Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 1 ФУНКЦІЇ, ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ

§ 1. Числові функції та їх властивості

§ 2. Застосування властивостей функцій до розв'язування рівнянь і нерівностей

§ 3. Корінь n-го степеня. Арифметичний корінь n-го степеня, його властивості

§ 4. Степінь з раціональним показником та його властивості

§ 5. Степенева функція, її властивості та графік

У цьому розділі ви:

дізнаєтеся про числові функції та їх властивості;

ознайомитеся з основними принципами розв'язування рівнянь і нерівностей;

навчитеся обчислювати й порівнювати значення виразів, які містять степені з раціональними показниками, корені;

навчитеся розпізнавати й схематично зображувати графіки степеневих функцій, моделювати реальні процеси за допомогою степеневих функцій.

§ 1. ЧИСЛОВІ ФУНКЦІЇ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

1.1. Числові множини

Таблиця 1

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

1. Числові множини

У табл. 1 розглянуто числові множини, відомі з курсу математики 5-9 класів. Детальніше з характеристикою цих множин можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

2. Модуль дійсного числа та його властивості

Означення. Модулем додатного числа називається саме це число; модулем від'ємного числа — число, йому протилежне; модуль нуля дорівнює нулю.

Це означення можна коротко записати декількома способами:

або

або

або

За потреби ми будемо користуватися будь-яким із цих записів означення модуля. Для того щоб знайти |а|, за означенням необхідно знати знак числа а і використати відповідну формулу.

Наприклад,

Геометричний зміст модуля

На координатній прямій модуль числа — це відстань від початку координат до точки, що зображує це число.

Рис. 1.1.1

Дійсно, якщо а > 0 (рис. 1.1.1), то відстань ОА = а = |а|. Якщо b< 0, то відстань ОВ = -b = |b|.

З обґрунтуванням інших властивостей модуля (табл. 1) можна ознайомитися, звернувшися до інтернет-підтримки підручника.

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1. Доведіть, що сума, різниця, добуток, натуральний степінь і частка (якщо дільник не дорівнює нулю) двох раціональних чисел завжди є раціональним числом.

Розв'язання

Нехай задано два раціональні числа

і

де m1 і m2 — цілі, а n1 і n2 — натуральні числа. Оскільки сума, різниця, добуток, натуральний степінь і частка двох звичайних дробів завжди є звичайним дробом, то одержаний результат завжди буде раціональним числом. Наприклад,

де m1n2 + n1m2 — ціле число, а n1n2 — натуральне.

Коментар

Будь-яке раціональне число можна записати як дріб , де m — ціле, n — натуральне числа.

Щоб обґрунтувати твердження задачі, достатньо довести, що сума, різниця, добуток і частка двох дробів виду — буде дробом такого самого виду.

Приклад 2. Доведіть, що для будь-якого натурального числа n число або натуральне, або ірраціональне.

Із розв'язанням можна ознайомитись, звернувшися до інтернет-підтримки підручника.

Наприклад, оскільки числа і > не є натуральними числами (1 < < 2, 3 << 4), то і — ірраціональні числа.

Приклад 3. Розв'яжіть рівняння |2х + 5| = 7.

Розв'язання

І спосіб:

2х + 5 = 7 або 2х + 5 =-7;

2х = 2 або 2х = -12;

Коментар

Задане рівняння має вигляд |t| = 7 (у даному випадку t = 2х + 5). Його зручно розв'язувати, використовуючи геометричний зміст модуля: х = 1 або х = -6.

Відповідь: 1; -6.

II спосіб: 2х - (-5) | = 7;

Рис. 1.1.2

2х = 2 або 2х = -12; х = 1 або х = -6.

Відповідь: 1; -6.

|2х + 5| — це відстань від точки 0 до точки2х + 5. Але відстань 7 може бути відкладена від 0 як праворуч (одержуємо число 7), так і ліворуч (одержуємо число -7). Отже, рівність |2х + 5| = 7 можлива тоді і тільки тоді, коли 2х + 5 = 7 або 2х + 5 = -7.

Виходячи з геометричного змісту модуля, |а - b| — відстань між точками а і b на координатній прямій. Запишемо задане рівняння у вигляді |2х - (-5)| = 7. Ця рівність означає, що відстань від точки 2х до точки -5 дорівнює 7. На відстані 7 від точки -5 розташовані точки 2 і -12 (рис. 1.1.2). Отже, задана рівність виконується тоді і тільки тоді, коли 2х = 2 або 2х = -12, тобто задане рівняння рівносильне сукупності цих рівнянь.

Приклад 4. Розв'яжіть нерівність Розв'язання

Рис. 1.1.3

Отже, -1 ≤ х ≤ 2 або 3 ≤ х ≤ 6.

Відповідь: [-1;2] ⋃ [3; 6].

Коментар

Задана нерівність має вигляд |t| ≤ 6 (у даному випадку t = х2 - 5х), і її можна розв'язувати, використовуючи геометричний зміст модуля. Виходячи з геометричного змісту модуля, |t| — це відстань від точки 0 до точки t. На відстані 6 від 0 розташовані числа 6 і -6. Тоді нерівність |t| < 6 задовольняють усі ті й тільки ті точки, які містяться у проміжку [-6; 6], тобто -6 ≤ t ≤ 6. Для розв'язування одержаної подвійної нерівності її зручно замінити відповідною системою нерівностей.

Детальніше із розв'язуванням рівнянь і нерівностей з модулями можна познайомитися, звернувшися до інтнрнет-підтримки підручника.

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Поясніть, які числа входять до множин цілих, раціональних і дійсних чисел. Наведіть приклади. Зобразіть відповідні точки на координатній прямій.

2. Поясніть, чим відрізняються записи раціонального та ірраціонального чисел у вигляді нескінченного десяткового дробу.

3. Дайте означення модуля дійсного числа.

4. Сформулюйте властивості модуля дійсного числа.

ВПРАВИ

1.1.1. Поясніть, чому задане дійсне число не може бути раціональним:

1.1.2*. Доведіть, що сума, різниця, добуток і частка раціонального та ірраціонального чисел завжди є числом ірраціональним (добуток і частка тільки у випадку, коли задане раціональне число не дорівнює нулю).

1.1.3*. Доведіть, що задане дійсне число є ірраціональним:

1.1.4. Користуючись геометричним змістом модуля, зобразіть на координатній прямій множину чисел, які задовольняють нерівність:

1.1.5. Розв’яжіть рівняння:

1.1.6. Розв’яжіть нерівність:

Виявіть свою компетентність

1.1.7. Які значення слова «модуль» вам відомі? Як, на вашу думку, вони пов’язані з математичним поняттям «модуль»? Знайдіть у мережі Інтернет інформацію з цієї теми, обговоріть її з друзями та подругами.

1.2. ЧИСЛОВІ ФУНКЦІЇ ТА ЇХ НАЙПРОСТІШІ ВЛАСТИВОСТІ

Таблиця 2

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

1. Поняття функції

Із поняттям функції ви ознайомилися в курсі алгебри. Нагадаємо, що залежність змінної у від змінної х називається функцією, якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у.

У курсі алгебри і початків аналізу ми будемо користуватися таким означенням числової функції.

Означення. Числовою функцією з областю визначення Dназивається залежність, при якій кожному числу х із множини Dставиться у відповідність єдине число у.

Функції позначають латинськими (іноді грецькими) буквами. Розглянемо довільну функцію f. Число у, яке відповідає числу х (на рисунку до п. 1 табл. 2 це показано стрілкою), називають значенням функції f у точці х і позначають f(x).

Область визначення функції f— це множина тих значень, яких може набувати аргумент х. Її позначають D(f).

Область значень функції f — це множина, яка складається з усіх чисел f(x), де х належить області визначення. Її позначають E(f).

Найчастіше функцію задають за допомогою формули. Якщо немає додаткових обмежень, то областю визначення функції, заданої формулою, вважають множину всіх значень змінної, при яких ця формула має зміст. Наприклад, якщо функція задана

формулою у = +1, то її область визначення х ≥ 0, тобто D (y) = [0; + ∞), а область значень у ≥ 1, тобто E(y) = [1; + ∞).

Іноді функція може задаватися різними формулами на різних множинах значень аргумента. Наприклад,

у = | х |=

Функцію можна задати не тільки за допомогою формули, а й за допомогою таблиці, графіка чи словесного опису.

Наприклад, на рис. 1.2.1 графічно задано функцію y = f(x) з областю визначення D(f) =[-1; 3] і множиною значень E(f) = [1; 4].

Рис. 1.2.1

Функція — від латин. function— виконання, здійснення.

Означення. Найбільшим (найменшим) значенням функції f(х) на множині М, на якій ця функція задана, називається значення функції f(х) у деякій точці х0 множини М, якщо ні в якій іншій точці множини функція не має більшого (меншого) значення.

Тобто для всіх х ∈ М виконується нерівність f(х) ≤ f(х0) (відповідно f(х) ≥ f(х0) для найменшого значення).

Іноді це записують так:

(відповідно

Наприклад, для функції y = f(х), графічно заданої на проміжку [-1; 3] на рис. 1.2.1, найменше значення дорівнює 1, а найбільше — 4.

Тобто

2. Графік функції

Нагадаємо означення графіка функції.

Означення. Графіком функції y = f(x) називається множина всіх точок координатної площини з координатами (х;f(х)), де перша координата х «пробігає» всю область визначення функції, а друга координата — це відповідне значення функції f у точці х.

На рисунках до п. 4 табл. 2 наведено графіки функцій у = х2 та y = , а на рис. 1.2.2 —графік функції у = |х|.

Наведемо також графік функції у = [х], де [х] — позначення цілої частини числа х, тобто найбільшого цілого числа, яке не перевищує х (рис. 1.2.3). Область визначення цієї функції D(у)=R — множина всіх дійсних чисел, а область значень E(y) = Z — множина всіх цілих чисел.

На рис. 1.2.4 наведено графік функції У = {х}, де {x} — позначення дробової частини числа х (за означенням {х} = х-[х]).

Рис. 1.2.2

Рис. 1.2.3

Рис. 1.2.4

Звертаючись до фізики, хімії, економіки, медицини, можемо знайти зразки графіків функцій. Наприклад:

• графік А відображує динаміку курсу долара — залежність вартості Rдолара у гривнях від часу t;

• фрагмент кардіограми Б — залежність різниці потенціалів Uна поверхні шкіри пацієнта від часу t;

• вольт-амперна характеристика В діода — залежність напруги від сили струму;

• залежність Г розчинності твердих речовин від температури.

Сьогодні для побудови графіків усе частіше використовують спеціальне програмне забезпечення. Графіки можна будувати за допомогою програм GeoGebra, Graph тощо.

Чи не найпростішим для користувачів є сервіс Google. За його допомогою можна будувати графіки функцій, заданих аналітично. У рядок пошуку треба ввести формулу, якою задано функцію, наприклад 1 + sqr(x)/2, і натиснути клавішу «Enter». (Формули записують певним чином, про це вам відомо з уроків інформатики.) У результаті отримаємо графік функції у = 1 + (див. рисунок).

3. Зростаючі та спадні функції

Важливими характеристиками функцій є їх зростання та спадання.

Означення. Функція fix) називається зростаючою на множині Р, якщо більшому значенню аргумента із цієї множини відповідає більше значення функції.

Тобто для будь-яких двох значень х1 і х2 із множини Р: якщо х2 > х1, то f(х2) > f(х1).

Наприклад, функція f(х) = 2х зростаюча (на всій області визначення, тобто на множині R), оскільки якщо х2 > х1, то 2х2 > 2х1, тобто f(х2) > f(х1).

Відповідні точки графіка зростаючої функції при збільшенні аргумента «піднімаються» (рис. 1.2.5).

На рис. 1.2.6 наведено графік зростаючої функції y = х3. Дійсно, при х2 > х1 маємо >, тобто f(х2) > f(х1).

Рис. 1.2.5

Рис. 1.2.6

Означення. Функція f(x) називається спадною на множині Р, якщо більшому значенню аргумента із цієї множини відповідає менше значення функції.

Тобто для будь-яких двох значень х1 і х2 із множини Р:якщо х2 > х1, то f(х2) < f(х1).

Наприклад, функція f(х) = -2х спадна (на всій області визначення, тобто на множині R), оскільки якщо х2 > х1, то -2Х2 < -2Х1, тобто f(х2) < f(х1). Відповідні точки графіка спадної функції при збільшенні аргумента «опускаються» (рис. 1.2.7).

Рис. 1.2.7

Розглядаючи графік функції у = х2 (рис. 2.1.8), бачимо, що на всій області визначення ця функція не є ні зростаючою, ні спадною. Але можна виділити проміжки області визначення, де ця функція зростає і де спадає. Так, на проміжку [0; +∞) функція у = х2 зростає, а на проміжку (-∞; 0] — спадає.

Зазначимо, що для зростаючих і спадних функцій виконуються властивості, обернені до тверджень, що містяться в означеннях.

Якщо функція зростає, то більшому значенню функції відповідає більше значення аргумента.

Якщо функція спадає, то більшому значенню функції відповідає менше значення аргумента.

Рис. 1.2.8

Доведення. Обґрунтуємо першу із цих властивостей методом від супротивного. Нехай функція fix) зростає і f(х2) > f(х1). Припустимо, що аргумент х2 не більший за аргумент х1, тобто х2 ≤ x1. Із цього припущення одержуємо: якщо х2 ≤ х1 і f(x) зростає, то f(х2) ≤ f(х1), що суперечить умові f(х2) > f(х1). Отже, наше припущення неправильне і, якщо f(х2) > f(х1), то х2 > х1, що і потрібно було довести.

Аналогічно можна обґрунтувати і другу властивість.

Наприклад, якщо х3 > 8, тобто х3 > 23, то, враховуючи зростання функції f(х) = х3, одержуємо х > 2.

4. Парні й непарні функції

Розглянемо функції, області визначення яких симетричні відносно початку координат, тобто разом із кожним числом х містять і число -х. Для таких функцій визначено поняття парності й непарності.

Означення Функція fназивається парною, якщо для будь-якого х з її області визначення f(-x) = f(x).

Наприклад, функція у = х2 (тобто функція f(х) = х2) — парна, оскількиf(-х) = (-х)2 = х2 =f(х).

Якщо функція f(х) парна, то до її графіка разом із кожною точкою М із координатами (х; y) = (х;f(х)) входить також і точка із координатами (-х; y) = (-х; f(-х)) = (-х; f(х)). Точки М і М1 розміщені симетрично відносно осі Оу (рис. 1.2.9), тому й графік парної функції розміщений симетрично відносно осі Оу.

Наприклад, графік парної функції у = х2 (див. рис. 1.2.8) симетричний відносно осі Оу.

Означення Функція f називається непарною, якщо для будь-якого х з її області визначення f(-x) = -f(x).

Наприклад, функція у = (тобто функція f(x) = ) — непарна, оскільки

Якщо функція f(x) непарна, то до її графіка разом із кожною точкою М із координатами (х; y) = (х; f(х)) входить також і точка із координатами (-х; y) = (-х; -f(х)). Точки М і М1 розміщені симетрично відносно початку координат (рис. 1.2.10), тому й графік непарної функції розміщений симетрично відносно початку координат.

Наприклад, графік непарної функції у = (див. п. 4 табл. 2) симетричний відносно початку координат, тобто відносно точки О.

Рис. 1.2.9

Рис. 1.2.10

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1. Знайдіть область визначення функції:

Розв'язання

1) Обмежень для знаходження значень виразу х2+ х немає, отже, D(у) = R.

2) Область визначення функціїy = задана обмеженням х + х ≠ 0, оскільки знаменник дробу не може дорівнювати нулю.

З’ясуємо, коли х2 + х = 0. Маємо: х(х + 1) = 0, якщо х = 0 або х = -1. Тоді область визначення можна задати обмеженнями х ≠ 0, Х ≠ -1 або записати так: D(у) = (-∞; -1) ⋃ (-1; 0) ⋃ (0; +∞).

3) Область визначення функції у = + 5 задана обмеженням х + 5 ≥ 0, тобто х ≥ -5, оскільки під знаком квадратного кореня повинен стояти невід’ємний вираз. Отже, D(y) = [-5; +∞).

Коментар

Оскільки всі функції задано формулами, то їхні області визначення — це множини всіх значень змінної х, при яких має зміст відповідна формула, тобто вираз, який стоїть у правій частині формули У = f(х).

У курсі алгебри зустрічалися тільки два обмеження, які необхідно враховувати під час знаходження області визначення:

1)якщо вираз записано у вигляді дробу , то знаменник В ≠ 0 ;

2) якщо запис виразу містить квадратний корінь , ТО підкореневий вираз А ≥ 0.

У всіх інших випадках, які вам доводилося розглядати, областю визначення виразу були всі дійсні числа.

Приклад 2*. Знайдіть область значень функції у = х2 - 3.

Розв'язання

Складаємо рівняння х2 - 3 = а. Воно рівносильне рівнянню х2 = а + 3, яке має розв’язки,якщо а + 3 ≥ 0, тобто при а ≥ - 3. Усі ці числа і складуть область значень функції.

Отже, область значень заданої функції Е(f) = [-3; +∞) (тобто y ≥ -3).

Коментар

Позначимо значення заданої функції F(х) (тобто х2 - 3) через а і з'ясуємо, для яких а можна знайти відповідне значення х (тобто таке значення х, при якому значення f(x) = а).

Надалі в курсі алгебри і початків аналізу 10 класу ми розглядатимемо нові вирази з обмеженнями: tg a, ctg a, arcsin а, arccos а, , аа, де а — неціле число.

Тоді всі числа а, для яких існує хоча б один корінь рівняння f(х) = а, увійдуть до області значень функції f(x). Множина всіх таких а і складе область значень функції f(x).

Корисно пам’ятати, що область значень функції у = f(x) збігається з множиною тих значень а, при яких рівняння f(x) — а має розв’язки.

Приклад 3*. Доведіть, що лінійна функція у = kх + b при k > 0 є зростаючою, а при k < 0 — спадною.

Розв'язання

Нехай х2 > х1, тоді х2 - х1 > 0. Розглянемо різницю

Оскільки х2 - х1 > 0, то при k > 0 маємо f(х2) - f(х1)> 0, отже, f(х2) > f(х1) функція зростає.

При k < 0 маємо f(х2) - f(х1) < 0, отже, f(х2) < f(х1) — функція спадає.

Коментар

Задана функція f(x) = kx + b буде зростаючою, якщо з нерівності х2 > х1 випливатиме нерівність f(х2) > f(х1), а для доведення останньої нерівності достатньо знайти знак різниці f(х2) - f(х1). Аналогічно обґрунтовують і спадання функції.

Обґрунтовуючи зростання або спадання функції, корисно пам’ятати, що для доведення нерівності f (х2) > f(х1) чи f(х2) < f(х1) достатньо знайти знак різниці f(х2) - f(х1).

Приклад 4*. Доведіть, що:

1)сума двох зростаючих на множині Р функцій завжди є зростаючою функцією на цій множині;

2)сума двох спадних на множині Р функцій завжди є спадною функцією на цій множині.

Розв'язання

1) Нехай функції f(x) і g(x) є зростаючими на одній і тій самій множині Р. Якщо х2 > х1, то f(х2) > f(х1) і g(x2) > g(x1).

Додаючи почленно останні нерівності, одержуємо f(х2) + g(х2) > f(х1) + g(х1).

Це й означає, що сума функцій f(x) і g(x) є зростаючою функцією на множині Р.

2) Нехай функції f(х) і g(x) є спадними на множині Р. Тоді з нерівності х2 > х1 маємо: f(x2) < f(x1) і g(x2) < g(x1). Після почленного додавання останніх нерівностей одержуємо: f(x2) + g(x2) < f(x1) + g(x1), а це й означає, що сума функцій f(x) і g(x) є спадною функцією на множині Р.

Коментар

Для доведення зростання суми двох зростаючих функцій f(x) і g(x) достатньо довести, що на множині Р з нерівності х2 > х1 випливає нерівністьf(x2) + g(x2) > f(x1) + g(x1).

Аналогічно для доведення того, що сума двох спадних функцій є спадною функцією, достатньо довести:якщо х2 > х1, тоf(х2) + g(х2) < f(х1) + g(х1).

Приклад 5. Доведіть, що зростаюча або спадна функція набуває кожного свого значення тільки в одній точці її області визначення.

Розв'язання

Нехай функція f(x) є зростаючою і f(х1) = f(х2).   (1)

Припустимо, що х1 ≠ х2.

Якщо х1 ≠ х2, то або х1 > х2 , або х1 < х2. Ураховуючи зростання функції f(x), у випадку х1 > х2 маємо f(х1) > f(х2), що суперечить рівності (1). У випадку х1 < х2 маємо f(х1) < f(х2), що також суперечить рівності (1).

Коментар

Доведемо це твердження методом від супротивного. Для цього достатньо припустити, що виконується протилежне твердження (функція може набувати одного й того самого значення принаймні у двох точках), і одержати суперечність.

Отже, наше припущення неправильне, і рівність f(x1) = f(x2) можлива тільки при x1 = x2.

Тобто зростаюча функція набуває кожного свого значення тільки в одній точці її області визначення.

Аналогічно доводиться твердження і для спадної функції.

Це означатиме, що наше припущення неправильне, а правильним є задане твердження.

Приклад 6. Дослідіть, чи є задана функція парною, непарною або ні парною, ні непарною:

Розв'язання

1) Область визначення функції у = : х ≠ -1, тобто вона не симетрична відносно точки О (точка х = 1 входить до області визначення, а х = -1 не входить — див. рис. 1.2.11).

Отже, задана функція не може бути ні парною, ні непарною.

2) Область визначення функції у = х4 : D(y) = R, тобто вона симетрична відносно точки О.

f(-х) = (-х)4 = f(х), отже, функція парна.

3) Область визначення функції у = х3 + х : D(y) = R,отже, вона симетрична відносно точки О.

f(-х) = (-х)3 + (-х) = -х3 - x = -(х3 + х) = -f(х), отже, функція непарна.

Рис. 1.2.11

Коментар

Для дослідження функції у = f(x) на парність чи непарність достатньо, по-перше, упевнитися, що область визначення цієї функції симетрична відносно точки О (разом із кожною точкою х містить і точку -х) і, по-друге, порівняти значення f(-х) і f(x).

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Сформулюйте означення числової функції. Наведіть приклади таких функцій.

2. На прикладах поясніть, що таке область визначення функції, область значень функції, найбільше та найменше значення функції на множині М. Які обмеження необхідно врахувати, щоб знайти область визначення функції у = ? Знайдіть її область визначення.

3. Що називається графіком функції у = f(х)? Наведіть приклади.

4. Яка функція називається зростаючою? Наведіть приклади.

5. Яка функція називається спадною? Наведіть приклади.

6. Яка функція називається парною? Наведіть приклади. Як розміщено графік парної функції на координатній площині? Наведіть приклади.

7. Яка функція називається непарною? Наведіть приклади. Як розміщено графік непарної функції на координатній площині? Наведіть приклади.

Вправи

1.2.1°. Знайдіть значення функції у вказаних точках:

1) f (х) = х + у точках 2; -1; 3; а (а ≠ 0);

2) g(х) = х2 -3 у точках 0; 1; -2; b;

3) ф(х) = у точках 0; 3; -1; m (m > 0).

1.2.2. Знайдіть область визначення функції, заданої формулою:

1.2.3. Знайдіть область значень функції, заданої формулою:

1.2.4°. Для функцій, які задано своїми графіками (рис. 1.2.12), укажіть область визначення, область значень, найбільше та найменше значення на всій області визначення, проміжки зростання і спадання та значення кожної функції при х = 1.

1.2.5. Обґрунтуйте, що задана функція є зростаючою (на її області визначення):

1) у = 3х;

2) у = х + 5;

3*) у = х3;

4*) у = .

1.2.6. Обґрунтуйте, що задана функція є спадною (на її області визначення):

1) у = -3х;

2) у = -х - 1;

3*) у = -х3;

4*) у = -х5.

1.2.7*. Доведіть, що функція у = х2 на проміжку [0; +∞) зростає, а на проміжку (-∞; 0] спадає.

1.2.8*. Користуючись твердженнями, доведеними у прикладі 4 до п. 1.2, визначте, чи є задана функція зростаючою або спадною:

1) у = х3 + х;

2) у = -х - х5;

3) у = х + .;

4) у = -х3 - х5.

Рис. 1.2.12

1.2.9*. Користуючись твердженнями, доведеними в прикладі 5 до п. 1.2:

1) обґрунтуйте, що рівняння х3 + х = 10 має єдиний корінь х = 2;

2) підберіть корінь рівняння + х = 6 і доведіть, що інших коренів це рівняння не має.

1.2.10. Обґрунтуйте, що задана функція є парною:

1.2.11. Обґрунтуйте, що задана функція є непарною:

Виявіть свою компетентність

1.2.12. Медичними працівниками встановлено, що дитина віком а років а < 18, для нормального розвитку повинна спати протягом t год на добу, де t визначається за формулою t = 16 - . Знайдіть t(16), t(15), t(14).

1.2.13. На рис. 1.2.13 зображено графіки зміни розумової працездатності учнів залежно від тривалості сну, наведені в підручнику для медичних закладів вищої освіти. Охарактеризуйте за кожним графіком, як змінюється кількість правильно розв’язаних завдань (у %) з 8 до 12 год однієї доби. Які висновки ви можете зробити?

Рис. 1.2.13

Відомості з історії

Термін «функція» вперше вжив видатний німецький філософ, математик, логік Ґотфрід Вільгельм Лейбніц у 1673 р. у листі до Християна Гюйгенса, відомого нідерландського фізика, механіка, математика, астронома.

1.3. Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень відомих графіків функцій

Таблиця 3

З обґрунтуванням геометричних перетворень графіків функцій, наведених у табл. 3, можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1. Побудуйте графік функції у = .

Розв'язання

Рис. 1.3.1

Коментар

Ми можемо побудувати графік функції у = f (х) = (рис. 1.3.1). Тоді графік функції

можна одержати паралельним перенесенням графіка функції у = f (х) уздовж осі Ох на -3 одиниці (тобто вліво).

Відповідний план перетворення графіка зручно записати так:

Приклад 2*. Побудуйте графік функції у = .

Розв'язання

Запишемо рівняння заданої функції так:

Послідовно будуємо графіки:

Рис. 1.3.2

Коментар

Складемо план послідовної побудови графіка заданої функції. (Для того щоб можна було скористатися перетвореннями графіків, наведеними в табл. 3, підкореневий вираз функції запишемо так:

y = .)

Ми можемо побудувати графік функції у = f(х) = (рис. 1.3.2, а).

Потім можна побудувати графік функції у = g(х) = = f(-х) (симетрія графіка функції f (х) відносно осі Оу) (рис. 1.3.2, б). Після цього можна побудувати графік функції у = φ(х ) = = g(х - 4) (паралельне перенесення графіка функціїg(х) уздовж осі Ох на 4 одиниці) (рис. 1.3.2, в).

Потім уже можна побудувати графік заданої функції у = = φ( |х|) = (праворуч від осі Оу відповідна частина графіка функції у = φ(х) залишається без зміни, і та сама частина відображується симетрично відносно осі Оу) (рис. 1.3.2, г).

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Поясніть, як можна з графіка функції у = f(х) одержати графік функції:

ВПРАВИ

У завданнях 1.3.1-1.3.7 побудуйте графіки функцій та рівнянь.

1.3.1.

1.3.2.

1.3.3.

1.3.4.

1.3.5.

1.3.6.

1.3.7.

1.3.8. Функція у = f(х) задана на проміжку [0; 14], її графік зображений на рис. 1.3.3. Побудуйте графік функції або рівняння:

Рис. 1.3.3

ВИЯВІТЬ СВОЮ КОМПЕТЕНТНІСТЬ

1.3.9. На рис. 1.3.4 зображено графіки зміни розумової працездатності учнів залежно від тривалості активного відпочинку на свіжому повітрі, наведені в підручнику для медичних закладів вищої освіти. Охарактеризуйте за кожним графіком, як змінюється кількість правильно розв’язаних завдань (у %) з 8 до 20 год однієї доби. Які висновки ви можете зробити?

1.3.10. На графіках (рис. 1.3.5) проілюстровано залежність світлового потоку різних типів ламп від їх потужності. Оцініть потужність світлодіодної лампи, необхідну для отримання такого самого світлового потоку, як від лампи розжарювання потужністю 100 Вт.

Знайдіть у мережі Інтернет вартість лампи розжарювання, вартість відповідної світлодіодної лампи і вартість 1 кВт·год електроенергії та підрахуйте, за який час окупиться заміна лампи розжарювання світлодіодною лампою, якщо вони працюватимуть по 6 год на день. Врахуйте, що лампа розжарювання розрахована на 1000 год роботи, а світлодіодна — на 20 000 год.

Рис. 1.3.4

Рис. 1.3.5

1.4. Обернена функція

Таблиця 4

3. Практичний спосіб знаходження формули функції, оберненої до функції у = f(х)

Алгоритм

1) З'ясувати, чи буде функція y = f(х) оборотною на всій області визначення: для цього достатньо з'ясувати, чи має рівняння у = f(х) єдиний корінь відносно змінної х.

Якщо ні, то виділити (якщо можливо) проміжок, де існує обернена функція (наприклад, це може бути проміжок, де функція у = f(х) зростає або спадає).

2) Із рівності y = f(х) виразити х через у.

3) В одержаній формулі ввести традиційні позначення — аргумент позначити через х, а функцію — через у.

Приклад

Знайдіть функцію, обернену до функції у = 2х + 4 .

Із рівності у = 2х + 4 можна однозначно

виразити х через у: х = у - 2.

Ця формула задає обернену функцію, але в ній аргумент позначено через у, а функцію — через х.

Позначимо в одержаній формулі аргумент через х, а функцію — через у.

Маємо функцію у = х - 2 , обернену до функції у = 2х + 4.

Більш детально зміст оберненої функції, обґрунтування її властивостей та приклади знаходження обернених функцій розглянуто в інтернет-підтримці підручника.

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. За якої умови для заданої функції у = f(х) можна побудувати обернену функцію?

2. Як розміщено графіки прямої і оберненої функцій, якщо їх побудовано в одній системі координат? Проілюструйте відповідну властивість графіків на прикладі.

3. Чи існує функція, обернена до функції у = х2 , де х ≤ 0 ? Поясніть це, спираючись на відповідні властивості оберненої функції. Якщо обернена функція існує, то задайте її формулою вигляду у = g(х).

ВПРАВИ

1.4.1. Запишіть формулу, яка задає функцію у = g(х), обернену до заданої. Укажіть область визначення й область значень функції g(х):

1.4.2. На одному рисунку побудуйте графік даної функції і функції, оберненої до даної:

1.4.3*. Знайдіть функцію, обернену до даної на заданому проміжку, і побудуйте на одному рисунку графіки даної функції і функції, оберненої до неї:

Виявіть свою компетентність

1.4.4. Вартість поїздки в таксі включає оплату подання автомобіля 25 грн та вартість пройденої відстані в розмірі 5 грн за кожний кілометр.

1) Складіть функцію, яка визначає вартість поїздки в таксі залежно від пройденої відстані.

2) Знайдіть вартість поїздки, якщо пасажир проїхав 30 км.

1.4.5. Складіть функцію, яка визначає залежність витрат на поїздку власним автомобілем від відстані подорожі, якщо ваш автомобіль споживає 7,5 л бензину на шляху 100 км. Скільки грошей вам знадобиться на купівлю бензину для автомобіля, щоб доїхати з Харкова до Києва? Дізнайтеся вартість квитка на потяг і порівняйте витрати на транспорт в обох випадках. За яких умов подорож автомобілем може бути економнішою?






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.