АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 8. ВЛАСТИВОСТІ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ

Таблиця 15

Спираючись на означення тригонометричних функцій, легко обґрунтувати властивості тригонометричних функцій, наведених в табл. 15 (з відповідними обґрунтуваннями можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника).

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1. Користуючись періодичністю, парністю і непарністю тригонометричних функцій, знайдіть:

Розв'язання

Коментар

1) Ураховуючи, що значення функції sin x повторюються через період 2, виділимо в заданому аргументі число, кратне періоду (тобто 10), а потім скористаємося рівністю sin (а + 2 k) = sin а (k ∈ Z).

2) Спочатку враховуємо парність косинуса: cos (-а) = cos а, а потім його періодичність із періодом 2 = 360°: cos (а + 360°) = cos а.

3) Функція тангенс періодична з періодом , тому виділяємо в заданому аргументі число, кратне періоду (тобто 5), а потім використовуємо рівність tg(a + k) = tg а.

Приклад 2*. Доведіть твердження: якщо функція у = f(х) періодична з періодом Т, то функція у = Аf (kх + b) також періодична з періодом (А, k, b — деякі числа і k ≠ 0).

Із доведенням цього твердження можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

Використаємо твердження, доведене в прикладі 2, для знаходження періодів функцій.

Наприклад,

1) якщо функція sin x має період T = 2, то функція sin 4x має період

2) якщо функція tg х має період Т = , то функція tg має період

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. 1) Назвіть знаки тригонометричних функцій у кожній із координатних чвертей.

2*) Обґрунтуйте знаки тригонометричних функцій у кожній із координатних чвертей.

2. Які з тригонометричних функцій є парними, а які — непарними? Наведіть приклади використання парності і непарності для обчислення значень тригонометричних функцій.

3. Яка функція називається періодичною? Наведіть приклади. Укажіть найменший додатний період для синуса, косинуса, тангенса і котангенса.

4. Поясніть, як знайти періоди функцій sin(kx) , cos(kx), tg(kx) , ctg(kx).

ВПРАВИ

8.1. Користуючись періодичністю, парністю і непарністю тригонометричної функції, знайдіть:

8.2*. Серед заданих функцій знайдіть періодичні й укажіть найменший додатний період для кожної з них:

8.3. Знайдіть найменший додатний період кожної із заданих функцій:

8.4. На кожному з рисунків 8.1-8.4 наведено частину графіка деякої періодичної функції з періодом Т. Продовжте графік на відрізок [-2Т; 3Т].

Виявіть свою компетентність

8.5. Як, на вашу думку, періодичність функцій пов’язана з професійною діяльністю лікаря-кардіолога?

Рис. 8.1

Рис. 8.2

Рис. 8.3

Рис. 8.4