Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 3 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

§ 13. Похідна функції.

§ 14. Правила обчислення похідних.

§ 15. Похідні елементарних функцій.

§ 16. Застосування похідної до дослідження проміжків зростання і спадання та екстремумів функцій.

§ 17. Загальна схема дослідження функції для побудови її графіка.

§ 18. Найбільше і найменше значення функції.

У цьому розділі ви:

■ ознайомитеся з поняттям похідної

■ дізнаєтеся про те, як можна знаходити похідні функцій

■ навчитеся досліджувати функції та будувати їх графіки

§ 13. ПОХІДНА ФУНКЦІЇ

Таблиця 27

Із поясненням понять границі й неперервності функцій і обґрунтуванням їхніх властивостей можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

Пояснення й обґрунтування

1. Поняття приросту аргумента і приросту функції

Часто нас цікавить не значення якоїсь величини, а її приріст. Наприклад, сила пружності пружини пропорційна до видовження пружини; робота — це зміна енергії тощо.

Приріст аргумента чи функції традиційно позначають великою літерою грецького алфавіту ∆ (дельта). Дамо означення приросту аргумента і приросту функції.

Нехай х — довільна точка, що лежить у деякому околі фіксованої точки х0 з області визначення функції f(х).

Означення. Різниця х - х0 називається приростом незалежної змінної (або приростом аргумента) у точці х0 і позначається ∆х (читають: «дельта ікс»):

із цієї рівності маємо

тобто початкове значення аргумента х0 набуло приросту ∆х. Зауважимо, що при ∆х > 0 значення х більше за х0, а при ∆х < 0 — менше від х0 (рис. 13.1).

Тоді, при переході аргумента від точки х0 до точки х, значення функції змінилося на величину ∆f = f(х) - f(х0).

Ураховуючи рівність (1), одержуємо, що функція змінилася на величину

(рис. 13.2), яку називають приростом функції f у точці х0, що відповідає приросту аргумента ∆х (символ ∆f читають: «дельта еф»).

Рис. 13.1

Рис. 13.2

Із рівності (2) маємо f(х0 + ∆х) = f(х0 ) + ∆f.

При фіксованому х0 приріст ∆f є функцією від приросту ∆х.

Якщо функція задана формулою у = f(х), то ∆f називають також приростом залежної змінної у і позначають через ∆у.

Наприклад, якщо у = f(х) = х2, то приріст ∆у, що відповідає приросту ∆х, дорівнює:

Запис неперервності функції через прирости аргумента і функції

Означення. Функція f(х) називається неперервною в точці х0, якщо при

Але якщо х → х0, то х - х0 → 0, тобто ∆х → 0 (і навпаки, якщо ∆х → 0, то х - х0 → 0, тобто х → х0), отже, умова х → х0 еквівалентна умові ∆х → 0. Аналогічно твердження f(х) → f(х0) еквівалентне умові f(х) - f(х0 ) 0, тобто ∆f → 0. Таким чином, функція f(х) буде неперервною в точці х0 тоді і тільки тоді, коли при ∆х → 0 ∆f → 0, тобто малій зміні аргумента в точці х0 відповідають малі зміни значень функції. Саме через цю властивість графіки неперервних функцій зображають неперервними (нерозривними) кривими на кожному з проміжків, що цілком входить до області визначення.

2. Задачі, які приводять до поняття похідної

1) Миттєва швидкість руху точки вздовж прямої

Розглянемо задачу, відому з курсу фізики, — рух точки вздовж прямої. Нехай координата х точки в момент часу t дорівнює х(t). Як і в курсі фізики, будемо вважати, що рух відбувається неперервно (як це ми спостерігаємо в реальному житті). Спробуємо за відомою залежністю х(t) визначити швидкість, з якою рухається точка в момент часу t0 (так звану миттєву швидкість). Розглянемо відрізок часу від t0 до t = t0 + ∆t (рис. 13.3). Визначимо середню швидкість на відрізку [t0; t0 + ∆t] як відношення пройденого шляху до тривалості руху:

Для того щоб визначити миттєву швидкість точки в момент часу t0, візьмемо відрізок часу завдовжки ∆t, обчислимо середню швидкість на цьому відрізку та почнемо зменшувати відрізок ∆t до нуля (тобто зменшувати відрізок [t0; t] і наближати t до t0). Ми помітимо, що значення середньої швидкості при наближенні ∆t до нуля буде наближатися до деякого числа, яке й уважають значенням швидкості в момент часу t0. Іншими словами, миттєвою швидкістю в момент часу t0 називають границю відношення , якщо ∆t → 0:

Рис. 13.3

Приклад застосування означення миттєвої швидкості для знаходження швидкості тіла під час вільного падіння розглянуто в інтернет-підтримці підручника.

2) Дотична до графіка функції

Наочне уявлення про дотичну до кривої можна отримати, виготовивши криву з цупкого матеріалу (наприклад, із дроту) і прикладаючи до кривої лінійку у вибраній точці (рис. 13.4). Якщо ми зобразимо криву на папері, а потім будемо вирізати фігуру, обмежену цією кривою, то ножиці теж будуть напрямлені по дотичній до кривої.

Спробуємо наочне уявлення про дотичну виразити точніше.

Нехай задано деяку криву і точку М на ній (рис. 13.5). Візьмемо на цій кривій іншу точку N і проведемо пряму через точки М і N. Таку пряму зазвичай називають січною. Почнемо наближати точку N до точки М.

Рис. 13.4

Рис. 13.5

Положення січної MN буде змінюватися, але при наближенні точки N до точки М почне стабілізуватися.

Означення. Дотичною до кривої в даній точці М називається граничне положення січної МN.

Для того щоб записати це означення за допомогою формул, будемо вважати, що крива — це графік функції у = f(х), а точка М на графіку задана координатами (х0; у0 ) = (0; f(х0)). Дотичною є деяка пряма, яка проходить через точку М (рис. 13.6). Щоб побудувати цю пряму, достатньо знати кут φ нахилу дотичної* до осі Ох.

Нехай точка N (через яку проходить січна МN) має абсцису х0 + ∆х. Якщо точка N, рухаючись по графіку функції у = f(х), наближається до точки М (це буде при ∆х → 0), то величина кута NMT наближається до величини кута φ нахилу дотичної МА до осі Ох. Оскільки

то при∆х → 0 значення tg NMT наближається до φ, тобто

Рис. 13.6

Фактично ми прийшли до задачі, яку розглядали при знаходженні миттєвої швидкості: тут потрібно знайти границю відношення виразу

виду (де у = f(х) — задана функція) при ∆х → 0. Одержане таким чином число називають похідною функції у = f(х) у точці х0.

3. Означення похідної

Означення. Похідною функції у = f(х) у точці х0 називається границя відношення приросту функції в точці х0 до приросту аргумента, коли приріст аргумента прямує до нуля.

* Будемо розглядати невертикальну дотичну ( 900).

Похідну функції У = f(х) у точці х0 позначають f'(х0) (або у'(х0)) і читають: «еф штрих у точці x0».

Коротко означення похідної функції у = f(х) можна записати так:

Ураховуючи означення приросту функції У = f(х) у точці х0, що відповідає приросту ∆x, означення похідної можна також записати:

Функцію f(х), що має похідну в точці x0, називають диференційовною в цій точці. Якщо функція f(х) має похідну в кожній точці деякого проміжку, то кажуть, що ця функція диференційовна на цьому проміжку. Операцію знаходження похідної називають диференціюванням.

Для знаходження похідної функції у = f(x) за означенням можна користуватися такою схемою:

1. Знайти приріст функції ∆у = f(0 +∆x) - f(х0), який відповідає приросту аргумента ∆x.

2. Знайти відношення .

3. З’ясувати, до якої границі прямує відношення при ∆x →0.

Це і буде похідна заданої функції.

4. Похідні деяких елементарних функцій

Користуючись запропонованою схемою знаходження похідної функції, легко обґрунтувати формули, наведені в п. 4 табл. 27.

1. Обчислимо похідну функції у = c (тобто f(х) = с), де c — стала.

1) Знайдемо приріст функції, який відповідає приросту аргумента ∆х:

2) Знайдемо відношення

3) Оскільки відношення постійне і дорівнює нулю, то і границя цього відношення при ∆х →0 теж дорівнює нулю. Отже, у' = 0, тобто с' = 0.

2. Обчислимо похідну функції у = х (тобто f(х) = x).

3) Оскільки відношення постійне і дорівнює 1, то і границя цього відношення при ∆х → 0 теж дорівнює одиниці. Отже, у' = 1, тобто х' = 1.

3. Обчислимо похідну функції y = х2 (тобто f(х) = х2).

3) При ∆х → 0 значення

Це означає, що у'(х0 ) = 2х0.

Тоді похідна функції y = х2 у довільній точці х дорівнює у'(х) = 2х. Отже,(х2)' = 2х.

Із обґрунтуванням формул

(x > 0) можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

5. Геометричний зміст похідної та рівняння дотичної до графіка функції у = f(х)

Ураховуючи означення похідної функції y = f(х), запишемо результати, одержані при розгляді дотичної до графіка функції (рис. 13.7). Як було обґрунтовано вище, тангенс кута φ нахилу дотичної в точці М з абсцисою х0 (рис. 13.7) обчислюють за формулою

З іншого боку,

Тоді

f'(х0) = tg φ.

Нагадаємо, що в рівнянні прямої У = kх + b кутовий коефіцієнт к дорівнює тангенсу кута φ нахилу прямої до осі Ох. Якщо к — кутовий коефіцієнт дотичної, то k = tg φ = f'(х0). Отже, значення похідної в точці х0 дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х0 і дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної (кут відлічують від додатного напрямку осі Ох проти годинникової стрілки).

Таким чином, якщо у = kх + b — рівняння дотичної до графіка функції у = f(х) у точці М з координатами (x0; f(х0) і k = f'(х0), то у = f'(х0)х + b. Оскільки дотична проходить через точку М (x0; f(х0)), то її координати задовольняють останнє рівняння, тобто f(х0) = f'(х00 + b. Звідси знаходимо b = f(х0) - f'(х00, і рівняння дотичної матиме вигляд

Його зручно записати у вигляді:

Це рівняння дотичної до графіка функції у = f(х) у точці з абсцисою х0.

Рис. 13.7

Кут φ, який утворює невертикальна дотична до графіка функції у = f(х) у точці з абсцисою х0 з додатним напрямком осі Ох, може бути нульовим, гострим або тупим. Ураховуючи геометричний зміст похідної, одержуємо, що у випадку, коли f'(х0 ) > 0 ( tgφ > 0 ,кут φ буде гострим, а у випадку, коли f'(х0 )< 0 (tg φ < 0 , кут φ буде тупим. Якщо f'(x0) = 0 (tg φ = 0 , то φ = 0 (тобто дотична паралельна осі Ох). І навпаки, якщо дотична до графіка функції у = f(х) у точці з абсцисою х0 утворює з додатним напрямком осі Ох гострий кут φ, то f'(х0 ) > 0, якщо тупий кут — то f'(х0 ) < 0, а якщо дотична паралельна осі Ох або збігається з нею (φ = 0), то f'(х0) = 0.

Якщо ж дотична утворює з віссю Ох прямий кут (φ = 90°), то функція f(х) похідної в точці х0 не має (tg 90° не існує).

6. Фізичний зміст похідної

Записуючи означення похідної в точці t0 для функції x(t):

і співставляючи одержаний результат із поняттям миттєвої швидкості прямолінійного руху:

можна зробити висновок, що похідна характеризує швидкість зміни функції при зміні аргумента.

Зокрема, похідна за часом є мірою швидкості зміни відповідної функції, що може застосовуватися до найрізноманітніших фізичних величин. Наприклад, миттєва швидкість и нерівномірного прямолінійного руху є похідною від функції, яка виражає залежність пройденого шляху s від часу t; а прискорення а — похідною від функції, яка виражає залежність швидкості від часу t.

Якщо s = s(t) — залежність пройденого шляху від часу, то = s'(t) — швидкість прямолінійного руху ( = (t) ; а = '(t) — прискорення прямолінійного руху.

7. Зв'язок між диференційовністю і неперервністю функції

Якщо функція у = f(х) диференційовна в точці х0, то в цій точці існує її похідна

тобто при ∆х → 0 значення

Для обґрунтування неперервності функції у = f(х) достатньо обґрунтувати, що при ∆х → 0 значення ∆у → 0.

Справді, при ∆х → 0 одержуємо:

А це й означає,що функція у = f(х) — неперервна. Отже, якщо функція f(х) диференційовна в точці х0, то вона неперервна в цій точці.

Із цього твердження випливає: якщо функція f(х) диференційовна на проміжку (тобто в кожній його точці), то вона неперервна на цьому проміжку (тобто в кожній його точці).

Зазначимо, що обернене твердження неправильне. Функція, яка неперервна на проміжку, може не мати похідної в деяких точках цього проміжку.

Наприклад, функція у = |х| (рис. 13.8) неперервна при всіх значеннях х, але не має похідної в точці х = 0. Дійсно, якщо х0 = 0 і у = f(х) = |х|, то

Тому при ∆х → 0 відношення не має границі, а отже, і функціяу = |х| не має похідної в точці 0.

Той факт, що неперервна функція f(х) не має похідної в точці х0, означає, що до графіка цієї функції в точці з абсцисою х0 не можна провести дотичної (або відповідна дотична перпендикулярна до осі Ох). Графік у цій точці може мати злом (рис. 13.8), а може мати значно складніший вигляд*.

Рис. 13.8

Рис. 13.9

Наприклад, до графіка неперервної функції у = || (рис. 13.9) у точці М з абсцисою х = 2 не можна провести дотичну (а отже, ця функція не має похідної в точці 2). Дійсно, за означенням дотична — це граничне положення січної. Якщо точка N наближатиметься до точки М по лівій частині графіка, то січна MN набуде граничного положення МА. Якщо ж точка К буде наближатися до точки М по правій частині графіка, то січна МК займе граничне положення МВ. Але це дві різні прямі, таким чином, у точці М дотичної до графіка даної функції не існує.

* У курсах математичного аналізу розглядають приклади функцій, які є неперервними, але в жодній точці не мають похідної.

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1. Знайдіть тангенс кута φ нахилу дотичної, проведеної до графіка функції у = f(х)у точці з абсцисою х0, до осі Ох, якщо:

Розв'язання

1) За геометричним змістом похідної tg φ = f'(x0). Ураховуючи, що

одержуємо:

Отже, tg φ = f'(1) = -1.

2) Оскільки

то

За геометричним змістом похідної tg φ = f(Х0).

Отже, tg φ = 0,1.

Коментар

За геометричним змістом похідної і f'(х0) = tg φ, де φ — кут нахилу дотичної, проведеної до графіка функції у = f(х) у точці з абсцисою х0, до осі Ох. Тому для знаходження tg φ достатньо знайти похідну функції f(х), а потім значення похідної в точці х0. Для знаходження похідних заданих функцій скористаємося формулами відповідних похідних, наведеними в п. 4 табл. 27 (та обґрунтованими в п. 4 цього параграфа).

У подальшому під час розв'язування задач ми будемо використовувати ці формули як табличні значення.

Приклад 2. Використовуючи формулу

запишіть рівняння дотичної до графіка функції у = у точці з абсцисою х0 = .

Розв'язання

Якщо

Тоді

Підставляючи ці значення в рівняння дотичної у = f(х0) + f'(х0)(х - x0), одержуємо

тобто у = -4х + 4 — шукане рівняння дотичної.

Коментар

Рівняння дотичної до графіка функції У = f(х) у точці з абсцисою х0 у загальному вигляді записують так:

Щоб записати це рівняння для заданої функції, потрібно знайти значення f(х0), похідну f'(х) і значення f'(х0). Для виконання обчислень зручно позначити задану функцію через f(х).

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Використовуючи графіки відомих функцій, поясніть поняття границі функції в точці.

2. Поясніть на прикладах і дайте означення приросту аргумента й приросту функції в точці х0.

3. Охарактеризуйте поняття неперервності функції в точці.

4. Поясніть, як можна обчислити миттєву швидкість матеріальної точки під час руху вздовж прямої.

5. Поясніть, яку пряму вважають дотичною до графіка функції.

6. Як обчислити тангенс кута нахилу січної, що проходить через дві точки графіка деякої функції, до осі Ох?

7. Поясніть, як можна визначити тангенс кута φ нахилу дотичної до осі Ох.

8. 1) Дайте означення похідної. Як позначають похідну функції f у точці х0?

2*) Опишіть схему знаходження похідної функції у = f(х).

9.1) Запишіть, чому дорівнює похідна функції:

а) с (де с — стала);

б) х;

в) х2;

г) у = ;

д) у = .

2*) Обґрунтуйте формули для знаходження похідних функцій, наведених у п. 1.

10. Що таке похідна з геометричної точки зору?

11. Що таке похідна з фізичної точки зору?

12. Запишіть рівняння дотичної до графіка функції у = f(х) у точці з абсцисою х0.

13. Поясніть зв’язок між диференційовністю і неперервністю функції.

ВПРАВИ

13.1°. Для функції у = 2х знайдіть приріст у, який відповідає приросту аргумента х у точці х0, якщо:

13.2. Знайдіть приріст у, який відповідає приросту аргумента х у точці х для функції:

13.3. Користуючись схемою обчислення похідної, наведеною в п. 3 цього параграфа, знайдіть похідну функції:

1) у = 3х;

2) у = -5х;

3*) у = х3;

4*) у = х2 - 2х.

13.4°. На рис. 13.10, а-г, зображено графік функції у = f(х) та дотичні до нього в точках з абсцисами х1 і х2. Користуючись геометричним змістом похідної, запишіть значення f'(х1) і f'(х2).

Рис. 13.10

13.5. Використовуючи формули, наведені в п. 4 табл. 27, та геометричний зміст похідної, запишіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = f(х) у точці з абсцисою х0, якщо:

13.6. Використовуючи формулу (х2)' = 2х, запишіть рівняння дотичної до графіка функції у = х2 у точці з абсцисою х0, якщо:

1) х0 = 1;

2) х0 = 0;

3) х0 = 0,5;

4) х0 = -3.

Зобразіть графік даної функції та відповідну дотичну.

13.7. Використовуючи фізичний зміст похідної, знайдіть швидкість тіла, яке рухається за законом s = s(t), у момент часу t, якщо:

13.8. На рис. 13.11 зображено графік функції у = f(х) на проміжку [-4; 7] . Використовуючи геометричний зміст похідної, укажіть на проміжку (-4; 7):

1) значення аргумента, у яких похідна f'(x) дорівнює нулю;

2) значення аргумента, у яких похідна f'(х) не існує.

Чи існує в кожній точці із знайденими абсцисами дотична до графіка функції у = f(х)?

Рис. 13.11






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.