Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 7. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ КУТА І ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА

Таблиця 13

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

1. Означення тригонометричних функцій

Із курсу геометрії вам відомі означення тригонометричних функцій гострого кута в прямокутному трикутнику та означення тригонометричних функцій кутів від 0° до 180° через коло радіуса R з центром у початку координат (див. табл. 13). Аналогічно можна дати означення тригонометричних функцій довільного кута, але для спрощення означень найчастіше вибирають радіус відповідного кола таким, що дорівнює 1 (з більш детальними відповідними поясненнями можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника).

Коло радіуса 1 із центром у початку координат будемо називати одиничним колом.

Нехай при повороті на кут а точка Р0(1; 0) переходить у точку Ра (х; у) (тобто при повороті на кут а радіус ОР0 переходить у радіус ОРа) (рис. 7.1).

Нагадаємо, що при а > 0 радіус ОР0 повертають проти годинникової стрілки, а при а < 0 — за нею.

Рис. 7.1

Означення 1. Синусом кута а називається ордината точки Pa(x; у) одиничного кола: sin a = y.

Означення 2. Косинусом кута а називається абсциса точки Pa(x; у) одиничного кола: cos a = x.

Означення 3. Тангенсом кута а називається відношення ординати точки Pa(x; у) одиничного кола до її абсциси, тобто відношення .

Отже, tg а = (де cos а ≠ 0).

Означення 4. Котангенсом кута а називається відношення абсциси точки Pa(x; у) одиничного кола до її ординати, тобто відношення

Отже, ctg а = (де sin а ≠ 0).

Приклад. Користуючись цими означеннями, знайдемо синус, косинус, тангенс і котангенс кута радіан.

Розглянемо одиничне коло (рис. 7.2).

Унаслідок повороту на кут радіус ОР0 переходить у радіус (а точка Р0 переходить у точку ). Координати точки можна знайти, використовуючи властивості прямокутного трикутника (з кутами 60° і 30° та гіпотенузою 1): х = -ОА = - ; y = = .

Тоді:

Рис. 7.2

Аналогічно знаходять значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кутів, указаних у верхньому рядку табл. 14.

Зазначимо, що таким чином можна знайти тригонометричні функції тільки деяких кутів. Тригонометричні функції довільного кута зазвичай знаходять за допомогою калькулятора або таблиць.

Таблиця 14

а

градуси

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

радіани

0

2

sin а

0

1

0

-1

0

cos а

1

0

-1

0

1

tg а

0

1

не

існує

0

не

існує

0

ctg а

не

існує

1

0

не

існує

0

не

існує

2. Тригонометричні функції числового аргумента

Уведені означення дозволяють розглядати не тільки тригонометричні функції кутів, а й тригонометричні функції числових аргументів, якщо розглядати тригонометричні функції числа а як відповідні тригонометричні функції кута в а радіан. Таким чином:

синус числа а — це синус кута в а радіан;

косинус числа а — це косинус кута в а радіан.

Наприклад, sin = sin ( рад) = sin 30° = (див. також п. 2 табл. 13).

3. Лінії тангенсів і котангенсів

Для розв’язування деяких задач корисно мати уявлення про лінії тангенсів і котангенсів.

Проведемо через точку Р0 одиничного кола пряму AP0, паралельну осі Oy (рис. 7.3).

Цю пряму називають лінією тангенсів.

Нехай а — довільне число (чи кут), для якого cos а ≠ 0. Тоді точка Ра не лежить на осі Oy і пряма ОРа перетинає лінію тангенсів у точці A.

Оскільки пряма ОРа проходить через початок координат, то її рівняння y = kx. Але ця пряма проходить через точку Ра з координатами (cos a; sin а), отже, координати точки Ра задовольняють рівняння прямої y = kx, тобто sin а = k cos а. Звідси

Рис. 7.3

Таким чином, рівняння прямої OPa таке: y = (tg а)х.

Рівняння прямої AР0 x = 1. Щоб знайти ординату точки A, достатньо в рівняння прямої ОРа підставити х = 1. Одержуємо уA = tg а.

Отже, тангенс кута (числа) а — це ордината відповідної точки на лінії тангенсів.

Аналогічно вводять і поняття лінії котангенсів: це пряма СВ, що проходить через точку С(0; 1) одиничного кола паралельно осі Ох (рис. 7.4).

Якщо а — довільне число (чи кут), для якого sin а ≠ 0 (тобто точка Ра не лежить на осі Ох), то пряма ОРа перетинає лінію котангенсів у деякій точці В(хB; 1).

Аналогічно попередньому обґрунтовують, що xB = ctg а. Отже, котангенс кута (числа) а — це абсциса відповідної точки на лінії котангенсів.

Рис. 7.4

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Сформулюйте означення тригонометричних функцій гострого кута в прямокутному трикутнику.

2. Сформулюйте означення тригонометричних функцій довільного кута:

1) використовуючи коло радіуса R із центром у початку координат;

2) використовуючи одиничне коло.

3. Що мають на увазі, коли говорять про синус, косинус, тангенс і котангенс числа а ?

ВПРАВИ

7.1°. Побудуйте на одиничному колі точку Ра, у яку переходить точка Р0(1; 0) одиничного кола унаслідок повороту на кут а. У якій координатній чверті розташована точка Ра у завданнях 3-6?

7.2. Знайдіть значення sin a, cos а, tg а, ctg а (якщо вони існують) при:

7.3°. Користуючись означенням синуса і косинуса, за допомогою одиничного кола вкажіть знаки sin а і cos а, якщо:

7.4*. Користуючись лінією тангенсів, укажіть знак tg а, якщо:

7.5*. Користуючись лінією котангенсів, укажіть знак ctg а, якщо:






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.