Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА ІІ ГЕОМЕТРІЯ

РОЗДІЛ 3 КООРДИНАТИ І ВЕКТОРИ ПРОСТОРІ

§12. ВЕКТОРИ У ПРОСТОРІ. ДІЇ З ВЕКТОРАМИ

У курсі планіметрії ми вже ознайомилися з векторами на площині. Зауважимо, що основні поняття для векторів у просторі означують так само, як і для векторів на площині.

1. Поняття вектора у просторі

Як і в планіметрії,

відрізок, для якого визначено напрям, називають вектором.

Вектор зображують відрізком зі стрілкою, яка вказує напрям вектора.

На малюнку 12.1 зображено вектор , точка А - його початок, точка В - кінець вектора. Вектор можна позначати однією малою латинською літерою. На малюнку 12.1 зображено

Вектор .

Нагадаємо, що вектор, у якого початок збігається з кінцем, називають нульовим вектором або нуль-вектором. Якщо, наприклад, точку, що зображує нульовий вектор, позначити літерою К, то нульовий вектор можна записати як (мал. 12.1). Нуль-вектор також можна позначити і символом .

Нульовий вектор, на відміну від ненульового, напряму не має.

Модулем (або довжиною чи абсолютною величиною) вектора називають довжину відрізка АВ.

Модуль вектора позначають через ||, а модуль вектора – через ||. Модуль нульового вектора дорівнює нулю: модуль вектора, відмінного від нульового, більший за нуль.

Мал. 12.2

Задача 1. ABCDA1B1C1D1 - куб з ребром довжини 1 (мал. 12.2). Знайти модулі векторів

Розв’язання. 1) AD = 1, тому

2) Із ∆АОС: АС2 = AD2 + DC2. Тому

3) Із ∆АСС1.

Отже,

Відповідь.

Нагадаємо, що

два ненульових вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих, називають колінеарними.

На малюнку 12.3 зображено прямокутний паралелепіпед.

Колінеарними є пари векторів: тощо.

Колінеарні вектори можуть бути співнапрямленими, тобто однаково напрямленими (такими є, наприклад, вектори на малюнку 12.3; записують це так:

або протилежно напрямленими (такими є, наприклад, вектори на малюнку 12.3; записують це так:

Пари векторів (мал. 12.3) не є колінеарними, тому вони не є ні співнапрямленими, ні протилежно напрямленими.

Як і в планіметрії, два вектори називають рівними, якщо вони спів- напрямлені та їх модулі між собою рівні.

Мал. 12.3

На малюнку 12.3 рівними є, наприклад, вектори

Це записують так:

Вектори на малюнку 12.3 не є рівними, оскільки в них різні модулі. Також не будуть рівними між собою вектори оскільки вони є протилежно напрямленими.

Як і в планіметрії, від будь-якої точки С можна відкласти вектор , рівний вектору , і до того ж тільки один (мал. 12.4).

Мал. 12.4

2. Додавання векторів

Як і в планіметрії, суму двох векторів можна знаходити за правилом трикутника або за правилом паралелограма. Нагадаємо ці правила.

Щоб знайти суму векторів за правилом трикутника, треба:

1) від кінця вектора відкласти вектор, що дорівнює вектору (мал. 12.5);

2) побудувати вектор. початок якого збігається з початком вектора , а кінець - з кінцем вектора , він і є сумою векторів

З правила трикутника можна дійти висновку, що для будь-яких трьох точок А, В і С справджується рівність: (мал. 12.5).

Мал. 12.5

Мал. 12.6

Щоб знайти суму двох неколінеарних векторів за правилом паралелограма, треба:

1) відкласти ці вектори від спільного початку — точки К (мал. 12.6);

2) побудувати на цих векторах паралелограм;

3) побудувати вектор, що виходить з точки К і збігається з діагоналлю паралелограма, він і є сумою векторів

Як і в планіметрії, для суми векторів справджуються:

• переставна властивість додавання:

• сполучна властивість додавання:

Додати кілька векторів у просторі можна так: додати два з них, потім до їх суми додати третій вектор, до отриманої суми додати четвертий вектор, і так само далі.

Задача 2. ABCDA1B1C1D1 - прямокутний паралелепіпед (мал. 12.7). Побудувати вектор, що дорівнює сумі векторів  

Розв’язання.

1) Сумою векторів за правилом паралелограма, є вектор

2) Відкладемо від точки А1 вектор що дорівнює вектору

Тоді

3) Отже,

Мал. 12.7

Мал. 12.8

Для додавання кількох векторів у просторі можна використовувати і правило многокутника, яке подібне до правила трикутника: щоб знайти суму векторів від кінця вектора відкладають вектор, що ДОРІВНЮЄ вектору , потім від кінця вектора - вектор, що дорівнює вектору і так само далі. Сумою векторів буде вектор, початком якого є початок першого доданка, а кінцем - кінець останнього доданка.

Нехай на малюнку 12.8 від точки К відкладено вектор далі від точки А – вектор потім від точки В – вектор

Маємо, що

Отже, для будь-яких точок А1, А2, ..., Аn має місце рівність:

3. Віднімання векторів

Нагадаємо відоме з планіметрії правило побудови різниці двох векторів яке справджується і в стереометрії:

1) відкласти вектори від однієї точки - точки А (мал. 12.9);

2) побудувати вектор, початок якого збігається з кінцем вектора , а кінець - з кінцем вектора .

Він і буде різницею векторів

Справді, оскільки то

Мал. 12.9

Наприклад, на малюнку 12.7

4. Множення вектора на число

Нагадаємо, що добутком ненульового вектора а на число λ називають такий вектор , що причому вектори співнапрямлені, якщо λ > 0, і протилежно напрямлені, якщо λ < 0.

Добутком нульового вектора на будь-яке число є нульовий вектор:

На малюнку 12.10 зобpажено вектоp та побудовано вектори

Мал. 12.10

Властивості множення вектора на число в планіметрії справджуються і в стереометрії. Нагадаємо ці властивості:

для будь-яких чисел а і β та векторів

Так само, як і в планіметрії, можна довести, що вектор , колінеарний вектору , можна подати у вигляді  λ ≠ 0; і навпаки, якщо де λ ≠ 0, то вектори — колінеарні.

Зазначені властивості векторів дають змогу спрощувати вирази з векторами подібно до того, як спрощують алгебраїчні вирази.

Задача 3. Спростити вираз:

Розв’язання.

Відповідь.

А ще раніше...

Оперувати векторами в просторі вперше почав ірландський математик Вільям Роуен Гамільтон. Основи векторної алгебри

та векторного аналізу він виклав у своїй праці «Лекція про кватерніони», перша публікація якої датується 1843 роком. Саме у цій праці вперше було вжито терміни «скаляр» і «вектор».

Вільям Роуен Гамільтон (1805-1865)

Герман Гюнтер Грассман (1809-1877)

Приблизно у той самий час до поняття вектора прийшов і німецький фізик, математик і філолог Герман Гюнтер Грассман. Саме у своїй праці «Вчення про видовженість» (1840 р.) він першим серед математиків розглянув n-вимірний евклідів простір, частковими випадками якого і вважав вектори на площині та у тривимірному просторі.

додати вектори за правилом паралелограма? Які властивості справджуються для додавання векторів? Як додати вектори за правилом многокутника? За яким правилом віднімають вектори? Що називають добутком ненульового вектора на число λ? Які властивості справджуються для множення вектора на число?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

12.1. Запишіть усі вектори, які зображено на малюнку 12.11.

12.2. Запишіть усі вектори, які зображено на малюнку 12.12.

Мал. 12.11

Мал. 12.12

Мал. 12.13

12.3. Позначте точки А, В і С, що лежать на одній прямій. Проведіть вектори

12.4. Позначте точки Р, Q, R, що не лежать на одній прямій. Проведіть вектори

12.5. ABCDEF - правильний шестикутник (мал. 12.13). Запишіть усі пари:

1) рівних векторів;

2) рівних за модулем, але протилежно напрямлених, векторів.

12.6. ABCD - прямокутник (мал. 12.14). Запишіть усі пари:

1) рівних векторів;

2) рівних за модулем, але протилежно напрямлених, векторів.

Мал. 12.14

12.7. Накресліть вектори Побудуйте їх суму і різницю.

12.8. Накресліть вектори Побудуйте їх суму і різницю.

12.9. Накресліть вектор , довжина якого 6 см. Побудуйте вектори:

12.10. Накресліть вектор , довжина якого дорівнює 4 см. Побудуйте вектори:

2

12.11. ABCD - прямокутник. Укажіть усі пари рівних векторів і векторів, що мають рівні модулі, початком і кінцем яких є вершини прямокутника.

12.12. KLMN — ромб. Укажіть усі пари рівних векторів і векторів, що мають рівні модулі, початком і кінцем яких є вершини ромба.

12.13. ABCD - трикутна піраміда (мал. 12.15), М, N i L- середини ребер AD, DC і ВС відповідно, АС = 4 см, ВС = 6 см, NL = 5 см. Знайдіть довжину вектора:

12.14. ABCD - трикутна піраміда (мал. 12.15), М, N і L - середини AD, DC і ВС відповідно, AD = 6 см, MN = 2 см, BD = 8 см. Знайдіть довжину вектора:

Мал. 12.15

12.15. Накресліть прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1 та відкладіть від точки:

1) С вектор, що дорівнює вектору ;

2) А1 вектор, що дорівнює вектору

3) D вектор, що дорівнює вектору 3;

4) С1 вектор, що дорівнює вектору

12.16. Накресліть прямокутний паралелепіпед КLМNК1L1М1N1 та відкладіть від точки:

1) К1 вектор, що дорівнює вектору

2) N вектор, що дорівнює вектору

3) М1 вектор, що дорівнює вектору

4) L вектор, що дорівнює вектору

12.17. Доведіть, що

12.18. Не виконуючи побудови, знайдіть:

12.19. Не виконуючи побудови, знайдіть:

12.20. KLMN - трикутна піраміда. Побудуйте вектор:

12.21. ABCD - трикутна піраміда. Побудуйте вектор:

12.22. ABCDA1B1C1D1 - куб. Укажіть вектор, початком і кінцем якого є вершини куба, якщо він дорівнює сумі:

12.23. KLMNK1L1M1N1 - куб. Укажіть вектор, початком і кінцем якого є вершини куба, якщо він дорівнює сумі:

12.24. Дано трикутну піраміду KLMN. Доведіть, що:

12.25. Дано трикутну піраміду ABCD. Доведіть, що:

12.26. Точка К не лежить у площині трикутника ABC, М - середина АВ, N - середина ВС, Виразіть вектор через вектори

12.27. Точка М не лежить у площині квадрата ABCD,   К - середина AD, L - середина CD. Виразіть вектор через вектори

12.28. ABCDA1B1C1D1 - паралелепіпед. Знайдіть вектор, що дорівнює сумі

12.29. ABCDA1B1C1D1 - паралелепіпед. Знайдіть вектор, що дорівнює сумі

12.30. Вектори попарно перпендикулярні,   Знайдіть модуль вектора

12.31. Вектори попарно перпендикулярні,   Знайдіть модуль вектора

12.32. Модулі векторів відмінні від нуля, до того ж ці вектори неколінеарні. Знайдіть m і n, якщо

12.33. Модулі векторів відмінні від нуля, до того ж ці вектори неколінеарні. Знайдіть а і b, якщо

Життєва математика

12.34. Кут підйому дороги дорівнює 5°. Використовуючи калькулятор, знайдіть висоту, на яку підніметься пішохід, пройшовши 200 м.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

12.35. Знайдіть координати вектора АВ, якщо:

1) А(-2; 3), 5(0; 8);   2) А(4; 15), В(-1; -2).

12.36. Знайдіть х і у.

12.37. Знайдіть модуль вектора , якщо:

12.38. Дано: Знайдіть координати вектора:

12.39. Дано: Знайдіть координати вектора:

12.40. Чи колінеарні вектори якщо:









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.