Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік
АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
Розділ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ
§ 9. ГРАФІКИ ФУНКЦІЙ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА І КОТАНГЕНСА ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
9.1. Графік функції у = sin x та її властивості
Таблиця 16
ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ
Характеризуючи властивості тригонометричних функцій, МИ будемо ВИДІЛЯТИ такі ЇХ характеристики:
1) область визначення;
2) область значень;
3) парність чи непарність;
4) періодичність;
5) точки перетину з осями координат;
6) проміжки знакосталості;
7) проміжки зростання і спадання;
8) найбільше і найменше значення функції.
Нагадаємо, що значення синуса — це ордината відповідної точки одиничного кола (рис. 9.1.1). Оскільки ординату можна знайти для будь-якої точки одиничного кола, то область визначення функції y = sin x — усі дійсні числа. Це можна записати так: D(sin x) = R.
Для точок одиничного кола ординати набувають усіх значень від -1 до і, отже, область значень функції y = sin x : y ∈ [-1; 1]. Це можна записати так:
E (sin x ) = [-1; 1].
Абсциси точок перетину графіка функції з віссю Ox (тобто ті значення аргумента, при яких функція дорівнює нулю) називають нулями функції.
Як бачимо, найбільше значення функції sin x дорівнює одиниці. Цього значення функція досягає тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола є точка A, тобто при x = + 2
k, k ∈ Z.
Найменше значення функції sin x дорівнює мінус одиниці, якого вона досягає тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола є точка B, тобто при x = - + 2
k, k ∈ Z.
Як було показано в § 8, синус — непарна функція: sin(-x) = -sin x, отже, її графік симетричний відносно початку координат.
У § 8 було обґрунтовано також, що синус — періодична функція з найменшим додатним періодом T = 2: sin (x + 2
) = sin x, отже, через проміжки довжиною 2
вигляд графіка функції sin x повторюється.
Рис. 9.1.1
Тому для того щоб побудувати графік цієї функції, достатньо побудувати її графік на будь-якому проміжку довжиною 2, а потім одержану лінію паралельно перенести праворуч і ліворуч уздовж осі Ox на відстані kT = 2
k, де k — будь-яке натуральне число.
Щоб знайти точки перетину графіка функції з осями координат, згадаємо, що на осі Oy значення x = 0. Тоді відповідне значення y = sin0 = 0, тобто графік функції y = sin x проходить через початок координат.
На осі Ox значення y = 0. Отже, нам потрібні такі значення x, при яких sin x, тобто ордината відповідної точки одиничного кола, дорівнюватиме нулю. Це буде тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола буде точка C або D (рис. 9.1.1), тобто при x = k, k ∈ Z.
Проміжки знакосталості. Як було обґрунтовано в § 8, значення функції синус додатні (тобто ордината відповідної точки одиничного кола додатна) у І і II координатних чвертях (рис. 9.1.2). Отже, sin x > 0 при x ∈ (0; ), а також, ураховуючи період, при всіх x ∈ (2
k;
+ 2
k), k ∈ Z.
Значення функції синус від’ємні (тобто ордината відповідної точки одиничного кола від’ємна) у III і IV чвертях, отже, sin x < 0 при x ∈ ( + 2
k; 2
+ 2
k), k ∈ Z.
Проміжки зростання і спадання
Ураховуючи періодичність функції sin x з періодом T = 2, достатньо дослідити її на зростання і спадання на будь-якому проміжку довжиною 2
, наприклад на проміжку
Якщо
(рис. 9.1.3, а), то при збільшенні аргумента x (x2 > x1) ордината відповідної точки одиничного кола збільшується (тобто sin x2 > sin х1, отже, у цьому проміжку функція sin x зростає. Ураховуючи періодичність, робимо висновок, що вона також зростає в кожному з проміжків
Рис. 9.1.2
Рис. 9.1.3
Якщо
(рис. 9.1.3, б), то при збільшенні аргумента x (x2 > x1) ордината відповідної точки одиничного кола зменшується (тобто sin x2 < sin x1), отже, у цьому проміжку функція sin x спадає. Ураховуючи періодичність, робимо висновок, що вона також спадає в кожному з проміжків
Проведене дослідження дозволяє обґрунтовано побудувати графік функції у = sin x. Ураховуючи періодичність цієї функції (з періодом 2), достатньо спочатку побудувати графік на будь-якому проміжку довжиною 2
, наприклад на проміжку [-
;
]. Для більш точної побудови точок графіка користуємося тим, що значення синуса — це ордината відповідної точки одиничного кола. На рис. 9.1.4 показано побудову графіка функції у = sin x на проміжку [0;
] (в інтернет-підтримці підручника наведено динамічну ілюстрацію відповідної побудови). Ураховуючи непарність функції sin x (її графік симетричний відносно початку координат), для того щоб побудувати графік на проміжку [-
; 0], відображуємо одержану криву симетрично відносно початку координат (рис. 9.1.5).
Рис. 9.1.4
Оскільки ми побудували графік на проміжку завдовжки 2, то, ураховуючи періодичність синуса (з періодом 2
), повторюємо вигляд графіка на кожному проміжку завдовжки 2
(тобто переносимо паралельно графік уздовж осі Ox на 2
k, де k — ціле число).
Одержуємо графік, наведений на рис. 9.1.6, який називають синусоїдою.
Рис. 9.1.5
Тригонометричні функції широко застосовують у математиці, фізиці та техніці. Наприклад, багато процесів, таких як коливання струни, маятника, напруги в колі змінного струму тощо, описуються функцією, яку задають формулою y = A sin (ωх + φ). Такі процеси називають гармонічними коливаннями.
Наведіть інші приклади реальних процесів, які, на вашу думку, можуть бути описані тригонометричними функціями.
Графік функції y = A sin (ωх + φ) можна одержати із синусоїди y = sin х стискуванням або розтягуванням її вздовж координатних осей і паралельним перенесенням уздовж осі Ох. Найчастіше гармонічне коливання є функцією часу t. Тоді його задають формулою y = A sin (ωt + φ), де A — амплітуда коливання, ω — кутова частота, φ — початкова фаза, — період коливання (якщо A > 0, ω > 0, φ ≥ 0).
Із обґрунтуванням властивостей інших тригонометричних функцій (див. табл. 1719) можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника).
Рис. 9.1.6
9.2. Графік функції у = соs х та її властивості
Таблиця 17
9.3. Графік функції у = tg x та її властивості
Таблиця 18
9.4. Графік функції у = ctg x та її властивості
Таблиця 19
ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ
Приклад 1. Побудуйте графік функції та вкажіть нулі функції і проміжки знакосталості функції:
1) y = 2sin x;
2) y = sin2x.
Коментар
Графіки всіх заданих функцій можна одержати за допомогою геометричних перетворень графіка функції f (x) = sin x. Отже, графіком кожної із цих функцій буде синусоїда, одержана:
1) y = 2sin x = 2f (x) розтягуванням графіка y = sin x удвічі вздовж осі Oy;
2) y = sin2x = f(2x) стискуванням графіка y = sin x удвічі вздовж осі Ox.
Нулі функції — це абсциси точок перетину графіка з віссю Ox.
Щоб записати проміжки знакосталості функції, зазначимо, що функція y = 2sin x періодична з періодом T = 2, а функція y = sin2x періодична з періодом T =
=
.
Тому для кожної функції достатньо з'ясувати на одному періоді, де значення функції додатні (графік розташований вище осі Ox) і де від'ємні (графік розташований нижче осі Ox), а потім одержані проміжки повторити через період.
Розв'язання
1) Графік функції y = 2sin x одержуємо із графіка функції y = sin x розтягуванням його вдвічі вздовж осі Oy (рис. 9.4.1).
Нулі функції: x = k, k ∈ Z.
Проміжки знакосталості:
2sin x > 0 при x ∈ (2k;
+ 2
k), k ∈ Z;
2sin x < 0 при x ∈ ( + 2
k; 2
+ 2
k), k є Z.
Рис. 9.4.1
Рис. 9.4.2
2) Графік функції y = sin2x одержуємо із графіка функції y = sin x стискуванням його вдвічі вздовж осі Ox (рис. 9.4.2).
Нулі функції: x = , k ∈ Z.
Проміжки знакосталості:
Приклад 2. Розташуйте в порядку зростання числа: sin 1,9; sin 3; sin(-1); sin (-1,5).
Коментар
Для того щоб розмістити задані числа в порядку їх зростання, з'ясуємо, які з них додатні, а які — від'ємні, а потім порівняємо між собою окремо додатні числа і окремо від'ємні, користуючись відомими проміжками зростання і спадання функції sin x.
Розв'язання
Числа sin 1,9 і sin 3 додатні (точки Р1,9 і P3 розташовані в II чверті), а числа sin (-1) і sin (-1,5) від’ємні (Р-1 і Р-1,5 розташовані в IV чверті).
Ураховуючи, що < 1,9 <
,
< 3 <
і що функція sin x спадає на проміжку {
;
}, з нерівності 1,9 < 3 одержуємо sin 1,9 > sin 3.
Також - < -1 < 0, -
< -1,5 < 0. Функція sin x на проміжку {-
;0} зростає.
Ураховуючи, що -1 > -1,5, одержуємо sin(-1) > sin(-1,5). Отже, у порядку зростання ці числа розташовуються так: sin(-1,5); sin(-1); sin 3; sin 1,9.
Із прикладами побудови графіків більш складних тригонометричних функцій можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.
ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ
1. 1) Побудуйте графік функції y = sin x. Користуючись графіком, охарактеризуйте властивості цієї функції.
2*) Обґрунтуйте властивості функції y = sin x.
2. 1) Побудуйте графік функції y = cos x. Користуючись графіком, охарактеризуйте властивості цієї функції.
2*) Обґрунтуйте властивості функції y = cos x.
3. 1) Побудуйте графік функції y = tg x. Користуючись графіком, охарактеризуйте властивості цієї функції.
2*) Обґрунтуйте властивості функції y = tg x.
4. 1) Побудуйте графік функції y = ctg x. Користуючись графіком, охарактеризуйте властивості цієї функції.
2*) Обґрунтуйте властивості функції y = ctg x.
ВПРАВИ
9.1. Користуючись властивостями функції y = sin x, порівняйте числа:
9.2. Користуючись властивостями функції y = cos x, порівняйте числа:
9.3. Користуючись властивостями функції y = tg x, порівняйте числа:
Для порівняння заданих чисел можна також зобразити точки Р1,9 , Р3, Р-1, Р-1,5 на одиничному колі й порівняти відповідні ординати (виконайте таке розв’язування самостійно).
9.4. Користуючись властивостями функції y = ctg x, порівняйте числа:
9.5. Розташуйте числа в порядку їх зростання:
У завданнях 9.6-9.9 побудуйте графік функції та вкажіть нулі функції, проміжки знакосталості та проміжки зростання і спадання функції.
9.6.
9.7.
9.8.
9.9.
9.10.
9.11.