Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 1 ФУНКЦІЇ, ЇХ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ

§5. СТЕПІНЬ З РАЦІОНАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

У попередніх класах ми розглядали степінь з натуральним а із цілим показниками.

1. Означення степеня з раціональним показником.

Пригадаємо основні поняття, пов’язані зі степенем: - степінь, а - основа, n - показник, а ∈ R, n ∈ N, n > 1; а1 = а, де а ∈ R; а0 = 1, де а ≠ 0; а-n =  n ∈ N, а ≠ 0.

Тепер розглянемо поняття степеня для виразів вигляду   тощо, тобто для степеня з раціональним показником.

Означення степеня з раціональним показником природно дати так, щоб цей степінь мав ті самі властивості, що й раніше вивчені степені із цілими показниками. Так, наприклад, має справджуватися властивість піднесення степеня до степеня (ap)q = apq. Тоді а тому, за означенням кореня n-го степеня, дійдемо висновку, що має бути коренем n-го степеня із числа аm. Отже, маємо означення:

якщо а > 0, m — ціле число, n — натуральне число, n > 1, то степенем числа а з дробовим показником є вираз тобто

Наприклад,

І навпаки,  

Якщо а = 0, то 0r = 0 для r > 0, тому має зміст, коли m і n - натуральні. Наприклад, вирази змісту не мають.

Зауваження. 1) Оскільки а > 0, то очевидно, що для будь-якого натурального n і цілого m.

2) Для а < 0 степінь з дробовим показником не має змісту. Доведемо це. Оскільки то має справджуватися рівність

Перевіримо її, наприклад, для а = -1. За формулою маємо: а

Отже, для а < 0 отримали, що

Тому вищенаведене означення степеня з дробовим показником не розглядають для від’ємних значень а. Наприклад, вирази   змісту не мають.

Задача 1. Обчислити:

Розв’язання.

Відповідь.

2. Властивості степеня

Степінь з раціональним показником має усі ті самі властивості, що й степінь із цілим показником, а саме:

якщо а > 0, b > 0, р і q — раціональні числа, то:

Усі згадані властивості легко довести, використовуючи означення степеня з раціональним показником і властивості кореня n-го степеня, які ми довели в попередньому параграфі.

Доведемо, наприклад, властивість для добутку степенів. Запишемо раціональні числа р і q як дроби з однаковими знаменниками (як відомо, будь-які два дроби можна завжди звести до спільного знаменника).

Нехай

Отже, аp ∙ аq = аp+q.

Для степеня з раціональним показником справджуються і такі властивості:

якщо а > 0, b > 0, р — раціональне число, то

Задача 2. Спростити вираз:

Розв’язання.

Задача 3. Знайти значення виразу:

Розв’язання.

Відповідь.

Зауважимо, що в останній задачі обчислення можна було виконати за означенням степеня з дробовим показником, тобто, як у задачі 1 цього параграфа.

Задача 4. Обчислити:

Розв’язання.

Відповідь. 1) 6;   2) 49.

Далі розглянемо тотожні перетворення виразів, що містять степені з дробовим показником.

Задача 5. Спростити вираз:

Розв’язання.

Відповідь. 1) х3 - у5;   2)-3х;   3) а0,5 + а.

Задача 6. Спростити вираз

і знайти його значення, якщо х - 25, у - 36.

Розв’язання. Введемо позначення: х0,5 = а; у0,5 = b.

Тоді х = (х0,5)2 = а2; у = (у0,5)2 = b2.

Маємо:

Якщо

Відповідь.

3. Обчислення степенів за допомогою калькулятора

Для обчислення значень степенів у більшості калькуляторів використовують клавішу (у деяких калькуляторах це клавіша

Задача 7. Обчислити з точністю до тисячних 81,2. Розв’язання. Спочатку вводимо основу степеня - число 8, потім натискаємо клавішу далі - показник степеня 1,2 і клавішу

Округлюємо отримане значення до тисячних: 81,2 ≈ 12,126.

Зауважимо, що в деяких калькуляторах порядок обчислень може бути іншим, тому перед використанням калькулятора радимо ознайомитися з інструкцією. Також за допомогою калькулятора можна знаходити значення коренів n-го степеня.

У деяких калькуляторах є клавіша (або подібна), що дозволяє виконувати такі обчислення безпосередньо. Якщо така клавіша відсутня, то обчислення виконують, користуючися формулою

Задача 8. Обчислити з точністю до тисячних

Розв’язання.

Схема обчислення може бути такою:

Маємо:

А ще раніше...

Поняття степеня було відоме ще у Давній Греції та Вавілоні. Квадрат і куб числа використовували відповідно для знаходження площі квадрата та об’єму куба. Сучасні позначення степеня у вигляді а4, а5, ... у XVII cм. ввів Рене Декарт (1596-1650).

Поняття про дробові показники степеня і найпростіші правила дій над степенями з дробовими показниками в 1368 р. виклав французький математик Нікола Орем (1323-1382). Інший французький математик Нікола Шюке (1445 - бл. 1500) у трактаті «Наука про число» (1484 р., опубліковано в 1848 р. у Ліоні) уперше розглянув степені з від’ємним та нульовим показниками.

Німецький математик Міхаель Штифель (1487-1567) дав означення а0 = 1, де а ≠ 0, та ввів термін показник (це буквальний переклад з німецької слова exponent), німецьке слово potenzieren означає піднесення до степеня. Голландський математик та інженер Симон Стевін (1548-1620) запропонував під записом розуміти

Сформулюйте означення степеня з дробовим показником.

Сформулюйте властивості степеня з дробовим показником.

Як обчислити значення степеня за допомогою калькулятора?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

Запишіть степінь з дробовим показником у вигляді кореня (5.1-5.2):

5.1.

5.2.

Замініть степенем з дробовим показником арифметичний корінь (літерами позначено додатні числа) (5.3—5.4):

5.3.

5.4.

2

Замініть на корені степені з дробовим показником (5.5—5.6):

5.5.

5.6.

Обчисліть (5.7—5.8):

5.7.

5.8.

5.9. Запишіть вираз у вигляді степеня з основою а:

5.10. Запишіть вираз у вигляді степеня з основою b:

Спростіть вираз (5.11—5.12):

5.11.

5.12.

Обчисліть (5.13—5.14):

5.13.

5.14.

Подайте вираз у вигляді суми (5.15—5.16):

5.15.

5.16.

5.17. (Усно). Чи має зміст вираз:

5.18. За допомогою калькулятора знайдіть значення виразу (результат округліть до тисячних):

5.19. За допомогою калькулятора знайдіть значення виразу (результат округліть до сотих):

3

Знайдіть значення виразу (5.20—5.21):

5.20.

5.21.

5.22. Знайдіть область визначення функції:

5.23. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:

Подайте у вигляді степеня (5.24-5.25):

5.24.

5.25.

Обчисліть (5.26—5.27):

5.26.

5.27.

Спростіть вираз (5.28—5.31):

5.28.

5.29.

5.30.

5.31.

5.32. Спростіть вираз та знайдіть його значення, якщо а = 4, b = 2100.

Винесіть за дужки спільний множник (5.33—5.34):

5.33.

5.34.

За формулою а2 - b2 = (а - b)(a + b) розкладіть на множники (5.35-5.36):

5.35.

5.36.

Скоротіть дріб (5.37—5.38):

5.37.

5.38.

4

Порівняйте числа (5.39—5.40):

5.39.

5.40.

Спростіть вираз (5.41-5.42):

5.41.

5.42.

5.43. Доведіть, що значення виразу не залежить від значення змінних. 5.44. Доведіть, що значення виразу не залежить від значення змінних.

5.45. Спростіть вираз: та знайдіть його значення, якщо а = 3, b = 7.

Життєвa математика

5.46. Деяка модель смартфона коштувала 3500 грн. Згодом ціну знизили до 2800 грн. На скільки відсотків подешевшала ця модель смартфона?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

5.47. Побудуйте графік функції та пригадайте її властивості:

5.48. Установіть на свій комп’ютер (планшет або телефон) одну з програм для побудови графіків функцій та побудуйте за допомогою цієї програми графіки функцій з попереднього

завдання та графіки функцій









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.