АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 10. СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ФУНКЦІЯМИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

Таблиця 20

ПОЯСНЕННЯ й ОБҐРУНТУВАННЯ

На рисунку в табл. 20 зображене одиничне коло, тобто коло радіуса 1 з центром у початку координат. Рівняння цього кола: х² + у² = 1.

Нехай унаслідок повороту на кут а точка Р₀(1; 0) одиничного кола переходить у точку Р_а(х; у) (тобто унаслідок повороту на кут а радіус OP₀ переходить у радіус ОР_а). Нагадаємо, що синусом а називають ординату точки Р_а(х; у) одиничного кола, тобто sin а = у, а косинусом а — абсцису цієї точки, тобто cos а = х. Координати точки Р_а задовольняють рівняння кола, тоді х² + у² = 1, отже, sin² а + cos² а = 1.

Це співвідношення називають основною тригонометричною тотожністю.

Нагадаємо також, що:

Тоді

тобто

За допомогою цих співвідношень і основної тригонометричної тотожності одержуємо:

тобто

Аналогічно отримуємо:

тобто

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1. Знаючи значення однієї з тригонометричних функцій та інтервал, у якому міститься а, знайдіть значення інших трьох тригонометричних функцій:

Розв'язання

1) Із рівності sin² а + cos² а = 1 одержуємо: cos² а = 1 - sin² а.

Звідси

Оскільки 90° < а < 180°, то cos а < 0, а отже,

Тоді

2) Із рівності tg а · ctg а = 1 отримуємо

Підставляємо в рівність

значення tg а і одержуємо

Звідси

Оскільки < а < , то cos а < 0, тоді

Коментар

1) Рівність sin² а + cos² а = 1 пов'язує sin а та cos а і дозволяє виразити одну з цих функцій через іншу. Наприклад, cos² а = 1 - sin² а.

Тоді cos a = ±. Ураховуючи, у якій чверті міститься а, ми можемо визначити знак, який потрібно взяти в правій частині формули (це знак косинуса в II чверті). Знаючи sin а і cos а, знаходимо

Зазначимо, що після знаходження tg а значення ctg а можна також знайти з співвідношення tg а · ctg а = 1.

3) Рівність tg а · ctg а = 1 пов'язує tg a і ctg а і дозволяє виразити одну з цих функцій через іншу як оберне ну величину.

Рівність

пов'язує tg а та cos а і дозволяє виразити одну з цих функцій через іншу.

Наприклад,

Тоді

Знаючи, у якій чверті міститься а, ми можемо визначити знак, який потрібно взяти в правій частині формули (це знак косинуса в III чверті). Щоб знайти sin а, можна скористатися співвідношенням

Приклад 2. Спростіть вираз

Розв'язання

Коментар

Для того щоб перетворити чисельник даного виразу, з основної тригонометричної тотожності sin² а + cos² а = 1 знаходимо: 1 - cos² а = sin² а. Потім використовуємо означення тангенса:

і спрощуємо одержаний дріб.

Із прикладами розв'язування більш складних завдань можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

Під час доведення тотожностей найчастіше використовують такі способи:

1) за допомогою тотожних перетворень доводять, що одна частина рівності дорівнює іншій;

2) розглядають різницю лівої і правої частин тотожності і доводять, що ця різниця дорівнює нулю (цей спосіб використовують у тих випадках, коли планується перетворювати обидві частини тотожності).

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Запишіть співвідношення між тригонометричними функціями одного аргумента.

2*. Доведіть співвідношення між тригонометричними функціями одного аргумента.

ВПРАВИ

10.1. Чи існує число а, яке одночасно задовольняє умови:

10.2. Знаючи значення однієї з тригонометричних функцій та інтервал, у якому міститься а, обчисліть значення інших трьох тригонометричних функцій:

10.3. Спростіть вираз:

10.4. Доведіть тотожність:

10.5*. 1) Відомо, що sin а + cos а = . Знайдіть sin a · cos а.

2) Відомо, що tg а + ctg а = 2. Знайдіть:

а) tg²а + ctg²а;

б) tg³а + ctg³а.

Виявіть свою компетентність

10.6. Визначте кут (у градусах і в радіанах), який утворюється внаслідок обертання хвилинної стрілки від моменту часу 1 год 15 хв до моменту часу 1 год 40 хв тієї самої доби. Обговоріть, чи будуть відрізнятися запис самого кута і запис його модуля?

10.7. Маховик двигуна робить 50 обертів за хвилину. На який кут (у градусах і в радіанах) повернеться його спиця ОА (рис. 10.1) за 2 с (напрям обертання позначено на рисунку)?

Рис. 10.1