Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 3 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

§ 15. ПОХІДНІ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ

Таблиця 29

ПОЯСНЕННЯ й ОБҐРУНТУВАННЯ

Формули c' = 0 (c — стала), (x)' = 1, (xn)' = nxn-1.

було обґрунтовано в § 13 і 14.

Для обґрунтування формули (sin x)' = cos x використаємо те, що при малих значеннях а значення sin а ≈ а (наприклад, sin0,01 ≈ 0,010, sin 0,001 ≈ 0,001). Тоді при а → 0 відношення

тобто

Якщо y = f(x) = sin x, то, використовуючи формулу перетворення різниці синусів у добуток і схему знаходження похідної за означенням (§ 13, п. 3), маємо:

* Обґрунтування цієї формули наведено в матеріалі «Поняття й основні властивості границі функції та границі послідовності» (див. інтернет-підтримку підручника).

3) При

а враховуючи рівність (1),

При ∆х → 0 → 1 · cos х0 = cos х0, тобто f'(х0 ) = cos x0. Отже, похідна функції y = sin x у довільній точці х: (sin х)' = cos х.

Ураховуючи, що за формулами зведення

і використовуючи правило знаходження похідної складеної функції, одержуємо:

Отже, (cos х)' = -sin х.

Для знаходження похідних tg x і ctg x використаємо формули:

і правило знаходження похідної частки.

Отже,

Формулу

обґрунтуйте самостійно.

ПРИКЛАД РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад. Знайдіть похідну функції:

Розв'язання

Коментар

Послідовно визначаємо, від якого виразу слід узяти похідну (орієнтуючись на результат останньої дії).

У завданні 1 спочатку беруть похідну суми: (u + ) = u + '. Потім для кожного з доданків використовують похідну складеної функції: беруть похідну від u2 і і помножують на u'. Одержаний результат бажано спростити за формулою 2 sin x cos x = sin 2x.

У завданні 2 спочатку беруть похідну частки:

а для похідної знаменника використовують похідну складеної функції (похідну cos u помножують на u').

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Запишіть формули знаходження похідних від тригонометричних функцій.

2*. Обґрунтуйте формули знаходження похідних від тригонометричних функцій.

ВПРАВИ

У завданнях 15.1-15.7 знайдіть похідну функції.

15.1°.

15.2.

15.3.

15.4.

15.5*.

15.6.

15.7.

У завданнях 15.8, 15.9 обчисліть значення похідної функції f у зазначеній точці.

15.8.

15.9.

У завданнях 15.10, 15.11 знайдіть значення х, для яких похідна функції і дорівнює нулю.

15.10.

15.11.

15.12. Розв’яжіть нерівність f'(х) > 0, якщо:

5.13. Знайдіть значення х, при яких значення похідної функції f(х):

а) дорівнює нулю,

б) додатне,

в) від’ємне.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити