Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА ІІ ГЕОМЕТРІЯ

РОЗДІЛ 3 КООРДИНАТИ І ВЕКТОРИ ПРОСТОРІ

§13. КООРДИНАТИ ВЕКТОРА. ДІЇ НАД ВЕКТОРАМИ, ЯКІ ЗАДАНО КООРДИНАТАМИ

На площині вектор визначається двома своїми координатами, а в просторі - трьома. У просторі арифметичні дії з векторами виконують за тими самими правилами, що й на площині.

1. Координати і модуль вектора. Рівність векторів

У просторовій системі координат кожний вектор можна задати трійкою чисел - координатами вектора.

Координатами вектора з початком А(х1; у1; z1) і кінцем В(х2; y2; z2) є числа: x = x2 - х1, у = у2 - y1 i z = z2 - z1.

Записують вектор , який задано координатами, так:

Наприклад,  

Задача 1. Знайти координати вектора , якщо:

1) А(-7; 2; 1), В(5; 0; 8);   2) А(3; 4; 2), 5(3; 4; -2).

Розв’язання. Нехай

1) Тоді х - 5 - (-7); у = 0 - 2; z = 8 - 1. Отже,

2) х = 3 - 3; у - 4 - 4; z = -2 - 2. Тому

Відповідь.

Координатами вектора можуть бути будь-які дійсні числа. Усі координати нульового вектора дорівнюють нулю: 0(0; 0; 0). Як і на площині:

рівні вектори мають відповідно рівні координати, і навпаки, якщо у векторів відповідно рівні координати, то вектори рівні.

Задача 2. Дано точки А(2; -3; 4), В(3; -3; 7), С(-4; 1; 0), D(x; у; z). Знайти х, у і z, якщо

Розв’язання. тобто   тобто

Оскільки то х + 4 = 1; у - 1 = 0; z - 3.

Отже, х = -3; у = 1; z = 3.

Відповідь. х = -3; у = 1; z = 3.

Як відомо, відстань між точками А (x1; y1; z1) і В(х2; у2; z2) знаходять за формулою

Оскільки х = х2 - x1, y = у2 - y1, z = z2 - z1 – координати вектора , то:

модуль вектора дорівнює

Задача 3. Знайти модуль вектора:

Розв’язання.

Відповідь.

Задача 4. Дано:

Знайти: 2.

Розв’язання. Оскільки то

Маємо рівняння: z1 + z2 = 25, корені якого z1 = 2; z2 = -2.

Відповідь. 2 або -2.

2. Дії над векторами, що задані координатами

У просторі арифметичні дії з векторами (додавання, віднімання, множення на число) виконують так само, як і на площині.

Сумою векторів називають вектор

Так само як і на площині, з означення суми векторів випливає векторна рівність

Тому означення суми векторів, які задано координатами, не суперечать правилам трикутника і паралелограма, які ми

розглянули в попередньому параграфі.

Різницею векторів називають вектор який у сумі з вектором дає вектор , тобто

Оскільки x3 + x2 = x1; y3 + y2 = y1; z3 + z2 = z1, тобто x3 = x1 - x2; y3 = y1 - y2; z3 = z1 - z2, то

різницею векторів є вектор

Задача 5. Знайти координати векторів якщо

Розв’язання. 1) тобто

2) тобто

Відповідь.

Добутком вектора на число λ називають вектор

Це означення не суперечить означенню добутку вектора на число з попереднього параграфа.

Зазначені дії дозволяють знаходити координати будь-якого вектора, який записано у вигляді алгебраїчної суми векторів, координати яких відомі.

Задача 6. Дано вектори

Знайти координати вектора

Розв’язання. За означенням добутку вектора на число:

1.

Тоді

Розв’язання задачі зручно записувати так:

Відповідь.

3. Ознака колінеарності векторів

Нехай дано вектори і b(x2; у2; z2).

Якщо вони колінеарні, то х2 = λх1; у2 = λу1; z2 = λz1. Тоді (якщо х1 ≠ 0, у1 ≠ 0, z1 ≠ 0) маємо:

тобто

що означає, що координати колінеарних векторів пропорційні. Маємо ознаку колінеарності векторів.

Нехай задано вектори

1) Якщо координати обох векторів відмінні від нуля і то вектори колінеарні, причому якщо λ > 0, то а якщо λ < 0, то

2) Якщо ж у кожного з двох векторів одна й та сама координата дорівнює нулю, а інші утворюють пропорцію, то вектори колінеарні.

Задача 7. Визначте, чи колінеарні вектори

Якщо так, то вкажіть, однаково чи протилежно вони напрямлені.

Розв’язання.

тому

тому неколінеарні.

3) Ординати обох векторів дорівнюють нулю, перевіримо пропорційність двох інших координат: тому

4) Абсциса вектора дорівнює нулю, а абсциса вектора не дорівнює нулю, отже, вектори неколінеарні.

Відповідь. 1)

2) вектори неколінеарні;

3)

4) вектори неколінеарні.

Задача 8. При яких значеннях х і у вектори колінеарні?

Розв’язання. За ознакою колінеарності:

Звідси маємо: х = 1,5; у = -20.

Відповідь, х = 1,5; у = -20.

Що таке координати вектора? Який зв’язок між рівністю векторів і їх координатами? Як знайти модуль вектора за його координатами? Який вектор називають сумою векторів

Що називають різницею векторів? Як знайти різницю векторів Що називають добутком вектора на число λ? Сформулюйте ознаку колінеарності векторів.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

13.1. Знайдіть координати вектора , якщо:

1) С(2; -3; 4), D(0; 4; 4);   2) С(5; -1; 2), D(2; -3; -2).

13.2. Знайдіть координати вектора , якщо:

1) А(3; -5; 4), В(3; 2; 0);   2) А(-8; 2; 5), В(-3; 4; -5).

13.3. Знайдіть модуль вектора:

13.4. Знайдіть модуль вектора:

13.5. Дано вектори Знайдіть х, y і z.

13.6. Дано вектори Знайдіть х, у і z.

13.7. Знайдіть суму якщо:

13.8. Знайдіть суму якщо:

13.9. Знайдіть різницю якщо:

13.10. Знайдіть різницю якщо:

13.11. Дано вектор Знайдіть координати вектора:

13.12. Дано вектор Знайдіть координати вектора:

13.13. Співнапрямлені чи протилежно напрямлені вектори   якщо:

13.14. Співнапрямлені чи протилежно напрямлені вектори   якщо:

2

13.15. Знайдіть модуль вектора якщо:

1) М(-1; 2; 3), N(1; 8; 0);   2) М(2; -1; 3), N(2; 4; 9).

13.16. Знайдіть модуль вектора , якщо:

1) А(0; 2; 5), В(6; 5; 7);   2) А(3; -2; 7), B(5; -2; 11).

13.17. Чи рівні вектори якщо: А(2; -1; 4), B(5; -3; 7), С(1; 1; 2), D(4; -1; 4)?

13.18. Чи рівні вектори якщо: М(0; -1; 2), N(4; -3; 5), К(-1; 1; 3), L(З; -1; 6)?

13.19. Дано точки К(-2; 3; 4), М(0: у; -3), N(х; 3; -5), L(2; 2; z). Знайдіть х, у і z, якщо

13.20. Дано точки А(0; 2; -3), B(3; -2; 5), С(х; у; 5), D(-2; 3; z). Знайдіть х, у і 2, якщо

13.21. Дано: Знайдіть x, у i z.

13.22. Дано: Знайдіть x, у i z.

13.23. Задано вектори Знайдіть координати векторів:

13.24. Задано вектори Знайдіть координати векторів:

13.25. Чи колінеарні вектори:

13.26. Чи колінеарні вектори:

13.27. Дано вектор Знайдіть модуль вектора:

13.28. Дано вектоp Знайдіть модуль вектора:

13.29. Серед векторів  знайдіть усі пари співнапрямлених і протилежно напрямлених векторів.

13.30. Серед векторів (2; -2; -4) знайдіть усі пари співнапрямлених і протилежно напрямлених векторів.

3

13.31. На малюнку 13.1 зображено прямокутний паралелепіпед ОАВСО1А1В1С1; ОА = 3; ОС = 4; ОО1 = 5. Знайдіть

координати векторів:

13.32. На малюнку 13.1 зображено прямокутний паралелепіпед ОАВСО1А1В1С1; ОА = 2; ОС = 4; ОО1 = 7. Знайдіть координати векторів:

Мал. 13.1

13.33. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках А(3; 1; 4), 5(1; 4; 7), С(3; -1; 5), D(5; -4; 2) є паралелограмом.

13.34. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник KLMN з вершинами в точках К(1; -1; 0), L(4; 1; 4), М(8; 3; -1), N(5; 1; -5) є паралелограмом.

13.35. Модуль вектора дорівнює 3. Знайдіть z.

13.36. Модуль вектора дорівнює 7. Знайдіть у.

13.37. Дано точки А(0; 2; -6) і B(4; 10; -12). Знайдіть координати точки D такої, що

13.38. Дано точки С(-2; 0; 4) і D(6; 8; -2). Знайдіть координати точки К такої, що

13.39. Дано: Знайдіть модуль вектора

13.40. Дано: Знайдіть модуль вектора

13.41. При яких значеннях m і n колінеарні вектори:

Співнапрямлені чи протилежно напрямлені ці вектори?

13.42. При яких значеннях m і n колінеарні вектори:

Співнапрямлені чи протилежно напрямлені ці вектори?

4

13.43. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник ABCD з вершинами А(3; -2; 2), B(0; 1; 5), С(5; 2; 6), D(8; -1; 3) є ромбом.

13.44. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник ABCD з вершинами А(0; 5; 3), 5(0; 1; 3), С(5; 1; 7), 5(5; 5; 7) є прямокутником.

13.45. Модуль вектора дорівнює . Знайдіть координати вектора , якщо координата у цього вектора в 3 рази більша за координату z, а координата z у 2 рази менша за координату х цього вектора.

13.46. Модуль вектора дорівнює . Знайдіть координати цього вектора, якщо його координати х і у рівні між собою, а координата z на 3 більша за кожну з них.

13.47. Дано вектори При яких значеннях х і у модуль вектора буде найменшим?

13.48. Дано вектори При яких значеннях х і z модуль вектора буде найменшим?

13.49. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник ABCD є трапецією, якщо А(0; 5; -4), B(6; 8; -1), С(6; 3; 4), D(-2; -1; 0).

13.50. Доведіть за допомогою векторів, що точки М(3; 4; 5), N(-3; -3; -6) і Р(9; 11; 16) лежать на одній прямій.

Життєва математика

13.51. Ширина хокейних воріт дорівнює 6 футів, висота - 4 фута. Знайдіть наближену площу воріт у квадратних метрах з точністю до двох знаків після коми.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

13.52. Знайдіть скалярний добуток векторів якщо:

13.53. Знайдіть квадрат вектора , якщо:

13.54. Дано: Знайдіть якщо:

13.55. Знайдіть кут між векторами

13.56. Чи перпендикулярні вектори якщо:









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.