Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік
АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
Розділ 3 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ
§ 15. ПОХІДНІ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ
Таблиця 29
ПОЯСНЕННЯ й ОБҐРУНТУВАННЯ
Формули c' = 0 (c — стала), (x)' = 1, (xn)' = nxn-1.
було обґрунтовано в § 13 і 14.
Для обґрунтування формули (sin x)' = cos x використаємо те, що при малих значеннях а значення sin а ≈ а (наприклад, sin0,01 ≈ 0,010, sin 0,001 ≈ 0,001). Тоді при а → 0 відношення
тобто
Якщо y = f(x) = sin x, то, використовуючи формулу перетворення різниці синусів у добуток і схему знаходження похідної за означенням (§ 13, п. 3), маємо:
* Обґрунтування цієї формули наведено в матеріалі «Поняття й основні властивості границі функції та границі послідовності» (див. інтернет-підтримку підручника).
3) При
а враховуючи рівність (1),
При ∆х → 0 
→ 1 · cos х0 = cos х0, тобто f'(х0 ) = cos x0. Отже, похідна функції y = sin x у довільній точці х: (sin х)' = cos х.
Ураховуючи, що за формулами зведення
і використовуючи правило знаходження похідної складеної функції, одержуємо:
Отже, (cos х)' = -sin х.
Для знаходження похідних tg x і ctg x використаємо формули:
і правило знаходження похідної частки.
Отже,
Формулу
обґрунтуйте самостійно.
ПРИКЛАД РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ
Приклад. Знайдіть похідну функції:
Розв'язання
Коментар
Послідовно визначаємо, від якого виразу слід узяти похідну (орієнтуючись на результат останньої дії).
У завданні 1 спочатку беруть похідну суми: (u + 
) = u + '. Потім для кожного з доданків використовують похідну складеної функції: беруть похідну від u2 і 
і помножують на u'. Одержаний результат бажано спростити за формулою 2 sin x cos x = sin 2x.
У завданні 2 спочатку беруть похідну частки:
а для похідної знаменника використовують похідну складеної функції (похідну cos u помножують на u').
ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ
1. Запишіть формули знаходження похідних від тригонометричних функцій.
2*. Обґрунтуйте формули знаходження похідних від тригонометричних функцій.
ВПРАВИ
У завданнях 15.1-15.7 знайдіть похідну функції.
15.1°.
15.2.
15.3.
15.4.
15.5*.
15.6.
15.7.
У завданнях 15.8, 15.9 обчисліть значення похідної функції f у зазначеній точці.
15.8.
15.9.
У завданнях 15.10, 15.11 знайдіть значення х, для яких похідна функції і дорівнює нулю.
15.10.
15.11.
15.12. Розв’яжіть нерівність f'(х) > 0, якщо:
5.13. Знайдіть значення х, при яких значення похідної функції f(х):
а) дорівнює нулю,
б) додатне,
в) від’ємне.
