Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 11. ФОРМУЛИ ДОДАВАННЯ ТА НАСЛІДКИ З НИХ

11.1 Формули додавання

Таблиця 21

ПОЯСНЕННЯ й ОБҐРУНТУВАННЯ

Косинус різниці і суми

Щоб одержати формулу для cos(a - β), спочатку розглянемо випадок, коли а і β розташовані в проміжку [0; З] і а > β. На одиничному колі позначимо точки Ра і Рβ та зобразимо вектори і (рис. 11.1.1). Ці вектори мають ті самі координати, що й точки Ра і Рβ, тобто: (cos a; sin a), (cos β; sin β). Довжини (модулі) цих векторів дорівнюють одиниці: || = 1, || = 1, а кут між ними дорівнює a - β (тобто РаОРβ = а - β). Знайдемо скалярний добуток векторів і двома способами:

1) як суму добутків однойменних координат:

2) як добуток довжин (модулів) векторів на косинус кута між ними:

Отже,

Рис. 11.1.1

Одержану формулу називають формулою косинуса різниці. Можна обґрунтувати, що вона залишається правильною і для будь-яких значень а і β. Словесно її можна сформулювати так.

Косинус різниці двох кутів (чисел) дорівнює добутку косинуса першого кута (числа) на косинус другого плюс добуток синуса першого на синус другого.

За допомогою формули (1) легко вивести формулу косинуса суми:

Отже,

Косинус суми двох кутів (чисел) дорівнює добутку косинуса першого кута (числа) на косинус другого мінус добуток синуса першого на синус другого.

Використовуючи одержані формули, легко можна обґрунтувати інші формули, наведені в табл. 21. Наприклад, підставляючи у формули для суми аргументів значення β = а, одержуємо формули подвійного аргумента. З доведенням інших формул можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1. Обчисліть:

1) sin15°;

2) cos15°;

3) tg15°.

Розв'язання

Коментар

Подамо 15° як різницю: 15° = 45° - 30°, а значення тригонометричних функцій кутів 45° і 30° ми знаємо. Тому, записавши синус 15° як синус різниці, одержимо значення sin 15°. Аналогічно знайдемо cos 15° і tg 15°.

Зауважимо, що для знаходження tg 15° можна було б використати також формулу tg a = .

У завданні 3 в одержаному виразі зручно позбутися ірраціональності в знаменнику дробу, що значно спрощує відповідь.

Приклад 2. Спростіть вираз

Коментар

У чисельнику і знаменнику дробу використаємо формули косинуса суми і косинуса різниці та зведемо подібні члени.

Розв'язання

Приклад 3. Знайдіть значення виразу cos 37° cos 23°- sin 37° sin 23°.

Розв'язання

Коментар

Використаємо формулу косинуса суми справа наліво:

Приклад 4. Обчисліть:

Розв'язання

Коментар

У першому завданні достатньо «впізнати» праву частину формули косинуса подвійного аргумента і записати результат.

У другому завданні слід звернути увагу на те, що заданий вираз відрізняється від правої частини формули синуса подвійного аргумента тільки відсутністю двійки. Тому, якщо цей вираз помножити і поділити на 2, він не зміниться, але тепер за формулою одержуємо:

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Запишіть формули додавання:

1) косинус суми і косинус різниці;

2) синус суми і синус різниці;

3) тангенс суми і тангенс різниці.

2. Запишіть формули подвійного аргумента та формули пониження степеня.

ВПРАВИ

11.1.1. Обчисліть:

11.1.2. Спростіть:

11.1.3. За допомогою формул додавання обчисліть:

11.1.4. Доведіть тотожність:

11.1.5°. Обчисліть:

У завданнях 11.1.6, 11.1.7 доведіть тотожність.

11.1.6°.

11.1.7.

11.1.8. Спростіть вираз:

11.1.9. Знаючи, що

обчисліть:

1) sin2a;

2) cos2a;

3) tg2a;

4) ctg2а.

11.1.10. Побудуйте графік функції:

11.2. Формули зведення

Таблиця 22

Формулами зведення називають формули, за допомогою яких тригонометричні функції від аргументів виду k± а і (2k +1)± а k ∈ Z) зводять до тригонометричних функцій від аргумента а.

Орієнтир

1) Якщо до числа а додається число к, k ∈ Z (тобто число, яке зображується на горизонтальному діаметрі одиничного кола), то назва заданої функції не змінюється, а якщо додається число (2k + 1) (тобто число, яке 2зображується на вертикальномудіаметрі одиничного кола), то назва заданої функції змінюється на відповідну (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс і котангенс на тангенс)

2) Знак одержаного виразу визначається знаком початкового виразу, якщо умовно вважати кут а гострим

Приклади

1) Спростіть за формулами зведення вираз tg (З- a).

tg(З- а) = -tg а.

Коментар

Назва заданої функції не змінюється, оскільки З зображується на горизонтальному діаметрі (зліва) одиничного кола (див. рисунок).

Якщо а — гострий кут, то кут (З- а) розташований у II чверті, де тангенс від'ємний, тому в правій частині формули взято знак «-»

2) Спростіть

Коментар

Назва заданої функції змінюється, оскільки Ззображуєтьсяна вертикальному діаметрі (внизу) одиничного кола (див. рисунок).

Якщо а — гострий кут, то кут

розташований у IV чверті, де косинус додатний, тому в правій частині формули взято знак «+»

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Із обґрунтуванням формул зведення можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

У табл. 23 наведено основні формули зведення. Усі інші випадки може бути зведено до них за допомогою використання періодичності відповідних тригонометричних функцій.

Таблиця 23

x

+ 2

- 2

2 - а

+ а

- а

+ a

- a

sin x

- sin а

sin а

- sin а

cos а

cos а

- cos а

- cos а

cos x

- cos а

- cos а

cos а

- sin а

sin а

sin а

- sin а

tg x

tg а

- tg а

- tg а

- ctg а

ctgа

- ctg а

ctg а

ctg x

ctg а

- ctg а

- ctg а

- tg а

tg а

- tg а

tg а

Зазначимо, що за формулами зведення

Якщо останні формули записати справа наліво, то одержимо корисні співвідношення, які часто називають формулами доповняльних аргументів (аргументи а і - a доповнюють один одного до):

Наприклад,

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1. Обчисліть за допомогою формул зведення:

Розв'язання

Коментар

Подамо задані аргументи так, щоб можна було використати формули зведення (тобто виділимо в аргументі частини, які зображаються на горизонтальному або вертикальному діаметрі одиничного кола).

Наприклад, 210° = 180° + 30°. Звичайно, можна було подати цей аргумент ще й так: 210° = 270° - 60° і теж використати формули зведення.

Приклад 2*. Доведіть тотожність

Коментар

Доведемо, що ліва частина тотожності дорівнює правій. Спочатку використаємо формули зведення, а потім спростимо одержані вирази за допомогою формул: tg а ∙ ctg а = 1 і cos2а - sin2а = cos 2a. Під час спрощення виразів cos(3- а) і tg( + а) можна застосувати як безпосередньо формули зведення, так і періодичність відповідних функцій. Наприклад, ураховуючи, що періодом функції cos x ∈ 2, одержуємо:

Розв'язання

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Проілюструйте на прикладах використання формул зведення. Поясніть одержаний результат.

2*. Доведіть декілька формул зведення.

ВПРАВИ

11.2.1. Обчисліть за допомогою формул зведення:

11.2.2. Обчисліть:

11.2.3. Спростіть вираз:

11.2.4. Доведіть тотожність:

Виявіть свою компетентність

11.2.5. Спробуйте зробити схему, яка візуалізує формули зведення. Вказівка. Використайте одиничне коло.

Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій і формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму наведені на першій сторінці форзаца підручника, а з обґрунтуванням цих формул можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.