Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА ІІ ГЕОМЕТРІЯ

РОЗДІЛ 3 КООРДИНАТИ І ВЕКТОРИ ПРОСТОРІ

§14. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ

Під час вивчення планіметрії ми вже розглядали скалярний добуток векторів. Так само розглядають скалярний добуток векторів і у стереометрії.

1. Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком векторів називають число x1x2 + y1y2 + z1z2.

Як і в планіметрії, скалярний добуток векторів записують, використовуючи знак множення, так:

Задача 1. Знайти скалярний добуток векторів:

Розв’язання.

Відповідь. 1) -6; 2) 10.

Знайдемо скалярний добуток рівних векторів.

Нехай дано вектор

Тоді:

Скалярний добуток позначають і називають скалярним квадратом вектора.

Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля:

Оскільки

З означення скалярного добутку маємо його властивості.

Для будь-яких векторів і будь-якого числа λ:

Мал. 14.1

Мал. 14.2

Мал. 14.3

Кут між співнапрямленими векторами дорівнює нулю (мал. 14.3), кут між протилежно напрямленими векторами дорівнює 180° (мал. 14.4).

Мал. 14.4

Як і в планіметрії, справджується така теорема.

Теорема (про скалярний добуток векторів). Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх модулів на косинус кута між ними, тобто

Теорему можна довести так само, як і в курсі планіметрії. Вона має ті самі наслідки, що й у планіметрії.

Наслідок 1. Якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Наслідок 2. Якщо скалярний добуток векторів дорівнює нулю, то вони перпендикулярні.

Задача 2. Чи перпендикулярні вектори якщо:

Розв’язання. 1) = -1 ∙ 8 + 2 ∙ 4 + 0 ∙ 7 = 0. Тому

2) = 1 ∙ 2 + 4 ∙ 1 + (-3) ∙ 3 = -3, тому - не перпендикулярні.

Відповідь. 1) Так; 2) ні.

Задача 3. При якому значенні z вектори перпендикулярні?

Розв’язання. Щоб вектори були перпендикулярними, їх скалярний добуток має дорівнювати нулю.

= 4 ∙ 5 + (-1) ∙ 0 + 5z = 0, тоді 5z = -20, отже, 0 = -4.

Відповідь. z = -4.

За скалярним добутком векторів можна знайти косинус кута між ними.

Оскільки де φ — кут між векторами то

Ураховуючи, що матимемо:

За значенням косинуса кута можна знайти міру цього кута (за допомогою таблиць чи калькулятора).

Задача 4. Знайти градусну міру кута С трикутника з вершинами в точках А(2; 4; 1), В(3; 4; 0), С(2; 3; 0).

Розв’язання. Кут С трикутника ABC (мал. 14.5) збігається з кутом між векторами

Маємо: тобто   тобто

Мал. 14.5

Тоді

звідки ∠C = 60°.

Відповідь. 60°.

Задача 5. Дано вектори

Знайти

Розв’язання. Оскільки то

Відповідь. 7.

Сформулюйте означення скалярного добутку векторів. Що називають скалярним квадратом вектора? Що називають кутом між векторами? Сформулюйте теорему про скалярний добуток векторів і наслідки з неї. Як знайти косинус кута між векторами?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

14.1. Знайдіть скалярний добуток векторів:

14.2. Знайдіть скалярний добуток векторів:

14.3. Знайдіть якщо:

14.4. Знайдіть якщо:

2

14.5. Дано вектори При якому значенні z справджується рівність

14.6. Дано вектори При якому значенні х справджується рівність

14.7. Знайдіть якщо:

14.8. Знайдіть якщо:

14.9. Доведіть, що вектори перпендикулярні.

14.10. Доведіть, що вектори перпендикулярні.

14.11. Чи перпендикулярні вектори якщо:

14.12. Чи перпендикулярні вектори якщо:

3

14.13. При якому значенні m вектори перпендикулярні?

14.14. При якому значенні n вектори перпендикулярні?

14.15. Знайдіть кут між векторами  

14.16. Знайдіть кут між векторами

14.17.3найдіть косинуси внутрішніх кутів трикутника з вершинами в точках А(2; 3; 2), B(4; 0; 8), С(8; 5; -1), та впевніться в тому, що він рівнобедрений.

14.18. Знайдіть внутрішній кут при вершині B трикутника ABC, якщо А(0; -1; 5), B(-3; -1; 1), С(4; -1; 2).

14.19. - ненульові вектори. Знайдіть кут між векторами   якщо:

14.20. Знайдіть:

14.21. Знайдіть:

14.22. Дано: Чи може скалярний добуток дорівнювати:

4

14.23. Дано вектори Знайдіть:

14.24. Дано вектори Знайдіть:

14.25. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках А(6; -2; 3), B(10; 0; 4), С(13; -4; 0), D(9; -6; -1) є прямокутником.

14.26. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках К(7; -3; 3), L(4; 3; 4), М( 1; 2; 1), N(4; -4; 0) є прямокутником.

14.27. Дано точки К(1; 1; 0), L(2; 4; 3), М(-2; -11; -15), N(-5; 5; -2). Доведіть, що пряма KN перпендикулярна до площини KLM.

14.28. Знайдіть якщо

14.29. Знайдіть якщо

Життєва математика

14.30. Обчисліть, скільки кубічних метрів повітря очистять від автомобільних вихлопних газів 100 капітанів, що ростуть уздовж дороги, якщо одне дерево очищає зону довжиною 100 м, шириною 12 м, висотою 10 м.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

14.31. Серед точок А(-2; 5), В(2; 5), С(-2; - 5), D(2; - 5) укажіть пари точок, симетричних відносно початку координат.

14.32. Які координати має точка О, відносно якої симетричні точки М(-2; 3) і М'(4; 11)?

14.33. Точки А(-4; у) і А'(х; 7) симетричні відносно точки O(2; -1). Знайдіть х і у.

14.34. Знайдіть координати точки, симетричної точці К(-2; 3) відносно:

1) осі абсцис;   2) осі ординат.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.