Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 3 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

§ 16. ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ДО ЗНАХОДЖЕННЯ ПРОМІЖКІВ ЗРОСТАННЯ І СПАДАННЯ ТА ЕКСТРЕМУМІВ ФУНКЦІЇ

Таблиця 30

* Внутрішні точки області визначення функції, у яких похідна дорівнює нулю, називають також стаціонарними точками.

* Мається на увазі перехід через точку х0 при русі зліва направо.

** Знаком «↗» позначено зростання функції, а знаком «↘» — її спадання на відповідному проміжку.

Як зазначається в прикладі 2 § 16, оскільки функція f(х) неперервна (наприклад, через те, що вона диференційовна на всій області визначення), то точки -1 і 1 можна включити до проміжків зростання і спадання функції.

Із поясненням і обґрунтуванням можливості застосування похідної до дослідження функції на зростання чи спадання й екстремуми та обґрунтуванням відповідних умов, зазначених у табл. 30, можна детально ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1. Функція у = f(х) означена на проміжку (-7; 8). На рис. 16.1 зображено графік її похідної.

1) Укажіть проміжки зростання та спадання функції f(х).

2) Знайдіть критичні точки функції. Визначте, які з них є точками максимуму, які — точками мінімуму, а які не є точками екстремуму.

Розв'язання

1) За графіком маємо, що f'(х) > 0 на проміжках (-4; 2) та (6; 8) отже, f(х) зростає на цих проміжках. Аналогічно f'(х) < 0 на проміжках (-7; -4) та (2; 6), отже, f(х) спадає на цих проміжках. Оскільки в точках -4, 2 і 6 існує похідна f'(х), то функція f(х) неперервна в цих точках, і тому їх можна включити до проміжків зростання та спадання функції.

Відповідь: f(х) зростає на проміжках [-4; 2] та [2; 8) і спадає на проміжках (-7; - 4] та [2; 6].

2) Похідна f'(х) існує на всій області визначення функції f(х) і дорівнює нулю в точках -4, 2 і 6. Це внутрішні точки області визначення, отже, критичними точками будуть тільки точки -4, 2 і 6.

Оскільки похідна існує на всій області визначення функції, то функція неперервна в кожній точці області визначення.

У точках -4 і 6 похідна змінює знак з «-» на «+», отже, це точки мінімуму.

У точці 2 похідна змінює знак з «+» на «-», отже, це точка максимуму.

Відповідь:

Рис. 16.1

Приклад 2. Для функції f(х ) = х + знайдіть проміжки монотонності, точки екстремуму та значення функції в точках екстремуму.

Розв'язання

1) Область визначення D(f): х ≠ 0, тобто (-∞; 0) (0; +∞).

2)

3) Похідна існує на всій області визначення функції f(х) .

f'(х) = 0. Тоді 1 -   = 0, отже, х2 = 25, тобто х = 5 та х = -5 — критичні точки.

4) Позначаємо критичні точки на області визначення функції f(х) і знаходимо знак f'(х) у кожному з одержаних проміжків (рис. 16.2).

Рис. 16.2

Одержуємо, що функція f(х) зростає на проміжках (-∞; -5] та [5; +∞) і спадає на проміжках [-5; 0) і (0; 5].

У точці -5 похідна змінює знак із плюса на мінус, отже, це точка максимуму; у точці 5 похідна змінює знак із мінуса на плюс, отже, це точка мінімуму:

Тоді

Коментар

Досліджувати функцію на монотонність та екстремум можна за схемою:

1) Знайти область визначення функції.

2) Знайти похідну f'(х).

3) Знайти критичні точки (тобто внутрішні точки області визначення, у яких f'(х) дорівнює нулю або не існує).

4) Позначити критичні точки на області визначення, знайти знак похідної і характер поведінки функції на кожному з інтервалів, на які розбивається область визначення.

5) Відносно кожної критичної точки визначити, чи вона є точкою максимуму або мінімуму, чи не є точкою екстремуму.

Функція неперервна в кожній точці області визначення (вона диференційовна в кожній точці області визначення) і тому, записуючи проміжки зростання і спадання функції, критичні точки можна включити до цих проміжків. Для з'ясування того, чи є критична точка точкою екстремуму, використовуємо достатні умови екстремуму.

Результати дослідження функції на монотонність і екстремуми зручно фіксувати не тільки у вигляді схеми, зображеної на рис. 16.2, а й у вигляді спеціальної таблиці:

х

(-∞; -5)

-5

(-5; 0)

(0; 5)

5

(5; +∞)

f'(х )

+

0

-

-

0

+

f(х)

-10

10

 

mах

 

mіn

 

Приклад 3*. Доведіть, що рівняння х3 - х2 + 5х - 14 = 0 має єдиний корінь, і знайдіть цей корінь.

Розв'язання

► Розглянемо функцію f(х) = х3 - х2 + 5х - 14. Її область визначення — всі дійсні числа.

Похідна: f'(х) = 3х2 - 2х + 5.

Квадратний тричлен 3х2 - 2х + 5 має від’ємний дискримінант і додатний коефіцієнт при старшому члені, тому завжди 3х2 - 2х + 5 > 0.

Але якщо f'(х) > 0 на всій області визначення, то функція f(х) є зростаючою на всій області визначення, і значення 0 вона може набувати тільки в одній точці. Отже, задане рівняння може мати тільки один корінь. Оскільки f(2) = 23 - 22 + 5 · 2 - 14 = 0, то х = 2 і є єдиним коренем заданого рівняння.

Коментар

Згадаємо, що зростаюча або спадна функція набуває кожного свого значення тільки в одній точці з її області визначення. Тому досить за допомогою похідної з'ясувати, що функція f(х) = х3 - х2 + 5х - 14 є зростаючою (або спадною). Тоді значення 0 вона може набути тільки в одній точці. Потім, знаючи, що рівняння має єдиний корінь, пробуємо підібрати цей корінь (як правило, замість х пробуємо підставити цілі значення 0; ± 1; ± 2; ...).

Оцінюючи знак похідної, корисно пам'ятати, що графік квадратичної функції з додатним коефіцієнтом при старшому члені і від'ємним дискримінантом повністю розміщений вище від осі Ох, тобто ця квадратична функція приймає тільки додатні значення.

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Дайте означення зростаючої та спадної на множині функції. Наведіть приклади таких функцій та їх графіків.

2. Сформулюйте достатні умови зростання та спадання функції. Наведіть приклади їх застосування.

3. Сформулюйте умову сталості функції на інтервалі.

4. Зобразіть графік функції, що має екстремуми. Дайте означення точок екстремуму функції та її екстремумів.

5. Які точки називають критичними?

6. Сформулюйте необхідну умову екстремуму функції.

7. Сформулюйте достатню умову існування екстремуму в точці.

8. За якою схемою можна досліджувати функцію на монотонність та екстремуми? Наведіть приклад такого дослідження.

ВПРАВИ

16.1°. На рис. 16.3 зображено графік функції у = f(х) (на рис. 16.3, а, функція задана на проміжку [-6; 6], а на рис. 16.3, б, — на проміжку [-7; 7]). Укажіть проміжки зростання та спадання функції f(х).

Рис. 16.3

16.2 °. Відомо, що похідна деякої функції у = f(х), заданої на множині всіх дійсних чисел, має такі знаки, як показано на рис. 16.4. Укажіть проміжки зростання та спадання функції f(х).

Рис. 16.4

16.3. Функція у = f(х) означена на проміжку (-6; 3). На рис. 16.5 зображено графік її похідної. Укажіть проміжки зростання та спадання функції f(х).

Рис. 16.5

16.4. Доведіть, що задана функція зростає на всій області визначення:

16.5. Доведіть, що задана функція спадає на всій області визначення:

У завданнях 16.6, 16.7 знайдіть проміжки зростання і спадання функції.

16.6.

16.7.

16.8*. Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція зростає на всій числовій прямій:

16.9*. Доведіть, що рівняння має єдиний корінь, і знайдіть цей корінь.

16.10°. За графіком функції у = f(х), зображеним на рис. 16.3, знайдіть точки максимуму і мінімуму функції f(х). Чи існує похідна в кожній із цих точок? Якщо існує, то чому дорівнює її значення?

16.11°. Відомо, що похідна деякої функції у = f(х), заданої на множині всіх дійсних чисел, має такі знаки, як показано на рис. 16.4, і f'(-5) = f(5) = 0. Укажіть критичні точки, точку максимуму і точку мінімуму цієї функції.

16.12°. Користуючись даними про похідну f'(х), наведеними в таблиці і враховуючи, що область визначення функції D(f) = R, укажіть:

1) проміжки зростання і спадання функції f(х);

2) точки максимуму і точки мінімуму функції f(х).

х

(-∞; -2)

-2

(-2; 1)

1

(1; 5)

5

(5; +∞)

f'(х )

+

0

-

0

+

0

+

16.13. Функція у = f(х) означена на проміжку (-6; 3). На рис. 16.5 зображено графік її похідної. Знайдіть критичні точки функції. Визначте, які з них є точками максимуму, які — точками мінімуму, а які не є точками екстремуму.

У завданнях 16.14, 16.15 дослідіть задані функції на екстремуми.

16.14°.

16.15.

16.16. Визначте проміжки монотонності, точки екстремуму функції та значення функції в точках екстремуму.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити