Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 12. НАЙПРОСТІШІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ

До найпростіших тригонометричних рівнянь відносять рівняння sin x= a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a. Їх загальні розв’язки записують, використовуючи так звані обернені тригонометричні функції, для позначення яких перед відповідною функцією ставиться буквосполучення «arc» (читається «арк»).

12.1. Обернені тригонометричні функції

Для запису значень arcsin а (де |a| ≤ 1), arccos а (де |a| ≤ 1), arctg a і arcctg а виділяють ті проміжки значень змінної, де основні функції (sin x, cos x, tg x, ctg x) зростають або спадають. У виділених проміжках основні функції кожне своє значення приймають тільки в одній точці, і тому для кожної з основних тригонометричних функцій існує обернена функція. Відповідні означення, приклади знаходження значень обернених тригонометричних функцій і формули для знаходження обернених тригонометричних функцій від’ємних чисел (та рисунки, які дозволяють обґрунтувати правильність відповідних формул, спираючись на симетричність відповідних точок на одиничному колі) наведені в табл. 24.

Таблиця 24

Пояснення й обґрунтування найпростіших властивостей обернених тригонометричних функцій наведено в інтернет-підтримці підручника.

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад. Знайдіть:

Розв'язання

1) Нехай arcsin = φ. Тоді за означенням арксинуса одержуємо, що sin φ = .

Отже,

2) Нехай arcsin = φ. За означенням арксинуса одержуємо, що

Ураховуючи, що cos φ ≥ 0, маємо:

ОТЖЕ,

Коментар

1) Оскільки записφ = arcsin a (|a| ≤ 1) означає, що

то завжди викопується рівність sin (arcsina) = a, |a| ≤ 1.

2) Якщо позначити вираз у дужках через φ, то за вимогою задачі потрібно знайти cos φ. Використавши означення арксинуса, одержуємо стандартну задачу: знаючи синус кута, знайти його косинус, якщо кут розташований у проміжку

Тоді

Оскільки

то в цьому проміжку cos φ ≥ 0, а отже,

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Поясніть, яке число позначають вирази:

1)arcsin а;

2) arccos а;

3) arctg а;

4) arcctg а.

При яких значеннях а існують ці вирази? Проілюструйте пояснення прикладами.

2. За допомогою одиничного кола проілюструйте формули для знаходження значень обернених тригонометричних функцій від’ємних чисел. Наведіть приклади застосування таких формул.

ВПРАВИ

У завданнях 12.1.1-12.1.4 обчисліть:

12.1.1°.

12.1.2°.

12.1.3°.

12.1.4.

12.2. Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь

Таблиця 25

Детально з розв'язуванням найпростіших тригонометричних рівнянь можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння sin x = -.

Розв'язання

Відповідь:

Коментар

Оскільки

то задане рівняння виду sin x = а має корені, які можна знайти за формулою, наведеною в п. 1 табл. 25.

Для обчислення arcsin (-) можна скористатися формулою arcsin(-а) = -arcsin а. Тоді

Відповідь до прикладу 1 часто записують у вигляді

Але такий запис не є обов’язковим.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння

Розв'язання

Відповідь:

Коментар

Оскільки

то можна скористатися формулою, наведеною в п. 2 табл. 25,щоб знайти значення виразу 2х -, який стоїть під знаком косинуса. Після цього з одержаного лінійного рівняння знаходимо х.

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Які рівняння називають найпростішими тригонометричними?

2. Запишіть формули розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь. У яких випадках не можна знайти корені найпростішого тригонометричного рівняння за цими формулами?

3*. Виведіть формули розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь.

4*. Обґрунтуйте формули розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь для окремих випадків (для sin x = а і cos x = aвипадки a = 0; 1; -1, для tg x = а і ctg x = а випадок a = 0).

ВПРАВИ

У завданнях 12.2.1-12.2.11 розв’яжіть рівняння.

12.2.1°.

12.2.2°.

12.2.3°.

12.2.4°.

12.2.5.

12.2.6.

12.2.7.

12.2.8°.

12.2.9.

12.2.10.

12.2.11.

У завданнях 12.2.12, 12.2.13 знайдіть корені рівняння на заданому проміжку.

12.2.12*.

12.2.13*.

12.2.14*. Розв’яжіть рівняння залежно від значення а.

12.3. Розв’язування тригонометричних рівнянь, які зводяться до найпростіших

Для розв’язування більш складних тригонометричних рівнянь їх зводять до найпростіших. У процесі такого зведення можна використовувати орієнтири, наведені в табл. 26.

Таблиця 26

2. Орієнтир для розв'язування тригонометричних рівнянь

1) Пробуємо звести всі тригонометричні функції до одного аргумента.

2) Якщо вдалося звести до одного аргументу, то пробуємо всі тригонометричні вирази звести до однієї функції.

3) Якщо до одного аргумента вдалося звести, а до однієї функції — ні, то пробуємо звести рівняння до однорідного (всі члени якого мають однаковий сумарний степінь), яке розв'язується діленням на найвищий степінь однієї зі змінних (або однієї з двох функцій).

4) В інших випадках переносимо всі члени рівняння в один бік і пробуємо одержати добуток, що дорівнює нулю, або використовуємо спеціальні прийоми розв'язування.

ПРИКЛАД РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад. Розв'яжіть рівняння cos 2x - 5sin x - 3 = 0.

Розв'язання

Використовуючи формулу косинуса подвійного аргумента та основну тригонометричну тотожність, одержуємо:

Заміна sin x = t дає рівняння

Тоді

Виконуємо обернену заміну:

1) При t = -2 маємо sin x = -2 — коренів немає, оскільки |2| > 1.

2) При t = - маємо sin x = - .

Тоді

Відповідь:

Коментар

Усі тригонометричні функції зводимо до одного аргумента х, використовуючи формулу

Потім усі тригонометричні вирази зводимо до однієї функції sin x(ураховуємо, що

В одержане рівняння змінна входить в одному і тому самому вигляді — sin x, отже, зручно виконати заміну sin x = t. Зазначимо, що для розв'язування заданого прикладу можна було також використати формулу cos 2а = 1 - 2sin2а, що дозволить за один крок звести всі тригонометричні вирази і до одного аргумента, і до однієї функції.

При бажанні відповідь можна записати у вигляді

Із прикладами розв'язування більш складних тригонометричних рівнянь можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Які способи використовують при розв’язуванні тригонометричних рівнянь? Наведіть приклади.

2. Яку заміну змінних можна виконати при розв’язуванні рівняння 8cos2x - 2 cos x - 1 = 0? Яке рівняння одержимо після заміни?

3. Поясніть, чому рівняння 3 sin2x – sin x cos x - 2 cos2x = 0 є однорідним. Як можна розв’язати це однорідне рівняння?

ВПРАВИ

У завданнях 12.3.1-12.3.6 розв’яжіть рівняння.

12.3.1

12.3.2.

12.3.3.

12.3.4.

12.3.5.

12.3.6.

Виявіть свою компетентність

12.3.7. Спробуйте запропонувати для однорідних рівнянь (вправа 12.3.5) інший спосіб розв’язування, який не буде пов’язаний із діленням на вираз зі змінною. Вказівка. Спробуйте розглянути ці рівняння як квадратні відносно sin x або cos x.




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити