АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 9. ГРАФІКИ ФУНКЦІЙ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА І КОТАНГЕНСА ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

9.1. Графік функції у = sin x та її властивості

Таблиця 16

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Характеризуючи властивості тригонометричних функцій, МИ будемо ВИДІЛЯТИ такі ЇХ характеристики:

1) область визначення;

2) область значень;

3) парність чи непарність;

4) періодичність;

5) точки перетину з осями координат;

6) проміжки знакосталості;

7) проміжки зростання і спадання;

8) найбільше і найменше значення функції.

Нагадаємо, що значення синуса — це ордината відповідної точки одиничного кола (рис. 9.1.1). Оскільки ординату можна знайти для будь-якої точки одиничного кола, то область визначення функції y = sin x — усі дійсні числа. Це можна записати так: D(sin x) = R.

Для точок одиничного кола ординати набувають усіх значень від -1 до і, отже, область значень функції y = sin x : y ∈ [-1; 1]. Це можна записати так:

E (sin x ) = [-1; 1].

Абсциси точок перетину графіка функції з віссю Ox (тобто ті значення аргумента, при яких функція дорівнює нулю) називають нулями функції.

Як бачимо, найбільше значення функції sin x дорівнює одиниці. Цього значення функція досягає тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола є точка A, тобто при x = + 2k, k ∈ Z.

Найменше значення функції sin x дорівнює мінус одиниці, якого вона досягає тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола є точка B, тобто при x = - + 2k, k ∈ Z.

Як було показано в § 8, синус — непарна функція: sin(-x) = -sin x, отже, її графік симетричний відносно початку координат.

У § 8 було обґрунтовано також, що синус — періодична функція з найменшим додатним періодом T = 2: sin (x + 2) = sin x, отже, через проміжки довжиною 2 вигляд графіка функції sin x повторюється.

Рис. 9.1.1

Тому для того щоб побудувати графік цієї функції, достатньо побудувати її графік на будь-якому проміжку довжиною 2, а потім одержану лінію паралельно перенести праворуч і ліворуч уздовж осі Ox на відстані kT = 2 k, де k — будь-яке натуральне число.

Щоб знайти точки перетину графіка функції з осями координат, згадаємо, що на осі Oy значення x = 0. Тоді відповідне значення y = sin0 = 0, тобто графік функції y = sin x проходить через початок координат.

На осі Ox значення y = 0. Отже, нам потрібні такі значення x, при яких sin x, тобто ордината відповідної точки одиничного кола, дорівнюватиме нулю. Це буде тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола буде точка C або D (рис. 9.1.1), тобто при x = k, k ∈ Z.

Проміжки знакосталості. Як було обґрунтовано в § 8, значення функції синус додатні (тобто ордината відповідної точки одиничного кола додатна) у І і II координатних чвертях (рис. 9.1.2). Отже, sin x > 0 при x ∈ (0; ), а також, ураховуючи період, при всіх x ∈ (2k; + 2k), k ∈ Z.

Значення функції синус від’ємні (тобто ордината відповідної точки одиничного кола від’ємна) у III і IV чвертях, отже, sin x < 0 при x ∈ ( + 2k; 2 + 2k), k ∈ Z.

Проміжки зростання і спадання

Ураховуючи періодичність функції sin x з періодом T = 2, достатньо дослідити її на зростання і спадання на будь-якому проміжку довжиною 2, наприклад на проміжку

Якщо

(рис. 9.1.3, а), то при збільшенні аргумента x (x₂ > x₁) ордината відповідної точки одиничного кола збільшується (тобто sin x₂ > sin х₁, отже, у цьому проміжку функція sin x зростає. Ураховуючи періодичність, робимо висновок, що вона також зростає в кожному з проміжків

Рис. 9.1.2

Рис. 9.1.3

Якщо

(рис. 9.1.3, б), то при збільшенні аргумента x (x₂ > x₁) ордината відповідної точки одиничного кола зменшується (тобто sin x₂ < sin x₁), отже, у цьому проміжку функція sin x спадає. Ураховуючи періодичність, робимо висновок, що вона також спадає в кожному з проміжків

Проведене дослідження дозволяє обґрунтовано побудувати графік функції у = sin x. Ураховуючи періодичність цієї функції (з періодом 2), достатньо спочатку побудувати графік на будь-якому проміжку довжиною 2, наприклад на проміжку [-; ]. Для більш точної побудови точок графіка користуємося тим, що значення синуса — це ордината відповідної точки одиничного кола. На рис. 9.1.4 показано побудову графіка функції у = sin x на проміжку [0; ] (в інтернет-підтримці підручника наведено динамічну ілюстрацію відповідної побудови). Ураховуючи непарність функції sin x (її графік симетричний відносно початку координат), для того щоб побудувати графік на проміжку [-; 0], відображуємо одержану криву симетрично відносно початку координат (рис. 9.1.5).

Рис. 9.1.4

Оскільки ми побудували графік на проміжку завдовжки 2, то, ураховуючи періодичність синуса (з періодом 2), повторюємо вигляд графіка на кожному проміжку завдовжки 2 (тобто переносимо паралельно графік уздовж осі Ox на 2k, де k — ціле число).

Одержуємо графік, наведений на рис. 9.1.6, який називають синусоїдою.

Рис. 9.1.5

Тригонометричні функції широко застосовують у математиці, фізиці та техніці. Наприклад, багато процесів, таких як коливання струни, маятника, напруги в колі змінного струму тощо, описуються функцією, яку задають формулою y = A sin (ωх + φ). Такі процеси називають гармонічними коливаннями.

Наведіть інші приклади реальних процесів, які, на вашу думку, можуть бути описані тригонометричними функціями.

Графік функції y = A sin (ωх + φ) можна одержати із синусоїди y = sin х стискуванням або розтягуванням її вздовж координатних осей і паралельним перенесенням уздовж осі Ох. Найчастіше гармонічне коливання є функцією часу t. Тоді його задають формулою y = A sin (ωt + φ), де A — амплітуда коливання, ω — кутова частота, φ — початкова фаза, — період коливання (якщо A > 0, ω > 0, φ ≥ 0).

Із обґрунтуванням властивостей інших тригонометричних функцій (див. табл. 1719) можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника).

Рис. 9.1.6

9.2. Графік функції у = соs х та її властивості

Таблиця 17

9.3. Графік функції у = tg x та її властивості

Таблиця 18

9.4. Графік функції у = ctg x та її властивості

Таблиця 19

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1. Побудуйте графік функції та вкажіть нулі функції і проміжки знакосталості функції:

1) y = 2sin x;

2) y = sin2x.

Коментар

Графіки всіх заданих функцій можна одержати за допомогою геометричних перетворень графіка функції f (x) = sin x. Отже, графіком кожної із цих функцій буде синусоїда, одержана:

1) y = 2sin x = 2f (x) розтягуванням графіка y = sin x удвічі вздовж осі Oy;

2) y = sin2x = f(2x) стискуванням графіка y = sin x удвічі вздовж осі Ox.

Нулі функції — це абсциси точок перетину графіка з віссю Ox.

Щоб записати проміжки знакосталості функції, зазначимо, що функція y = 2sin x періодична з періодом T = 2, а функція y = sin2x періодична з періодом T = = .

Тому для кожної функції достатньо з'ясувати на одному періоді, де значення функції додатні (графік розташований вище осі Ox) і де від'ємні (графік розташований нижче осі Ox), а потім одержані проміжки повторити через період.

Розв'язання

1) Графік функції y = 2sin x одержуємо із графіка функції y = sin x розтягуванням його вдвічі вздовж осі Oy (рис. 9.4.1).

Нулі функції: x = k, k ∈ Z.

Проміжки знакосталості:

2sin x > 0 при x ∈ (2k; + 2k), k ∈ Z;

2sin x < 0 при x ∈ ( + 2k; 2 + 2k), k є Z.

Рис. 9.4.1

Рис. 9.4.2

2) Графік функції y = sin2x одержуємо із графіка функції y = sin x стискуванням його вдвічі вздовж осі Ox (рис. 9.4.2).

Нулі функції: x = , k ∈ Z.

Проміжки знакосталості:

Приклад 2. Розташуйте в порядку зростання числа: sin 1,9; sin 3; sin(-1); sin (-1,5).

Коментар

Для того щоб розмістити задані числа в порядку їх зростання, з'ясуємо, які з них додатні, а які — від'ємні, а потім порівняємо між собою окремо додатні числа і окремо від'ємні, користуючись відомими проміжками зростання і спадання функції sin x.

Розв'язання

Числа sin 1,9 і sin 3 додатні (точки Р_1,9 і P₃ розташовані в II чверті), а числа sin (-1) і sin (-1,5) від’ємні (Р_-1 і Р_-1,5 розташовані в IV чверті).

Ураховуючи, що < 1,9 < , < 3 < і що функція sin x спадає на проміжку {; }, з нерівності 1,9 < 3 одержуємо sin 1,9 > sin 3.

Також - < -1 < 0, -< -1,5 < 0. Функція sin x на проміжку {- ;0} зростає.

Ураховуючи, що -1 > -1,5, одержуємо sin(-1) > sin(-1,5). Отже, у порядку зростання ці числа розташовуються так: sin(-1,5); sin(-1); sin 3; sin 1,9.

Із прикладами побудови графіків більш складних тригонометричних функцій можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. 1) Побудуйте графік функції y = sin x. Користуючись графіком, охарактеризуйте властивості цієї функції.

2*) Обґрунтуйте властивості функції y = sin x.

2. 1) Побудуйте графік функції y = cos x. Користуючись графіком, охарактеризуйте властивості цієї функції.

2*) Обґрунтуйте властивості функції y = cos x.

3. 1) Побудуйте графік функції y = tg x. Користуючись графіком, охарактеризуйте властивості цієї функції.

2*) Обґрунтуйте властивості функції y = tg x.

4. 1) Побудуйте графік функції y = ctg x. Користуючись графіком, охарактеризуйте властивості цієї функції.

2*) Обґрунтуйте властивості функції y = ctg x.

ВПРАВИ

9.1. Користуючись властивостями функції y = sin x, порівняйте числа:

9.2. Користуючись властивостями функції y = cos x, порівняйте числа:

9.3. Користуючись властивостями функції y = tg x, порівняйте числа:

Для порівняння заданих чисел можна також зобразити точки Р_1,9 , Р₃, Р_-1, Р_-1,5 на одиничному колі й порівняти відповідні ординати (виконайте таке розв’язування самостійно).

9.4. Користуючись властивостями функції y = ctg x, порівняйте числа:

9.5. Розташуйте числа в порядку їх зростання:

У завданнях 9.6-9.9 побудуйте графік функції та вкажіть нулі функції, проміжки знакосталості та проміжки зростання і спадання функції.

9.6.

9.7.

9.8.

9.9.

9.10.

9.11.