Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік
ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА
РОЗДІЛ 1 ФУНКЦІЇ, ЇХ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ
§3. КОРІНЬ n-ГО СТЕПЕНЯ. АРИФМЕТИЧНИЙ КОРІНЬ n-ГО СТЕПЕНЯ
1. Функція у = х n, де n ∈ N
Розглянемо функцію у = х n, де n - натуральне число. Її називають степеневою функцією з натуральним показником.
Степеневі функції для n = 1 та n = 2, тобто функції у = х тa у = х 2, нам відомі ще з курсу алгебри попередніх класів. Їх графіки зображено на малюнках 3.1 та 3.2.
З’ясуємо властивості функції у = х n та вигляд її графікa для будь-яких значень n.
Спочатку розглянемо випадок, коли n - парне число. На малюнку 3.2 подано графік функції у = х 2, а на малюнку 3.3 - графік функції у = х 4. Оскільки (-х) n = х n, якщо n - парне, то функція у = х n є парною, а отже, її графік симетричний відносно осі ординат.
Мал. 3.1
Мал. 3.2
Мал. 3.3
Розглянемо випадок, коли n - непарне число. На малюнку 3.4 зображено графік функції у = х 3, а на малюнку 3.5 - графік функції у = х 5.
Оскільки (-х) n = -х n, коли n - непарне, то функція у = х n є непарною, а отже, її графік симетричний відносно початку координат.
Графік функції у = х n з парним натуральним показником n зображено на малюнку 3.6.
Графік функції у = х n з непарним натуральним показником n при n ≥ 3 зображено на малюнку 3.7.
Мал. 3.4
Мал. 3.5
Мал. 3.6
Мал. 3.7
Узагальнимо властивості функції у = х n, де n - натуральне число, і подамо їх у таблиці.
Функція у = х n, n ∈ N |
|||
Властивості |
n — парне |
n — непарне |
|
і |
Область визначення |
(-∞; +∞) |
(-∞; +∞) |
2 |
Область значень |
[0; +∞) |
(-∞; +∞) |
3 |
Нулі функції |
х = 0 |
х = 0 |
4 |
Знакосталість (у > 0) |
х < 0 або х > 0 |
х > 0 |
5 |
Знакосталість (у < 0) |
— |
х < 0 |
6 |
Парність, непарність |
парна |
непарна |
7 |
Проміжки зростання |
[0; +∞) |
(-∞; +∞) |
8 |
Проміжки спадання |
(-∞; 0] |
— |
2. Корінь n-го степеня
Нагадаємо, що квадратним коренем із числа а називають таке число, квадрат якого дорівнює а. Наприклад, числа 4 і -4 - квадратні корені із числа 16, бо 4 2 = 16 і (-4) 2 = 16; 0 - квадратний корінь із числа 0, оскільки 0 2 = 0. Квадратного кореня із числа -9 не існує, бо не існує числа, квадрат якого дорівнює -9.
У той самий спосіб визначимо і корінь n-го степеня із числа а, де n ∈ N, n > 1.
Коренем n-го степеня із числа а називають таке число, n-й степінь якого дорівнює а.
Наприклад, корінь третього степеня із числа 64 дорівнює 4, оскільки 4 3 = 64. Числа 3 і -3 є коренями четвертого степеня із числа 81, бо 3 4 = 81 і (-3) 4 = 81. Коренем п’ятого степеня із числа -32 є число -2, оскільки (-2) 5 = -32.
3. Арифметичний корінь n-го степеня
Як і для квадратного кореня, для кореня n-го степеня розглянемо поняття арифметичного кореня. Нагадаємо, що арифметичним квадратним коренем з невід’ємного числа а називають таке невід’ємне число, квадрат якого дорівнює а. Арифметичнийквадратний корінь із числа а позначають
і читають так: квадратний корінь із числа а (слово «арифметичний» при цьому домовилися не вживати).
Арифметичним коренем n-го степеня з невід’ємного числа а називають невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.
Арифметичний корінь n-го степеня із числа а позначають
при цьому число n називають показником кореня, а число а - підкореневим виразом. Знак кореня
ще називають радикалом. Запис
читають так: корінь n-го степеня із числа а (тут також слово «арифметичний» не вживають). Якщо n = 2, матимемо арифметичний квадратний корінь із числа а, який позначають
(показник кореня в цьому випадку не пишуть). Якщо n = 3, матимемо
- арифметичний кубічний корінь із числа а (слово арифметичний під час читання не вживають).
Задача 1. Знайти:
Розв’язання.
З означення випливає, що рівність
де а ≥ 0, є правильною, якщо виконуються одночасно дві умови: 1) b ≥ 0; 2) b
n = а. Тому, якщо в рівність b
n = а замість b підставити
то отримаємо тотожність
Для будь-якого а ≥ 0, n ∈ N, n ≥ 2 маємо тотожність
Наприклад,
Задача 2. Знайти значення виразу:
Розв’язання. Спочатку треба знайти значення підкореневого виразу 3 4 + 5 2 + 137, а потім з отриманого значення добути корінь 5-го степеня:
Відповідь. 3.
4. Тотожності для арифметичного кореня n-го степеня
Знак кореня (радикала)
використовують не тільки для запису арифметичного кореня n-го степеня з невід’ємного числа, а й для запису кореня непарного степеня з від’ємного числа. Наприклад,
Тому рівність
де а - будь-яке число, n - непарне, є правильною, якщо виконується лише одна умова: х
n = а. Приходимо до висновку:
для будь-якого числа а, непарного натурального числа n, де n ≥ 3, маємо тотожність:
Оскільки
Узагалі,
для коренів непарного степеня маємо тотожність:
Отже,
1) якщо а ≥ 0, n ∈ N, n ≥ 2, то вираз
означає арифметичний корінь n-го степеня із числа а;
2) якщо а < 0, то при непарному n вираз
означає корінь n-го степеня із числа а, при парному n цей вираз не має змісту.
Приходимо до висновку: вираз
при парному n має зміст для а ≥ 0, а при непарному n — для будь-якого значення а.
Задача 3. При яких значеннях х має зміст вираз:
Розв’язання. 1) Корінь 7-го (непарного) степеня існує для будь-якого значення підкореневого виразу, тому вираз має зміст для будь-якого значення х.
2) Корінь 4-го (парного) степеня має зміст лише в тому випадку, коли підкореневий вираз - невід’ємний. Розв’яжемо нерівність: 2х - 10 > 0, звідки х > 5.
Відповідь. 1) х - будь-яке число; 2) х > 5.
5. Рівняння, х п = а, n ∈ N, n > 2
Розглянемо рівняння х n = а, де а ∈ R, n ∈ N, n > 2.
Нехай маємо випадок, коли n - парне. Розв’яжемо рівняйня х
n = а графічно. Для цього побудуємо графіки функцій у = х
n, де n - парне, і у = а (мал. 3.8). Якщо а > 0, то графіки перетинатимуться у двох точках, тобто рівняння х
n = а матиме два корені. Оскільки
при парному n, то
- корені рівняння х
n = а у випадку парного n. Якщо а = 0, то рівняння х
n = 0 має єдиний корінь - число 0. Якщо а < 0, то рівняння х
n = а, при парному n, коренів не має.
Мал. 3.8
Мал. 3.9
Нехай n - непарне, тоді для будь-якого а рівняння х
n = а має єдиний корінь (мал. 3.9). Оскільки
то
- єдиний корінь рівняння х
n = а, коли n - непарне.
Систематизуємо дані про розв’язки рівняння у вигляді схеми.
Задача 5. Розв’язати рівняння:
1) х 4 = 81; 2) х 6 = -1; 3) х 5 = 19; 4) (2х - 1) 8 = 1.
Розв’язання.
отже, х
1 = 3; х
2 = -3.
2) Коренів немає.
3)
корінь рівняння х
5 = 19 є ірраціональним числом.
4) Маємо:
Отже, рівняння має два корені: 0 i 1.
Відповідь. 1) 3;-3; 2) коренів немає; 3)
А ще раніше…
Терміни «радикал» і «корінь», які було введено у XIII cм., походять від латинського слова radix, яке має два значення: сторона і корінь. Грецькі математики замість «добувати корінь» говорили «знайти сторону квадрата за його даною величиною». Під величиною квадрата вони мали на увазі його площу.
Знак кореня у вигляді символу
уперше з’явився в 1525 р.
У 1626 р. голландський математик Альбер Жірар (1595-1663) увів позначення
при цьому над підкореневим виразом ставили риску. Замість сучасних
писали
Сучасне позначення кореня з’явилося завдяки французькому математику, фізику і філософу Рене Декарту (1596-1650). У своїй праці «Геометрія» (1637 р.) він з’єднав горизонтальну риску зі знаком
Англійський математик, фізик і механік Ісаак Ньютон (1643-1727) записував корені будь-яких степенів у сучасному вигляді:
тощо.
Яку функцію називають степеневою функцією з натуральним показником? Сформулюйте властивості функції у = х
n для парного n і для непарного n. Що називають коренем n-го степеня із числа а? Що називають арифметичним коренем n-го степеня із числа а? При яких значеннях а має зміст виpаз
у випадку парного n; непарного n? Що можна сказати про корені рівняння х
n = а, залежно від значень а і n, де n ∈ N, n ≥ 2?
Розв’яжіть задачі та виконайте впpaви
1
Чи має зміст вираз:
3.1.
3.2.
3.3. Доведіть, що:
1) число
є арифметичним кубічним коренем із числа
;
2) число 5 є арифметичним коренем четвертого степеня із числа 625;
3) число -1 не є арифметичним коренем шостого степеня із числа 1;
4) число 0,1 не є арифметичним коренем п’ятого степеня із числа 0,0001.
Доведіть, що (3.4—3.5):
3.4.
3.5.
Знайдіть значення виразу (3.6—3.7):
3.6.
3.7.
3.8. (Усно). Чи має розв’язки рівняння:
1) х 6 = 2; 2) х 8 = -1; 3) х 10 = 0; 4) х 7 = -2?
2
Обчисліть (3.9—3.10):
3.9.
3.10.
Знайдіть значення виразу (3.11—3.12):
3.11.
3.12.
Схематично побудуйте графік функції (3.13—3.14):
3.13. 1) у = х 4; 2) у = х 9.
3.14. 1) у = х 3; 2) у = х 6.
При яких значеннях змінної має зміст вираз (3.15—3.16):
3.15.
3.16.
Обчисліть (3.17—3.18):
3.17.
3.18.
Розв’яжіть рівняння (3.19—3.20):
3.19. 1) х 3 = 64; 2) х 3 = -64; 3) х 6 = 1; 4) х 6 = -1;
5) х 5 = 17; 6) х 5 = -17; 7) х 8 = 0; 8) х 10 = 2.
3.20. 1) х 3 = 8; 2) х 3 = -8; 3) х 4 = 16; 4) х 4 = -16;
5) х 7 = 2; 6) х 7 = -2; 7) х 8 = 3; 8) х 12 = 0.
3.21. Чи належить графіку функції
точка:
1) А(0; 0); 2) В(-1; 1); 3) С(16; 2); 4) В(81;-3)?
3
Знайдіть значення виразу (3.22—3.25):
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
При яких значеннях х має зміст вираз (3.26—3.27):
3.26.
3.27.
Розв’яжіть рівняння (3.28—3.29):
3.28.
3.29.
3.30. Знайдіть два послідовних цілих числа, між якими міститься число:
3.31. Бак має форму куба і вміщує 2,744 м 3 води. Знайдіть висоту бака і площу його основи.
3.32. Вкладник поклав на банківський депозит 10 000 грн, а через 3 роки на його депозитному рахунку стало 17 280 грн. Який відсоток річних виплачує банк вкладникам?
3.33. Вкладник відкрив у банку депозитний рахунок на суму 20 000 грн, а через 4 роки отримав 29 282 грн. Який відсоток річних надає банк?
Розв’яжіть рівняння (3.34—3.35):
3.34. 1) х 8 - 15х 4 - 16 = 0; 2) х 6 - 7х 3 - 8 = 0;
3) х 12 + 3х 6 + 2 = 0; 4) х 16 - 4х 8 + 3 = 0.
3.35. 1) х 8 + х 4 - 2 = 0; 2) х 6 + 26х 3 - 27 = 0;
3) х 16 + 5х 8 + 4 = 0; 4) х 12 - 6 х 6 + 5 = 0.
Знайдіть область визначення функції (3.36—3.37):
3.36.
3.37.
3.38. Для всіх значень а розв’яжіть рівняння:
1) х 6 = а + 1; 2) х 3 = а - 2; 3) ах 4 = а; 4) ах 10 = 2.
Життєва математика
3.39. На малюнку точками позначено щоденну середньодобову температуру повітря в Одесі з 6 по 19 червня. По горизонталі вказано дату місяця, по вертикалі - температуру у градусах Цельсія. Для наочності точки з’єднано лінією. Визначте по малюнку різницю між найбільшою і найменшою середньодобовими температурами у вказаний період. Відповідь подайте у градусах Цельсія.
Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу
Обчисліть (3.40—3.41):
3.40.
3.41.
3.42. При яких значеннях х справджується рівність:
3.43. Замініть вираз йому тотожно рівним, що не містить знака кореня:
3.44. Спростіть вираз: