Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ МИ

- пригадаємо відомості з геометрії про синус, косинус і тангенс кута трикутника;

- дізнаємося про радіанну міру кута; тригонометричні функції кута та числового аргумента; основні співвідношення між тригонометричними функціями;

- навчимося переходити від радіанної міри кута до градусної і навпаки; перетворювати тригонометричні вирази та обчислювати їх значення; будувати графіки тригонометричних функцій; розв’язувати тригонометричні рівняння.

§7. СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС I КОТАНГЕНС КУТА

3 курсу геометрії нам уже відомо, що таке синус, косинус і тангенс кута а, де 0° ≤ а ≤ 180°. У цьому параграфі ознайомимося з поняттями синуса, косинуса і тангенса довільного кута, а також з поняттям котангенса кута.

1. Кути довільної величини

Розглянемо коло радіуса R із центром у початку координат (мал. 7.1). Позначимо на додатній півосі абсцис точку А, яка належить колу.

Радіус ОА будемо називати початковим радіусом.

Повернемо радіус ОА навколо точки О на 50° проти руху годинникової стрілки, отримаємо радіус ОВ. Кут АОВ, який при цьому утворився, називають кутом повороту. У нашому випадку кут повороту дорівнює 50°. Повернемо тепер початковий радіус ОА на кут 50° у напрямку руху годинникової стрілки, отримаємо радіус ОС. У цьому випадку кут повороту дорівнює -50°. На малюнку 7.1 стрілками вказано кути повороту 50° і -50° та напрям повороту. Узагалі,

Мал. 7.1

при повороті початкового радіуса проти руху годинникової стрілки кут повороту вважають додатним, а за рухом годинникової стрілки — від’ємним (мал. 7.1).

Кут повороту може бути будь-яким числом. На малюнку 7.2 маємо кути повороту 120° і -170°.

Мал. 7.2

Мал. 7.3

Мал. 7.4

Покажемо кут повороту 225°. Оскільки 225° = 180° + 45°, повернемо початковий радіус ОА в додатному напрямі на 180°, а потім у тому ж напрямі ще на 45° (мал. 7.3). Якщо початковим радіусом виконати повний оберт проти руху годинникової стрілки, то отримаємо кут повороту 360° (мал. 7.4). Початковий радіус можна повернути і більш ніж на повний оберт, наприклад, на малюнку 7.5 маємо кут повороту 440°.

Якщо початковий радіус повернути за рухом годинникової стрілки на 330°, тобто у від’ємному напрямі, отримаємо кут повороту -330° (мал. 7.6).

Мал. 7.5

Мал. 7.6

Мал. 7.7

Нехай при повороті на 40° початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ (мал. 7.7). Якщо після цього радіус ОВ повернути на кут 360° або -360°, то знову отримаємо радіус ОВ. Із цього можна дійти висновку, що радіус ОА переходить у радіус ОВ як при повороті на кут 40° + 360° = 400°, так і при повороті на кут 40° - 360° = -320°, та й узагалі при повороті на кут 40° + 360°k, де k - будь-яке ціле число, тобто k ∈ Z.

Очевидно, що й будь-який кут а можна подати у вигляді а = а0 + 360°k, де 0 ≤ а0 ≤ 360°, k ∈ Z. Наприклад, 1100° = 20° + 360° ∙ 3, а -640° = 80° + 360° ∙ (-2).

Задача 1. Серед кутів повороту 460°, -270°, 810°, -660° знайти ті, при повороті на які початковий радіус прийме те саме положення, що й при повороті на кут 90°.

Розв’язання. Оскільки 460° = 100° + 360° ∙ 1;

-270° = 90° + 360° ∙ (-1); 810° = 90° + 360° ∙ 2;

-660° = 60° + 360° ∙ (-2), то такими є кути -270° і 810°.

Відповідь. -270° і 810°.

Нагадаємо, що координатні осі ділять координатну площину на чотири чверті (мал. 7.8). Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ, тоді кут а називають кутом тої чверті, у якій міститься радіус ОВ. Так, наприклад,

а = 50° - кут першої чверті (мал. 7.1),

а = 120° - кут другої чверті (мал. 7.2),

а = 225° - кут третьої чверті (мал. 7.3),

а = -50° - кут четвертої чверті (мал. 7.1).

Мал. 7.8

Кути 0°; ±90°; ±180°; ±270°; ±360°; ... не належать жодній чверті.

Задача 2. Кутом якої чверті є кут: 1) 1999°; 2) -2010°?

Розв’язання.

1) 1999° = 199° + 360° ∙ 5, тому 1999° - кут III чверті.

2) -2010° = 150° + 360° ∙ (-6), тому -2010° - кут II чверті.

Відповідь. 1) кут III чверті; 2) кут II чверті.

2. Означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса

Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ, причому точка В має координати (х; у) (мал. 7.9).

Синусом кута а називають відношення ординати точки В до довжини радіуса: sin а = .

Косинусом кута а називають відношення абсциси точки В до довжини радіуса: cos а = .

Тангенсом кута а називають відношення ординати точки В до її абсциси: tga = (якщо х ≠ 0).

Котангенсом кута а називають відношення абсциси точки В до її ординати: ctgа = (якщо у ≠ 0).

Зауважимо, що вказані означення не суперечать означенням синуса, косинуса і тангенса кутів від 0° до 180°, раніше введеним у геометрії.

Мал. 7.9

Мал. 7.10

3. Одиничне коло

Як відомо з курсу геометрії, значення sin a, cos a і tg a, де 0° ≤ a ≤ 180°, залежить лише від градусної міри кута а і не залежить від довжини радіуса R. Тому зручно розглядати коло з радіусом R = 1 і центром у початку координат (мал. 7.10). Таке коло називають одиничним колом.

Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОР0 переходить у радіус ОРа, де точка Ра має координати (х; у) (мал. 7.10). Кажуть, що куту а відповідає точка Ра одиничного кола. Тоді

синусом кута а називають ординату точки Ра(х; у) одиничного кола, тобто sin а = у;

косинусом кута а називають абсцису точки Ра(х; у) одиничного кола, тобто cos а - х;

тангенсом кута а називають відношення ординати точки Ра(х; у) одиничного кола до її абсциси, тобто tga = (якщо х ≠ 0);

котангенсом кута а називають відношення абсциси точки Ра(х; у) одиничного кола до її ординати, тобто ctga = (якщо у ≠ 0).

Означення тангенса можна сформулювати й так:

тангенсом кута а називають відношення синуса цього кута до його косинуса.

Справді, оскільки у = sin a, a, х = cos а, то де cos а ≠ 0. Аналогічно:

котангенсом кута а називають відношення косинуса цього кута до його синуса.

Справді, де sin а ≠ 0.

Вирази sin а і cos а мають зміст для будь-якого значення а. Вираз tga має зміст, коли х ≠ 0, тобто коли а ≠ ±90°, ±270°, ±450°, ... , оскільки для цих кутів абсциса відповідної точки одиничного кола дорівнює нулю. Вираз ctga має зміст, коли у ≠ 0, тобто коли а Ф 0°, ±180°, ±360°, ... , оскільки для цих кутів ордината відповідної точки одиничного кола дорівнює нулю.

Отже, кожному допустимому значенню кута а відповідає єдине значення sin a, cos a, tga, ctga. Тому синус, косинус, тангенс і котангенс є функціями кута а. їх називають тригонометричними функціями кута.

4. Тригонометричні значення деяких кутів

Знайдемо значення тригонометричних функцій кутів 0°, 90°, 180°, 270°, 360° за означенням.

На одиничному колі (мал. 7.11) позначимо точки Ра для а = 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Матимемо:

Р(1; 0), тому sin0° = 0; cos0° = 1; tg0° = 0; ctg0° - не існує.

Р90°(0; 1), тому sin 90° = 1; cos 90° = 0; tg90° - не існує; ctg90° = 0.

Р180°(-1; 0), тому sin180° = 0; cos 180° = -1; tg 180° = 0; ctg180° - не існує.

Р270°(0;-1), тому sin270° = -1;

cos270° = 0; tg270° - не існує; ctg270° = 0.

Точка Р360° має такі самі координати, як і точка Р0°, тому sin 360° = sin 0° = 0; cos 360° = cos0° = 1; tg360° = tg0° = 0;

ctg360° - не існує.

Мал. 7.11

Подамо отримані значення у вигляді таблиці, доповнивши її значеннями синуса, косинуса і тангенса гострих і тупих кутів, відомих нам з курсу геометрії. Невідомі значення тангенса і котангенса для цієї таблиці обчислимо відповідно за формулами

Кути а першого рядка цієї таблиці ще називають табличними кутами. Маємо:

Обчислити: ctg135° + sin230°.

• Розв’язання. Кути 135° і 30° є табличними. Отже,

Відповідь. -0,75.

5. Знаходження тригонометричних значень за допомогою калькулятора

Для знаходження синуса, косинуса і тангенса в калькуляторах є відповідні клавіші (у деяких калькуляторах

Спочатку перемикач «Г—Р» треба

виставити в положення «Г» для задания кутів у градусах. У деяких калькуляторах це досягається за допомогою клавіші і вибору відповідного режиму. Залежно від типу калькуляторів послідовність обчислень може бути різною, тому радимо уважно ознайомитися з інструкцією до вашого калькулятора. Наведемо порядок обчислень для двох найбільш поширених типів калькуляторів.

В останньому рядку обох таблиць скористалися тим, що котангенс є числом, оберненим до тангенса.

А ще раніше...

Термін тригонометрія походить від грецьких слів «тригоном» - трикутник і «метрів» - вимірюю, що разом означає вимірювання трикутників.

Потреба у вимірюванні відстаней і кутів виникла ще у стародавні часи через необхідність визначення положення зірок на небі, кораблів у відкритому морі, караванів у пустелі тощо.

Деякі знання з тригонометрії накопичили і вчені Стародавнього Вавилону. Засновниками ж тригонометрії прийнято вважати давньогрецьких вчених Гіпарха (бл. 180 р. - бл. 125 р. до н.е.) і Птолемея (бл. 100 р. - бл. 178 р.). Зокрема, Гіпарх склав таблиці хорд - перші тригонометричні таблиці. Більш точні таблиці синусів склав Птолемей. Крім цих таблиць, його праця «Альмагест» містила також тогочасні відомості з астрономії та суміжних наук.

У Європі вперше тригонометрія як самостійна наука трактується у праці «П’ять книг про трикутник усіх видів» Йоганна Мюллера (1436-1476). Подальший розвиток тригонометрії відбувся завдяки Миколаю Копернику (1473-1543), Франсуа Вієту (1540-1603), Йоганну Кеплеру (1571-1630) і був пов’язаний з дослідженнями в астрономії. Сучасного вигляду тригонометрія набула у працях Леонарда Ейлера (1707- 1783), який уперше сформулював означення тригонометричних функцій, розглянув їх для довільних кутів та довів кілька тригонометричних формул.

Термін «синус» уперше з’явився у працях індійського вченого Аріабхатти (476-550). Термін «косинус» є скороченням латинського «complementy sinus», тобто додатковий синус.

Сучасні позначення «sinx» і «cosx» уперше запропонував Йоганн Бернуллі в 1 739 р. в листі до Ейлера. Ейлер їх прийняв і систематизував.

Терміни «тангенс» і «котангенс» уведено арабським математиком Абу-н-Вефа (940-998). Він же склав перші таблиці тангенсів і котангенсів.

Що називають початковим радіусом; кутом повороту? Який кут повороту вважають додатним, а який - від’ємним? Сформулюйте означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута a. Яке коло називають одиничним? Сформулюйте означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута а, заданого на одиничному колі.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

7.1. (Усно.) Куту а на одиничному колі відповідає точка Назвіть значення sin а і cos а.

7.2. Куту β на одиничному колі відповідає точка Рβ (0,8; 0,6). Запишіть значення sinβ і cosβ.

Знайдіть (7.3-7.4):

7.3. 1) sin45°;   2) cos90°;   3)   tg30°;   4) ctg135°;

5) cos 120°;   6) sin 180°;   7)   ctg60°;   8) tg0°.

7.4. 1) sin120°;   2) cos30°;   3)   tg45°;   4) ctg90°;

5) cos270°;   6) sin0°;   7)   ctg120°;   8) tg60°.

2

Накресліть коло із центром у початку координат і позначте на ньому, використовуючи транспортир, кут повороту (7.5-7.6):

7.5. 1) 60°;   2) 210°;   3) -40°;   4) -320°.

7.6.1)110°;   2) 300°;   3)-130°;   4)-200°.

Запишіть кут а у вигляді а = а0 + 360°k, де 0° ≤ а0 < 360°, k ∈ Z, якщо (7.7—7.8):

7.7. 1) а = 420°;   2) а = 765°;   3) а = -320°;   4) а = -1060°.

7.8. 1) а = 730°;   2) а = 395°;   3) а = -710°;   4) а = -770°.

Кутом якої чверті є кут градусної міри (7.9—7.10):

7.9. 1) 190°;   2) -190°;   3)   105°;   4) -105°;

5) 89°;   6) -89°;   7)   320°;   8) -320°?

7.10. 1) 95°;   2) -95°;   3)   210°;   4) -210°;

5) 20°;   6) -20°;   7)   280°;   8) -280°?

7.11. Відомо, що Знайдіть tgy і ctgy.

7.12. Відомо, що Знайдіть tg β і ctgβ.

Знайдіть на калькуляторі (округліть до тисячних) (7.13—7.14):

7.13. 1) sin(-15°);   2) cos127°;   3) tg1000°;   4) ctg(-37°).

7.14. 1) sin 190°; 2) cos(-100°);   3) tg(-29°);   4) ctg1200°.

Обчисліть (7.15—7.16):

7.15. 1) cos90° + sin0°;   2) 3cos180° ∙ sin90°;

3) 2tg180° - 4ctg90°;   4) ctg270° - cos 270° + sin270°.

7.16. 1) 5sin360° + cos360°;   2) tg0° + sinl80° - cos0°.

Знайдіть значення виразу (7.17—7.18):

7.17.

7.18.

3

7.19. Серед кутів повороту 520°; 440°; -310°; 220°; 770°; -560° знайдіть ті, у яких початковий радіус прийматиме те саме положення, що й при повороті на кут:

1) 50°;   2) 160°.

7.20. У проміжку від 0° до 360° знайдіть кут β такий, щоб поворот початкового радіуса на цей кут збігався з поворотом на кут а, якщо:

1) а = 480°;   2) а = -70°;   3) а = 1150°;   4) а = -670°.

Знайдіть на калькуляторі (округліть до сотих) (7.21—7.22):

7.21. 1) sin 12°37' + cos15°13';   2) tgl05°12' + ctg 185°38;

7.22. 1) cos113°24' + tg17°36';   2) sinl90°15' + ctg12°30'.

7.23. Укажіть кут а з проміжку [360°; 720°], для якого:

1) sina = 1;   2) cosa = 0;   3) sina = 0;   4) cosa = -1.

7.24. Укажіть кут β з проміжку [-360°; 0°], для якого:

1) sinβ = -1;   2) cosβ = 1.

7.25. Укажіть три таких значення х, для яких:

7.26. Укажіть два таких значення а, для яких:

Обчисліть (7.27-7.28):

7.27. 1) sin2 45° + cos2 60°;   2) sin 30° cos 180° tg 45°;

3) tg2 180° + cos2 120°;

4) (2ctg 270° - 2cos 60° + sin2 600)-1.

7.28. 1) sin2 120° - cos2 0°;   2) cos 45° sin 135° ctg 45°;

3) ctg2 60° + sin2 30°;

4) (2 cos2 0° - ctg 135° - 10 cos2 60°)-1.

7.29. Знайдіть значення виразу sin 3a + sin 2a, якщо:

1) a = 15°;   2) a = 30°;   3) a = 60°;   4) a = 90°.

7.30. Знайдіть значення виразу cos a + cos 2a - cos 3a, якщо:

1) a = 30°;   2) a = 60°.

4

Обчисліть (7.31—7.32):

7.31.

7.32.

7.33. Знайдіть координати точок Р і Ра+180° на одиничному колі, якщо Ра(а; b).

Життєва математика

7.34. Для табору пластунів треба придбати цукор з розрахунку 50 г цукру на добу (на одну особу). У таборі 4 курені на 28 місць кожен. Скільки кілограмових упаковок цукру знадобиться на 5 діб для всього табору?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

7.35. Радіус кола дорівнює 1 дм. Знайдіть довжину дуги, що відповідає центральному куту:

1) 30°;   2) 45°;   3) 60°;   4) 90°;

5) 120°;   6) 135°;   7) 150°;   8) 180°;

9) 210°;   10) 235°;   11) 240°;   12) 270°.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.