Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 1 ФУНКЦІЇ, ЇХ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ

§6. СТЕПЕНЕВІ ФУНКЦІЇ, ЇХ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ

1. Степенева функція

Функцію вигляду у = ха, де а — деяке стале число, називають степеневою.

Наприклад, - степеневі функції.

Властивості степеневих функцій та вигляд їх графіків залежать від виду числа а. Розглянемо степеневу функцію для різних видів числа а, уважаючи а раціональним числом. Випадок, коли а ∈ N, ми детально розглянули в п. 1 § 3.

2. Функція у = ха, якщо а = 0

Нехай а = 0. Тоді маємо функцію у = х0, яка визначена для всіх значень х, крім 0, бо вираз 0° не має змісту. Оскільки х0 = 1 при х ≠ 0, то функція набуває лише одного значення: у = 1. Графік зoбражено на малюнку 6.1.

Мал. 6.1

Мал. 6.2

3. Функція у = xа, де а - ціле від’ємне число

У цьому випадку функція визначена для всіх значень х, крім х = 0. Якщо а = -1, то матимемо функцію у = х тобто у = графіком якої є гіпербола (мал. 6.2). Функція спадає на кожному з проміжків (-∞; 0) і (0; +∞), є непарною, тому її графік симетричний відносно початку координат.

Ті самі властивості має функція у = ха для будь-якого цілого від’ємного непарного а, тобто коли а = -1; -3; -5; .... Схематично графік функції у = ха, де а - ціле від’ємне непарне

число, зображено на малюнку 6.3.

Якщо а = -2, маємо функцію у = х-2, тобто

Функція - парна, тому її графік симетричний відносно осі ординат. Її графік зображено на малюнку 6.4. Функція зростає на проміжку (-∞; 0) і спадає на проміжку (0; +∞).

Ті самі властивості має функція у = ха для будь-якого від’ємного парного числа а, тобто коли а = -2; -4; -6; .... Схематично графік функції у = ха, де а - ціле від’ємне парне число, зображено на малюнку 6.5.

Мал. 6.3

Мал. 6.4

Мал. 6.5

4. Функція у = ха, де а - не ціле додатне число

У випадку, коли а - додатне, але не ціле число, областю визначення функції є проміжок [0; +∞).

Оскільки область визначення не є симетричною відносно нуля, то функція - ні парна, ні непарна. На малюнку 6.6 зображено графіки функцій та для наочності їх взаємного розташування графік функції у = х.

На малюнку 6.7 зображено графік функції у = xа, якщо 0 < а < 1, а на малюнку 6.8 - якщо а > 1, де а - не ціле число. У кожному із цих випадків функція зростає на проміжку [0; +∞).

Мал. 6.6

Мал. 6.7

Мал. 6.8

5. Функція у = ха, а - не ціле від’ємне число

У цьому випадку областю визначення є проміжок (0; +∞). Функція ні парна, ні непарна. На малюнку 6.9 зображено графік функції

На малюнку 6.10 схематично зображено графік функції у = ха, де а < 0 - не ціле. Функція в цьому випадку спадає на (0; +∞).

Мал. 6.9

Мал. 6.10

Узагальнимо всі згадані вище властивості функції у = ха у вигляді таблиці (с. 61).

7. Рівняння ха = m, де а - не ціле, а ∈ R,

Якщо m < 0, то рівняння ха = m коренів не має. Якщо m = 0 і а > 0, то рівняння ха = 0 має єдиний розв’язок х = 0. Якщо ж m = 0 і а < 0, то

рівняння ха = 0 розв’язків не має.

Якщо m > 0, рівняння ха = m має єдиний корінь, оскільки графіки функцій у = ха і у = m, де m > 0, як у випадку не цілого додатного а, так й у випадку не цілого від’ємного а, перетинаються в одній точці. Щоб знайти цей єдиний розв’язок, треба ліву і праву частини рівняння ха = m піднести до степеня .

Маємо: тоді

Систематизуємо дані про розв’язки рівняння ха = m у вигляді схеми:

Властивості

Функція у = ха

а — натуральне парне

а — натуральне непарне

а = 0

а — непарне від’ємне

а — парне від’ємне

а — не ціле додатне

а — не ціле від’ємне

Область визначення

(-∞; +∞)

(-∞; +∞)

(-∞; 0) ∪ (0; +∞)

(-∞; 0) ∪ (0; +∞)

(-∞; 0) ∪ (0; +∞)

[0; +∞)

(0; +∞)

Множина значень

[0; +∞)

(-∞; +∞)

1

(-∞; 0) ∪ (0; +∞)

(0; +∞)

[0; +∞)

(0; +∞)

Нулі функції

х = 0

x = 0

х = 0

Знакосталість

(у > 0)

х < 0 або х > 0

x > 0

х < 0 або х > 0

х > 0

х < 0 або х > 0

х > 0

х > 0

Знакосталість (у < 0)

x < 0

х < 0

Парність, непарність

Парна

Непарна

Парна

Непарна

Парна

Ні парна, ні непарна

Ні парна, ні непарна

Проміжки зростання

[0; +∞)

(-∞; +∞)

(-∞; 0)

[0; +∞)

Проміжки спадання

(-∞; 0]

(-∞; 0), (0; +∞)

(0; +∞)

(0; +∞)

Приклад 1. Розв’яжемо рівняння:

8. Побудова графіків за допомогою комп’ютера

Існує велика кількість програм, які дають змогу будувати графіки функцій, а потім їх аналізувати. На малюнку 6.11 зображено вікно однієї з програм, за допомогою якої побудовано графіки функцій у = х0,2 (зеленого кольору), (червоного), у = х-3 (сірого) і у = х-2 (синього).

Мал. 6.11

Серед корисних опцій подібних програм слід відзначити опцію руху курсора вздовж графіка, за допомогою якої можна встановлювати координати точок графіка, знаходження точки перетину двох графіків (за допомогою цієї опції можна, наприклад, знаходити наближений розв’язок рівняння вигляду ха = m, де m ∈ R), збільшення чи зменшення окремих ділянок графіка тощо.

Яку функцію називають степеневою? Пригадайте властивості цієї функції та вигляд її графіка для різних значень (парних та непарних) показника степеня. Сформулюйте властивості степеневої функції у = ха залежно від значення а. Як розв’язати рівняння ха = m, де а - не ціле число?

Pозв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

6.1. (Усно). Укажіть, які з даних функцій є степеневими:

6.2. (Усно). Визначте, на якому з малюнків 6.12-6.17 схематично зображено графік функції

6.3. На якому з малюнків 6.12-6.17 схематично зображено графік функції у = х2, на якому - у = х-5, а на якому -

Мал. 6.12

Мал. 6.13

Мал. 6.14

Мал. 6.15

Мал. 6.16

Мал. 6.17

2

Схематично побудуйте графік функції та запишіть її властивості (6.4—6.5):

6.4.

6.5.

Розв’яжіть рівняння (6.6—6.7):

6.6.

6.7.

3

6.8. Побудуйте графік функції За допомогою графіка знайдіть:

1) значення функції для значення аргументу 0,5; 16;

2) значення аргументу, що відповідають значенням функції 1; 1,5.

6.9. Побудуйте графік функції

За допомогою графіка знайдіть:

1) значення функції, що відповідає значенню аргументу 0,5; 8;

2) значення аргументу, що відповідають значенням функції 1; 1,5.

Побудуйте графік функції та запишіть її властивості (6.10— 6.11):

6.10.

6.11.

Розв’яжіть рівняння (6.12—6.13):

6.12.

6.13.

Порівняйте числа (6.14—6.15):

6.14.

6.15.

4

6.16. Накресліть графік функції у = (х + З)0,8 - 2 та запишіть її властивості.

6.17. Накресліть графік функції у = (х - 1)-1,2 + 3 та запишіть її властивості.

Розв’яжіть рівняння (6.18—6.21):

6.18.

6.19.

6.20.

6.21.

6.22. (Практичне завдання.) За допомогою будь-якої комп’ютерної програми для побудови графіків, побудуйте графіки функцій та заповніть таблицю.

Життєва математика

6.23. Шоколадка коштує 16 гривень. У вихідні в супермаркеті діє спеціальна пропозиція: заплативши за три шоколадки, покупець отримує чотири (одну в подарунок). Яку максимальну кількість шоколадок матиме покупець, що розрахувався за них на касі, якщо він планував витратити на купівлю шоколадок не більше ніж 100 гривень?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

6.24. У ∆ABC ∠C = 90°, АС = 12, ВС = 5, АВ = 13 (мал. 6.18).

Знайдіть:

1) sinA;   2) cosE;   3) tgA;

4) cosA;   5) tgE;   6) sinE.

Мал. 6.18

6.25. Обчисліть:

6.26. Знайдіть за допомогою калькулятора або комп’ютера:

1) sin15°;   2) cos48°;   3) tg138°;

4) sin130°45';   5) cos107°30';   6) tg13°15’.

Українці у світі

1611 року німецький філософ і вчений Йоганн Кеплер поставив одне з найскладніших питань у математиці - задачу про пакування куль (задачу комбінаторної геометрії про розміщення однакових куль в евклідовому просторі без їх взаємного перетинання). Знадобилося понад чотири століття, аби розв’язати один з її окремих випадків. І зробила це українка Марина В’язовська. Вона зуміла запакувати кулі у 8- та 24-вимірному просторах і 15 березня 2016 року опублікувала своє розв’язання, яке математики визнали як дуже елегантне і лаконічне. За це досягнення Марину В’язовську було відзначено «Премією Салема» - однією з найпрестижніших премій, що є аналогом Нобелівської премії, але для молодих математиків.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.