Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік
ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА
РОЗДІЛ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ
У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ МИ
- пригадаємо відомості з геометрії про синус, косинус і тангенс кута трикутника;
- дізнаємося про радіанну міру кута; тригонометричні функції кута та числового аргумента; основні співвідношення між тригонометричними функціями;
- навчимося переходити від радіанної міри кута до градусної і навпаки; перетворювати тригонометричні вирази та обчислювати їх значення; будувати графіки тригонометричних функцій; розв’язувати тригонометричні рівняння.
§7. СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС I КОТАНГЕНС КУТА
3 курсу геометрії нам уже відомо, що таке синус, косинус і тангенс кута а, де 0° ≤ а ≤ 180°. У цьому параграфі ознайомимося з поняттями синуса, косинуса і тангенса довільного кута, а також з поняттям котангенса кута.
1. Кути довільної величини
Розглянемо коло радіуса R із центром у початку координат (мал. 7.1). Позначимо на додатній півосі абсцис точку А, яка належить колу.
Радіус ОА будемо називати початковим радіусом.
Повернемо радіус ОА навколо точки О на 50° проти руху годинникової стрілки, отримаємо радіус ОВ. Кут АОВ, який при цьому утворився, називають кутом повороту. У нашому випадку кут повороту дорівнює 50°. Повернемо тепер початковий радіус ОА на кут 50° у напрямку руху годинникової стрілки, отримаємо радіус ОС. У цьому випадку кут повороту дорівнює -50°. На малюнку 7.1 стрілками вказано кути повороту 50° і -50° та напрям повороту. Узагалі,
Мал. 7.1
при повороті початкового радіуса проти руху годинникової стрілки кут повороту вважають додатним, а за рухом годинникової стрілки — від’ємним (мал. 7.1).
Кут повороту може бути будь-яким числом. На малюнку 7.2 маємо кути повороту 120° і -170°.
Мал. 7.2
Мал. 7.3
Мал. 7.4
Покажемо кут повороту 225°. Оскільки 225° = 180° + 45°, повернемо початковий радіус ОА в додатному напрямі на 180°, а потім у тому ж напрямі ще на 45° (мал. 7.3). Якщо початковим радіусом виконати повний оберт проти руху годинникової стрілки, то отримаємо кут повороту 360° (мал. 7.4). Початковий радіус можна повернути і більш ніж на повний оберт, наприклад, на малюнку 7.5 маємо кут повороту 440°.
Якщо початковий радіус повернути за рухом годинникової стрілки на 330°, тобто у від’ємному напрямі, отримаємо кут повороту -330° (мал. 7.6).
Мал. 7.5
Мал. 7.6
Мал. 7.7
Нехай при повороті на 40° початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ (мал. 7.7). Якщо після цього радіус ОВ повернути на кут 360° або -360°, то знову отримаємо радіус ОВ. Із цього можна дійти висновку, що радіус ОА переходить у радіус ОВ як при повороті на кут 40° + 360° = 400°, так і при повороті на кут 40° - 360° = -320°, та й узагалі при повороті на кут 40° + 360°k, де k - будь-яке ціле число, тобто k ∈ Z.
Очевидно, що й будь-який кут а можна подати у вигляді а = а0 + 360°k, де 0 ≤ а0 ≤ 360°, k ∈ Z. Наприклад, 1100° = 20° + 360° ∙ 3, а -640° = 80° + 360° ∙ (-2).
Задача 1. Серед кутів повороту 460°, -270°, 810°, -660° знайти ті, при повороті на які початковий радіус прийме те саме положення, що й при повороті на кут 90°.
Розв’язання. Оскільки 460° = 100° + 360° ∙ 1;
-270° = 90° + 360° ∙ (-1); 810° = 90° + 360° ∙ 2;
-660° = 60° + 360° ∙ (-2), то такими є кути -270° і 810°.
Відповідь. -270° і 810°.
Нагадаємо, що координатні осі ділять координатну площину на чотири чверті (мал. 7.8). Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ, тоді кут а називають кутом тої чверті, у якій міститься радіус ОВ. Так, наприклад,
а = 50° - кут першої чверті (мал. 7.1),
а = 120° - кут другої чверті (мал. 7.2),
а = 225° - кут третьої чверті (мал. 7.3),
а = -50° - кут четвертої чверті (мал. 7.1).
Мал. 7.8
Кути 0°; ±90°; ±180°; ±270°; ±360°; … не належать жодній чверті.
Задача 2. Кутом якої чверті є кут: 1) 1999°; 2) -2010°?
Розв’язання.
1) 1999° = 199° + 360° ∙ 5, тому 1999° - кут III чверті.
2) -2010° = 150° + 360° ∙ (-6), тому -2010° - кут II чверті.
Відповідь. 1) кут III чверті; 2) кут II чверті.
2. Означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса
Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ, причому точка В має координати (х; у) (мал. 7.9).
Синусом кута а називають відношення ординати точки В до довжини радіуса: sin а = 
.
Косинусом кута а називають відношення абсциси точки В до довжини радіуса: cos а = 
.
Тангенсом кута а називають відношення ординати точки В до її абсциси: tga = 
(якщо х ≠ 0).
Котангенсом кута а називають відношення абсциси точки В до її ординати: ctgа = 
(якщо у ≠ 0).
Зауважимо, що вказані означення не суперечать означенням синуса, косинуса і тангенса кутів від 0° до 180°, раніше введеним у геометрії.
Мал. 7.9
Мал. 7.10
3. Одиничне коло
Як відомо з курсу геометрії, значення sin a, cos a і tg a, де 0° ≤ a ≤ 180°, залежить лише від градусної міри кута а і не залежить від довжини радіуса R. Тому зручно розглядати коло з радіусом R = 1 і центром у початку координат (мал. 7.10). Таке коло називають одиничним колом.
Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОР0 переходить у радіус ОРа, де точка Ра має координати (х; у) (мал. 7.10). Кажуть, що куту а відповідає точка Ра одиничного кола. Тоді
синусом кута а називають ординату точки Ра(х; у) одиничного кола, тобто sin а = у;
косинусом кута а називають абсцису точки Ра(х; у) одиничного кола, тобто cos а - х;
тангенсом кута а називають відношення ординати точки Ра(х; у) одиничного кола до її абсциси, тобто tga = 
(якщо х ≠ 0);
котангенсом кута а називають відношення абсциси точки Ра(х; у) одиничного кола до її ординати, тобто ctga = 
(якщо у ≠ 0).
Означення тангенса можна сформулювати й так:
тангенсом кута а називають відношення синуса цього кута до його косинуса.
Справді, оскільки у = sin a, a, х = cos а, то 
де cos а ≠ 0. Аналогічно:
котангенсом кута а називають відношення косинуса цього кута до його синуса.
Справді, 
де sin а ≠ 0.
Вирази sin а і cos а мають зміст для будь-якого значення а. Вираз tga має зміст, коли х ≠ 0, тобто коли а ≠ ±90°, ±270°, ±450°, … , оскільки для цих кутів абсциса відповідної точки одиничного кола дорівнює нулю. Вираз ctga має зміст, коли у ≠ 0, тобто коли а Ф 0°, ±180°, ±360°, … , оскільки для цих кутів ордината відповідної точки одиничного кола дорівнює нулю.
Отже, кожному допустимому значенню кута а відповідає єдине значення sin a, cos a, tga, ctga. Тому синус, косинус, тангенс і котангенс є функціями кута а. їх називають тригонометричними функціями кута.
4. Тригонометричні значення деяких кутів
Знайдемо значення тригонометричних функцій кутів 0°, 90°, 180°, 270°, 360° за означенням.
На одиничному колі (мал. 7.11) позначимо точки Ра для а = 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Матимемо:
Р0°(1; 0), тому sin0° = 0; cos0° = 1; tg0° = 0; ctg0° - не існує.
Р90°(0; 1), тому sin 90° = 1; cos 90° = 0; tg90° - не існує; ctg90° = 0.
Р180°(-1; 0), тому sin180° = 0; cos 180° = -1; tg 180° = 0; ctg180° - не існує.
Р270°(0;-1), тому sin270° = -1;
cos270° = 0; tg270° - не існує; ctg270° = 0.
Точка Р360° має такі самі координати, як і точка Р0°, тому sin 360° = sin 0° = 0; cos 360° = cos0° = 1; tg360° = tg0° = 0;
ctg360° - не існує.
Мал. 7.11
Подамо отримані значення у вигляді таблиці, доповнивши її значеннями синуса, косинуса і тангенса гострих і тупих кутів, відомих нам з курсу геометрії. Невідомі значення тангенса і котангенса для цієї таблиці обчислимо відповідно за формулами
Кути а першого рядка цієї таблиці ще називають табличними кутами. Маємо:
Обчислити: ctg135° + sin230°.
• Розв’язання. Кути 135° і 30° є табличними. Отже,
Відповідь. -0,75.
5. Знаходження тригонометричних значень за допомогою калькулятора
Для знаходження синуса, косинуса і тангенса в калькуляторах є відповідні клавіші 
(у деяких калькуляторах 
Спочатку перемикач «Г—Р» треба
виставити в положення «Г» для задания кутів у градусах. У деяких калькуляторах це досягається за допомогою клавіші 
і вибору відповідного режиму. Залежно від типу калькуляторів послідовність обчислень може бути різною, тому радимо уважно ознайомитися з інструкцією до вашого калькулятора. Наведемо порядок обчислень для двох найбільш поширених типів калькуляторів.
В останньому рядку обох таблиць скористалися тим, що котангенс є числом, оберненим до тангенса.
А ще раніше…
Термін тригонометрія походить від грецьких слів «тригоном» - трикутник і «метрів» - вимірюю, що разом означає вимірювання трикутників.
Потреба у вимірюванні відстаней і кутів виникла ще у стародавні часи через необхідність визначення положення зірок на небі, кораблів у відкритому морі, караванів у пустелі тощо.
Деякі знання з тригонометрії накопичили і вчені Стародавнього Вавилону. Засновниками ж тригонометрії прийнято вважати давньогрецьких вчених Гіпарха (бл. 180 р. - бл. 125 р. до н.е.) і Птолемея (бл. 100 р. - бл. 178 р.). Зокрема, Гіпарх склав таблиці хорд - перші тригонометричні таблиці. Більш точні таблиці синусів склав Птолемей. Крім цих таблиць, його праця «Альмагест» містила також тогочасні відомості з астрономії та суміжних наук.
У Європі вперше тригонометрія як самостійна наука трактується у праці «П’ять книг про трикутник усіх видів» Йоганна Мюллера (1436-1476). Подальший розвиток тригонометрії відбувся завдяки Миколаю Копернику (1473-1543), Франсуа Вієту (1540-1603), Йоганну Кеплеру (1571-1630) і був пов’язаний з дослідженнями в астрономії. Сучасного вигляду тригонометрія набула у працях Леонарда Ейлера (1707- 1783), який уперше сформулював означення тригонометричних функцій, розглянув їх для довільних кутів та довів кілька тригонометричних формул.
Термін «синус» уперше з’явився у працях індійського вченого Аріабхатти (476-550). Термін «косинус» є скороченням латинського «complementy sinus», тобто додатковий синус.
Сучасні позначення «sinx» і «cosx» уперше запропонував Йоганн Бернуллі в 1 739 р. в листі до Ейлера. Ейлер їх прийняв і систематизував.
Терміни «тангенс» і «котангенс» уведено арабським математиком Абу-н-Вефа (940-998). Він же склав перші таблиці тангенсів і котангенсів.
Що називають початковим радіусом; кутом повороту? Який кут повороту вважають додатним, а який - від’ємним? Сформулюйте означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута a. Яке коло називають одиничним? Сформулюйте означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута а, заданого на одиничному колі.
Розв'яжіть задачі та виконайте вправи
7.1. (Усно.) Куту а на одиничному колі відповідає точка 
Назвіть значення sin а і cos а.
7.2. Куту β на одиничному колі відповідає точка Рβ (0,8; 0,6). Запишіть значення sinβ і cosβ.
Знайдіть (7.3-7.4):
7.3. 1) sin45°; 2) cos90°; 3) tg30°; 4) ctg135°;
5) cos 120°; 6) sin 180°; 7) ctg60°; 8) tg0°.
7.4. 1) sin120°; 2) cos30°; 3) tg45°; 4) ctg90°;
5) cos270°; 6) sin0°; 7) ctg120°; 8) tg60°.
2
Накресліть коло із центром у початку координат і позначте на ньому, використовуючи транспортир, кут повороту (7.5-7.6):
7.5. 1) 60°; 2) 210°; 3) -40°; 4) -320°.
7.6.1)110°; 2) 300°; 3)-130°; 4)-200°.
Запишіть кут а у вигляді а = а0 + 360°k, де 0° ≤ а0 < 360°, k ∈ Z, якщо (7.7—7.8):
7.7. 1) а = 420°; 2) а = 765°; 3) а = -320°; 4) а = -1060°.
7.8. 1) а = 730°; 2) а = 395°; 3) а = -710°; 4) а = -770°.
Кутом якої чверті є кут градусної міри (7.9—7.10):
7.9. 1) 190°; 2) -190°; 3) 105°; 4) -105°;
5) 89°; 6) -89°; 7) 320°; 8) -320°?
7.10. 1) 95°; 2) -95°; 3) 210°; 4) -210°;
5) 20°; 6) -20°; 7) 280°; 8) -280°?
7.11. Відомо, що 
Знайдіть tgy і ctgy.
7.12. Відомо, що 
Знайдіть tg β і ctgβ.
Знайдіть на калькуляторі (округліть до тисячних) (7.13—7.14):
7.13. 1) sin(-15°); 2) cos127°; 3) tg1000°; 4) ctg(-37°).
7.14. 1) sin 190°; 2) cos(-100°); 3) tg(-29°); 4) ctg1200°.
Обчисліть (7.15—7.16):
7.15. 1) cos90° + sin0°; 2) 3cos180° ∙ sin90°;
3) 2tg180° - 4ctg90°; 4) ctg270° - cos 270° + sin270°.
7.16. 1) 5sin360° + cos360°; 2) tg0° + sinl80° - cos0°.
Знайдіть значення виразу (7.17—7.18):
7.17.
7.18.
3
7.19. Серед кутів повороту 520°; 440°; -310°; 220°; 770°; -560° знайдіть ті, у яких початковий радіус прийматиме те саме положення, що й при повороті на кут:
1) 50°; 2) 160°.
7.20. У проміжку від 0° до 360° знайдіть кут β такий, щоб поворот початкового радіуса на цей кут збігався з поворотом на кут а, якщо:
1) а = 480°; 2) а = -70°; 3) а = 1150°; 4) а = -670°.
Знайдіть на калькуляторі (округліть до сотих) (7.21—7.22):
7.21. 1) sin 12°37' + cos15°13'; 2) tgl05°12' + ctg 185°38;
7.22. 1) cos113°24' + tg17°36'; 2) sinl90°15' + ctg12°30'.
7.23. Укажіть кут а з проміжку [360°; 720°], для якого:
1) sina = 1; 2) cosa = 0; 3) sina = 0; 4) cosa = -1.
7.24. Укажіть кут β з проміжку [-360°; 0°], для якого:
1) sinβ = -1; 2) cosβ = 1.
7.25. Укажіть три таких значення х, для яких:
7.26. Укажіть два таких значення а, для яких:
Обчисліть (7.27-7.28):
7.27. 1) sin2 45° + cos2 60°; 2) sin 30° cos 180° tg 45°;
3) tg2 180° + cos2 120°;
4) (2ctg 270° - 2cos 60° + sin2 600)-1.
7.28. 1) sin2 120° - cos2 0°; 2) cos 45° sin 135° ctg 45°;
3) ctg2 60° + sin2 30°;
4) (2 cos2 0° - ctg 135° - 10 cos2 60°)-1.
7.29. Знайдіть значення виразу sin 3a + sin 2a, якщо:
1) a = 15°; 2) a = 30°; 3) a = 60°; 4) a = 90°.
7.30. Знайдіть значення виразу cos a + cos 2a - cos 3a, якщо:
1) a = 30°; 2) a = 60°.
4
Обчисліть (7.31—7.32):
7.31.
7.32.
7.33. Знайдіть координати точок Р-а і Ра+180° на одиничному колі, якщо Ра(а; b).
Життєва математика
7.34. Для табору пластунів треба придбати цукор з розрахунку 50 г цукру на добу (на одну особу). У таборі 4 курені на 28 місць кожен. Скільки кілограмових упаковок цукру знадобиться на 5 діб для всього табору?
Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу
7.35. Радіус кола дорівнює 1 дм. Знайдіть довжину дуги, що відповідає центральному куту:
1) 30°; 2) 45°; 3) 60°; 4) 90°;
5) 120°; 6) 135°; 7) 150°; 8) 180°;
9) 210°; 10) 235°; 11) 240°; 12) 270°.