до початку координат?

11.23. Порівняйте АС і ВС, якщо А(2; -1; -3), B(6; 5; 9), С(4; 2; 3).

3

11.24. У трикутнику з вершинами в точках А(4; -1; 2), B(8; 1; 6) і С(10; 3; 14) К - середина АС, L - середина ВС. Знайдіть довжину відрізка KL.

11.25. Дано вершини А(3; 0; 5), B(4; 3; -5), С(-4; 1; 3) трикутника ABC. Знайдіть довжину медіани трикутника, проведеної з вершини А.

11.26. На осі абсцис знайдіть точку, відстань від якої до точки А(1; 4; 8) дорівнює 12.

11.27. На осі аплікат знайдіть точку, відстань від якої до точки P(2; -3; 0) дорівнює 7.

11.28. На осі ординат знайдіть точку, рівновіддалену від точок М(1; -3; 7) і N(5; 7; -5).

11.29. На осі х знайдіть точку, рівновіддалену від точок А(1; 3; 3) і B(2; 1; 4).

11.30. Знайдіть координати вершини А паралелограма ABCD, якщо B(2; -1; 1), С(1; 2; 5), 5(-4; 5; 7).

11.31. Дано дві вершини А(2; -1; 3) і B(3; -4; 5) паралелограма ABCD і точку перетину його діагоналей 0(4; -5; 0). Знайдіть координати точок С і D.

4

11.32. 1) Доведіть, що трикутник з вершинами в точках А(4; 0; 7), B(0; 8; -1) і С(2; -2; 3) - прямокутний.

2) Знайдіть площу трикутника ABC.

11.33. Доведіть, що трикутник з вершинами в точках А(5; 0; 7), B(0; 3; -1) і С(7; 3; 1) - гострокутний.

11.34. Визначте координати кінців відрізка, який точками М(3; 0; 3) і N(6; -2; 1) поділено на три рівні частини.

11.35. Чи лежать точки А(-1; -5; 6), В(4; 5; 1) і С(-2; -7; 7) на одній прямій? Якщо так, укажіть, яка з точок лежить між двома іншими.

11.36. Доведіть, що три точки М(6; 3; -5), N(4; -3; 2) та К(10; 15; -19) лежать на одній прямій. Яка з трьох точок лежить між двома іншими?

11.37. 1) Знайдіть координати проекції точки М(-9; 12; 16) на кожну з осей координат.

2) Знайдіть відстань від точки М до осей координат.

Життєвa мaтемaтикa

11.38. З деякої точки вершину гори видно під кутом 30°. Коли спостерігачі наблизилися до гори на 500 м, вершину стало видно під кутом 45°. Знайдіть наближено висоту гори (з точністю до десятих метра).

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

11.39. Знайдіть модулі векторів, зображених на малюнку 11.4.

Мал. 11.4

Мал. 11.5

11.40. Прямі а, b і с паралельні (мал. 11.5). Серед векторів, зображених на малюнку, укажіть всі пари:

1) колінеарних векторів;

2) співнапрямлених векторів;

3) протилежно напрямлених векторів.

11.41. ABCD - паралелограм (мал. 11.6). Чи рівні між собою вектори:

Мал. 11.6

Мал. 11.7

11.42. Дано вектори (мал. 11.7). Побудуйте:









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.