ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 1 ФУНКЦІЇ, ЇХ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ

§3. КОРІНЬ n-ГО СТЕПЕНЯ. АРИФМЕТИЧНИЙ КОРІНЬ n-ГО СТЕПЕНЯ

1. Функція у = хⁿ, де n ∈ N

Розглянемо функцію у = хⁿ, де n - натуральне число. Її називають степеневою функцією з натуральним показником.

Степеневі функції для n = 1 та n = 2, тобто функції у = х тa у = х², нам відомі ще з курсу алгебри попередніх класів. Їх графіки зображено на малюнках 3.1 та 3.2.

З’ясуємо властивості функції у = хⁿ та вигляд її графікa для будь-яких значень n.

Спочатку розглянемо випадок, коли n - парне число. На малюнку 3.2 подано графік функції у = х², а на малюнку 3.3 - графік функції у = х⁴. Оскільки (-х)ⁿ = хⁿ, якщо n - парне, то функція у = хⁿ є парною, а отже, її графік симетричний відносно осі ординат.

Мал. 3.1

Мал. 3.2

Мал. 3.3

Розглянемо випадок, коли n - непарне число. На малюнку 3.4 зображено графік функції у = х³, а на малюнку 3.5 - графік функції у = х⁵.

Оскільки (-х)ⁿ = -хⁿ, коли n - непарне, то функція у = хⁿ є непарною, а отже, її графік симетричний відносно початку координат.

Графік функції у = хⁿ з парним натуральним показником n зображено на малюнку 3.6.

Графік функції у = хⁿ з непарним натуральним показником n при n ≥ 3 зображено на малюнку 3.7.

Мал. 3.4

Мал. 3.5

Мал. 3.6

Мал. 3.7

Узагальнимо властивості функції у = хⁿ, де n - натуральне число, і подамо їх у таблиці.

Функція у = хn, n ∈ N
Властивості		n — парне	n — непарне
і	Область визначення	(-∞; +∞)	(-∞; +∞)
2	Область значень	[0; +∞)	(-∞; +∞)
3	Нулі функції	х = 0	х = 0
4	Знакосталість (у > 0)	х < 0 або х > 0	х > 0
5	Знакосталість (у < 0)	—	х < 0
6	Парність, непарність	парна	непарна
7	Проміжки зростання	[0; +∞)	(-∞; +∞)
8	Проміжки спадання	(-∞; 0]	—

2. Корінь n-го степеня

Нагадаємо, що квадратним коренем із числа а називають таке число, квадрат якого дорівнює а. Наприклад, числа 4 і -4 - квадратні корені із числа 16, бо 4² = 16 і (-4)² = 16; 0 - квадратний корінь із числа 0, оскільки 0² = 0. Квадратного кореня із числа -9 не існує, бо не існує числа, квадрат якого дорівнює -9.

У той самий спосіб визначимо і корінь n-го степеня із числа а, де n ∈ N, n > 1.

Коренем n-го степеня із числа а називають таке число, n-й степінь якого дорівнює а.

Наприклад, корінь третього степеня із числа 64 дорівнює 4, оскільки 4³ = 64. Числа 3 і -3 є коренями четвертого степеня із числа 81, бо 3⁴ = 81 і (-3)⁴ = 81. Коренем п’ятого степеня із числа -32 є число -2, оскільки (-2)⁵ = -32.

3. Арифметичний корінь n-го степеня

Як і для квадратного кореня, для кореня n-го степеня розглянемо поняття арифметичного кореня. Нагадаємо, що арифметичним квадратним коренем з невід’ємного числа а називають таке невід’ємне число, квадрат якого дорівнює а. Арифметичнийквадратний корінь із числа а позначають і читають так: квадратний корінь із числа а (слово «арифметичний» при цьому домовилися не вживати).

Арифметичним коренем n-го степеня з невід’ємного числа а називають невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.

Арифметичний корінь n-го степеня із числа а позначають при цьому число n називають показником кореня, а число а - підкореневим виразом. Знак кореня ще називають радикалом. Запис читають так: корінь n-го степеня із числа а (тут також слово «арифметичний» не вживають). Якщо n = 2, матимемо арифметичний квадратний корінь із числа а, який позначають (показник кореня в цьому випадку не пишуть). Якщо n = 3, матимемо - арифметичний кубічний корінь із числа а (слово арифметичний під час читання не вживають).

Задача 1. Знайти:

Розв’язання.

З означення випливає, що рівність де а ≥ 0, є правильною, якщо виконуються одночасно дві умови: 1) b ≥ 0; 2) bⁿ = а. Тому, якщо в рівність bⁿ = а замість b підставити

то отримаємо тотожність

Для будь-якого а ≥ 0, n ∈ N, n ≥ 2 маємо тотожність

Наприклад,

Задача 2. Знайти значення виразу:

Розв’язання. Спочатку треба знайти значення підкореневого виразу 3⁴ + 5² + 137, а потім з отриманого значення добути корінь 5-го степеня:

Відповідь. 3.

4. Тотожності для арифметичного кореня n-го степеня

Знак кореня (радикала) використовують не тільки для запису арифметичного кореня n-го степеня з невід’ємного числа, а й для запису кореня непарного степеня з від’ємного числа. Наприклад,

 

Тому рівність де а - будь-яке число, n - непарне, є правильною, якщо виконується лише одна умова: хⁿ = а. Приходимо до висновку:

для будь-якого числа а, непарного натурального числа n, де n ≥ 3, маємо тотожність:

Оскільки

Узагалі,

для коренів непарного степеня маємо тотожність:

Отже,

1) якщо а ≥ 0, n ∈ N, n ≥ 2, то вираз означає арифметичний корінь n-го степеня із числа а;

2) якщо а < 0, то при непарному n вираз означає корінь n-го степеня із числа а, при парному n цей вираз не має змісту.

Приходимо до висновку: вираз при парному n має зміст для а ≥ 0, а при непарному n — для будь-якого значення а.

Задача 3. При яких значеннях х має зміст вираз:

Розв’язання. 1) Корінь 7-го (непарного) степеня існує для будь-якого значення підкореневого виразу, тому вираз має зміст для будь-якого значення х.

2) Корінь 4-го (парного) степеня має зміст лише в тому випадку, коли підкореневий вираз - невід’ємний. Розв’яжемо нерівність: 2х - 10 > 0, звідки х > 5.

Відповідь. 1) х - будь-яке число; 2) х > 5.

5. Рівняння, х^п = а, n ∈ N, n > 2

Розглянемо рівняння хⁿ = а, де а ∈ R, n ∈ N, n > 2.

Нехай маємо випадок, коли n - парне. Розв’яжемо рівняйня хⁿ = а графічно. Для цього побудуємо графіки функцій у = хⁿ, де n - парне, і у = а (мал. 3.8). Якщо а > 0, то графіки перетинатимуться у двох точках, тобто рівняння хⁿ = а матиме два корені. Оскільки при парному n, то - корені рівняння хⁿ = а у випадку парного n. Якщо а = 0, то рівняння хⁿ = 0 має єдиний корінь - число 0. Якщо а < 0, то рівняння хⁿ = а, при парному n, коренів не має.

Мал. 3.8

Мал. 3.9

Нехай n - непарне, тоді для будь-якого а рівняння хⁿ = а має єдиний корінь (мал. 3.9). Оскільки то - єдиний корінь рівняння хⁿ = а, коли n - непарне.

Систематизуємо дані про розв’язки рівняння у вигляді схеми.

Задача 5. Розв’язати рівняння:

1) х⁴ = 81;   2) х⁶ = -1;   3) х⁵ = 19;   4) (2х - 1)⁸ = 1.

Розв’язання.

отже, х₁ = 3; х₂ = -3.

2) Коренів немає.

3) корінь рівняння х⁵ = 19 є ірраціональним числом.

4) Маємо:

Отже, рівняння має два корені: 0 i 1.

Відповідь. 1) 3;-3; 2) коренів немає; 3)

А ще раніше...

Терміни «радикал» і «корінь», які було введено у XIII cм., походять від латинського слова radix, яке має два значення: сторона і корінь. Грецькі математики замість «добувати корінь» говорили «знайти сторону квадрата за його даною величиною». Під величиною квадрата вони мали на увазі його площу.

Знак кореня у вигляді символу уперше з’явився в 1525 р.

У 1626 р. голландський математик Альбер Жірар (1595-1663) увів позначення при цьому над підкореневим виразом ставили риску. Замість сучасних писали

Сучасне позначення кореня з’явилося завдяки французькому математику, фізику і філософу Рене Декарту (1596-1650). У своїй праці «Геометрія» (1637 р.) він з’єднав горизонтальну риску зі знаком

Англійський математик, фізик і механік Ісаак Ньютон (1643-1727) записував корені будь-яких степенів у сучасному вигляді: тощо.

Яку функцію називають степеневою функцією з натуральним показником? Сформулюйте властивості функції у = хⁿ для парного n і для непарного n. Що називають коренем n-го степеня із числа а? Що називають арифметичним коренем n-го степеня із числа а? При яких значеннях а має зміст виpаз у випадку парного n; непарного n? Що можна сказати про корені рівняння хⁿ = а, залежно від значень а і n, де n ∈ N, n ≥ 2?

Розв’яжіть задачі та виконайте впpaви

1

Чи має зміст вираз:

3.1.

3.2.

3.3. Доведіть, що:

1) число є арифметичним кубічним коренем із числа ;

2) число 5 є арифметичним коренем четвертого степеня із числа 625;

3) число -1 не є арифметичним коренем шостого степеня із числа 1;

4) число 0,1 не є арифметичним коренем п’ятого степеня із числа 0,0001.

Доведіть, що (3.4—3.5):

3.4.

3.5.

Знайдіть значення виразу (3.6—3.7):

3.6.

3.7.

3.8. (Усно). Чи має розв’язки рівняння:

1) х⁶ = 2;   2) х⁸ = -1;   3) х¹⁰ = 0;   4) х⁷ = -2?

2

Обчисліть (3.9—3.10):

3.9.

3.10.

Знайдіть значення виразу (3.11—3.12):

3.11.

3.12.

Схематично побудуйте графік функції (3.13—3.14):

3.13. 1) у = х⁴;   2) у = х⁹.

3.14. 1) у = х³;   2) у = х⁶.

При яких значеннях змінної має зміст вираз (3.15—3.16):

3.15.

3.16.

Обчисліть (3.17—3.18):

3.17.

3.18.

Розв’яжіть рівняння (3.19—3.20):

3.19. 1) х³ = 64;   2) х³ = -64;   3) х⁶ = 1;   4) х⁶ = -1;

5) х⁵ = 17; 6) х⁵ = -17;   7) х⁸ = 0; 8) х¹⁰ = 2.

3.20. 1) х³ = 8;   2) х³ = -8;   3) х⁴ = 16;   4) х⁴ = -16;

5) х⁷ = 2; 6) х⁷ = -2;   7) х⁸ = 3; 8) х¹² = 0.

3.21. Чи належить графіку функції точка:

1) А(0; 0);   2) В(-1; 1);   3) С(16; 2);   4) В(81;-3)?

3

Знайдіть значення виразу (3.22—3.25):

3.22.

3.23.

3.24.

3.25.

При яких значеннях х має зміст вираз (3.26—3.27):

3.26.

3.27.

Розв’яжіть рівняння (3.28—3.29):

3.28.

3.29.

3.30. Знайдіть два послідовних цілих числа, між якими міститься число:

3.31. Бак має форму куба і вміщує 2,744 м³ води. Знайдіть висоту бака і площу його основи.

3.32. Вкладник поклав на банківський депозит 10 000 грн, а через 3 роки на його депозитному рахунку стало 17 280 грн. Який відсоток річних виплачує банк вкладникам?

3.33. Вкладник відкрив у банку депозитний рахунок на суму 20 000 грн, а через 4 роки отримав 29 282 грн. Який відсоток річних надає банк?

Розв’яжіть рівняння (3.34—3.35):

3.34. 1) х⁸ - 15х⁴ - 16 = 0;   2) х⁶ - 7х³ - 8 = 0;

3) х¹² + 3х⁶ + 2 = 0;   4) х¹⁶ - 4х⁸ + 3 = 0.

3.35. 1) х⁸ + х⁴ - 2   = 0; 2) х⁶ + 26х³ - 27 = 0;

3) х¹⁶ + 5х⁸ +   4 = 0; 4) х¹² - 6 х⁶ + 5 = 0.

Знайдіть область визначення функції (3.36—3.37):

3.36.

3.37.

3.38. Для всіх значень а розв’яжіть рівняння:

1) х⁶ = а + 1;   2) х³ = а - 2;   3) ах⁴ = а; 4) ах¹⁰ = 2.

Життєва математика

3.39. На малюнку точками позначено щоденну середньодобову температуру повітря в Одесі з 6 по 19 червня. По горизонталі вказано дату місяця, по вертикалі - температуру у градусах Цельсія. Для наочності точки з’єднано лінією. Визначте по малюнку різницю між найбільшою і найменшою середньодобовими температурами у вказаний період. Відповідь подайте у градусах Цельсія.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

Обчисліть (3.40—3.41):

3.40.

3.41.

3.42. При яких значеннях х справджується рівність:

3.43. Замініть вираз йому тотожно рівним, що не містить знака кореня:

3.44. Спростіть вираз: