Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік
АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
Розділ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ
§ 10. СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ФУНКЦІЯМИ ОДНОГО АРГУМЕНТА
Таблиця 20
ПОЯСНЕННЯ й ОБҐРУНТУВАННЯ
На рисунку в табл. 20 зображене одиничне коло, тобто коло радіуса 1 з центром у початку координат. Рівняння цього кола: х2 + у2 = 1.
Нехай унаслідок повороту на кут а точка Р0(1; 0) одиничного кола переходить у точку Ра(х; у) (тобто унаслідок повороту на кут а радіус OP0 переходить у радіус ОРа). Нагадаємо, що синусом а називають ординату точки Ра(х; у) одиничного кола, тобто sin а = у, а косинусом а — абсцису цієї точки, тобто cos а = х. Координати точки Ра задовольняють рівняння кола, тоді х2 + у2 = 1, отже, sin2 а + cos2 а = 1.
Це співвідношення називають основною тригонометричною тотожністю.
Нагадаємо також, що:
Тоді
тобто
За допомогою цих співвідношень і основної тригонометричної тотожності одержуємо:
тобто
Аналогічно отримуємо:
тобто
ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ
Приклад 1. Знаючи значення однієї з тригонометричних функцій та інтервал, у якому міститься а, знайдіть значення інших трьох тригонометричних функцій:
Розв'язання
1) Із рівності sin2 а + cos2 а = 1 одержуємо: cos2 а = 1 - sin2 а.
Звідси
Оскільки 90° < а < 180°, то cos а < 0, а отже,
Тоді
2) Із рівності tg а · ctg а = 1 отримуємо
Підставляємо в рівність
значення tg а і одержуємо
Звідси
Оскільки 
< а < 
, то cos а < 0, тоді
Коментар
1) Рівність sin2 а + cos2 а = 1 пов'язує sin а та cos а і дозволяє виразити одну з цих функцій через іншу. Наприклад, cos2 а = 1 - sin2 а.
Тоді cos a = ±
. Ураховуючи, у якій чверті міститься а, ми можемо визначити знак, який потрібно взяти в правій частині формули (це знак косинуса в II чверті). Знаючи sin а і cos а, знаходимо
Зазначимо, що після знаходження tg а значення ctg а можна також знайти з співвідношення tg а · ctg а = 1.
3) Рівність tg а · ctg а = 1 пов'язує tg a і ctg а і дозволяє виразити одну з цих функцій через іншу як оберне ну величину.
Рівність
пов'язує tg а та cos а і дозволяє виразити одну з цих функцій через іншу.
Наприклад,
Тоді
Знаючи, у якій чверті міститься а, ми можемо визначити знак, який потрібно взяти в правій частині формули (це знак косинуса в III чверті). Щоб знайти sin а, можна скористатися співвідношенням
Приклад 2. Спростіть вираз
Розв'язання
Коментар
Для того щоб перетворити чисельник даного виразу, з основної тригонометричної тотожності sin2 а + cos2 а = 1 знаходимо: 1 - cos2 а = sin2 а. Потім використовуємо означення тангенса:
і спрощуємо одержаний дріб.
Із прикладами розв'язування більш складних завдань можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.
Під час доведення тотожностей найчастіше використовують такі способи:
1) за допомогою тотожних перетворень доводять, що одна частина рівності дорівнює іншій;
2) розглядають різницю лівої і правої частин тотожності і доводять, що ця різниця дорівнює нулю (цей спосіб використовують у тих випадках, коли планується перетворювати обидві частини тотожності).
ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ
1. Запишіть співвідношення між тригонометричними функціями одного аргумента.
2*. Доведіть співвідношення між тригонометричними функціями одного аргумента.
ВПРАВИ
10.1. Чи існує число а, яке одночасно задовольняє умови:
10.2. Знаючи значення однієї з тригонометричних функцій та інтервал, у якому міститься а, обчисліть значення інших трьох тригонометричних функцій:
10.3. Спростіть вираз:
10.4. Доведіть тотожність:
10.5*. 1) Відомо, що sin а + cos а = 
. Знайдіть sin a · cos а.
2) Відомо, що tg а + ctg а = 2. Знайдіть:
а) tg2а + ctg2а;
б) tg3а + ctg3а.
Виявіть свою компетентність
10.6. Визначте кут (у градусах і в радіанах), який утворюється внаслідок обертання хвилинної стрілки від моменту часу 1 год 15 хв до моменту часу 1 год 40 хв тієї самої доби. Обговоріть, чи будуть відрізнятися запис самого кута і запис його модуля?
10.7. Маховик двигуна робить 50 обертів за хвилину. На який кут (у градусах і в радіанах) повернеться його спиця ОА (рис. 10.1) за 2 с (напрям обертання позначено на рисунку)?
Рис. 10.1