Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 3 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

§ 17. ЗАГАЛЬНА СХЕМА ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ДЛЯ ПОБУДОВИ ЇЇ ГРАФІКА

Таблиця 31

* Найчастіше періодичність доводиться встановлювати для тригонометричних функцій.

* У цьому випадку говорять, що х = 0 — вертикальна асимптота графіка функції f(х).

** У цьому випадку говорять, що у = х — похила асимптота графіка функції f(х).

ПОЯСНЕННЯ Й ОБГРУНТУВАННЯ

Для побудови графіка функції доцільно використовувати схему дослідження тих властивостей функції, які допомагають скласти певне уявлення про вигляд її графіка. Якщо таке уявлення складене, то можна будувати графік функції за знайденими характерними точками. Фактично ми будемо користуватися схемою дослідження функції, наведеною в § 9, та в табл. 31, тільки для дослідження функції на зростання та спадання й екстремуми використаємо похідну. Зазначимо, що ця схема є орієнтовною.

Перш за все потрібно з’ясувати і записати область визначення функції. Якщо немає спеціальних обмежень, то функцію вважають заданою при всіх значеннях аргумента, при яких існують усі вирази, що входять до запису функції (див. також другу сторінку форзацу).

Із особливостями виконання решти етапів дослідження функції та урахування їхніх результатів можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

ПРИКЛАД РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад. 1) Побудуйте графік функції f(х) = х4 - 8х2 - 9.

2*) Скільки коренів має рівняння х4 - 8х2 - 9 - а = 0 залежно від значення параметра а?

Коментар

Для того щоб розв'язати завдання 1, досліджуємо функцію f (х) за загальною схемою і за результатами дослідження будуємо її графік. Для знаходження точки перетину графіка з віссю Ох прирівнюємо функцію до нуля і розв'язуємо одержане біквадратне рівняння.

Під час розв'язування завдання 2 можна користуватися таким орієнтиром: якщо в завданні з параметрами йдеться про кількість розв'язків рівняння (нерівності або системи), то для аналізу заданої ситуації зручно використовувати графічну ілюстрацію розв'язування.

Для того щоб визначити, скільки коренів має рівняння f(х ) = а, достатньо знайти, скільки точок перетину має графік функції у = f(х) з прямою у = а при різних значеннях параметра а. (Для цього на відповідному рисунку доцільно зобразити всі характерні положення прямої.)

Розв'язання

1) Дослідимо функцію f(х) = х4 - 8х2 - 9.

1. Область визначення: D(f) = R.

2. Функція парна, оскільки для всіх значень х з її області визначення

f(-х) = (-х)4 - 8(-х)2 - 9 = х4 - 8х2 - 9 = f(х).

Отже, графік функції симетричний відносно осі Оу.

3. Точка перетину графіка з віссю Оу: х = 0, у = f(0) = -9.

Точки перетину графіка з віссю Ох: х4 - 8х2 - 9 = 0. Заміна х2 = t дає: t2 - 8t - 9 = 0; t1 = -1, t2 = 9. Тоді х = -1 (коренів немає) або х = 9. Звідси х = 3 та х = -3 — абсциси точок перетину графіка з віссю Ох.

4. Похідна і критичні точки. f'(х) = 4х3 - 16х. Похідна існує на всій області визначення функції f(х) (отже, функція неперервна на всій числовій прямій).

f'(х) = 0. Тоді 4х3 - 16х = 0, 4х(х2 - 4) = 0, 4х(х - 2)(х + 2) = 0, отже, х = 0, х = 2 та х = -2 — критичні точки.

5. Позначаємо критичні точки на області визначення функції f(х) і знаходимо знак f'(x) у кожному з одержаних проміжків (рис. 17.1). Складаємо таблицю, у якій позначаємо проміжки зростання і спадання та екстремуми функції:

Рис. 17.1

х

(∞; -2)

-2

(-2; 0)

0

(0; 2)

2

(2; +∞)

f'(х)

-

0

+

0

-

0

+

f(х)

-25

-9

-25

 

mіn

 

mах

 

mіn

 

6. Використовуючи результати дослідження, будуємо графік функції у = х4 - 8х2 - 9 (рис. 17.2, а).

Рис. 17.2

2) Відзначимо, що задане рівняння х4 - 8х2 - 9 - а = 0 рівносильне рівнянню х4 - 8х2 - 9 = а. Розв’яжемо останнє рівняння графічно. Для цього побудуємо графік функції у = х4 - 8х2 - 9 (див. завдання 1) та графік функції у = а (рис. 17.2, б).

Як бачимо, при а < -25 рівняння не має коренів (немає точок перетину графіків); при а = -25 та при а > -9 рівняння має два корені (графіки мають дві спільні точки); при а = -9 рівняння має три корені (графіки мають три спільні точки) і при -25 < а < -9 рівняння має чотири корені (графіки мають чотири спільні точки).

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. За якою схемою можна досліджувати властивості функції для побудови її графіка?

2*. Охарактеризуйте особливості виконання основних етапів дослідження функції та відображення результатів дослідження на графіку функції. Наведіть приклади.

ВПРАВИ

17.1°. Побудуйте схематичний графік функції, визначеної і неперервної на множині всіх дійсних чисел, користуючись її властивостями, наведеними в таблиці.

1)

x

(-∞; -2)

-2

(-2: 0)

0

(0; +∞)

f'(х)

+

0

-

0

+

f(х)

5

2

   

mах

 

mіn

 

2)

x

(-∞; -1)

-1

(-1; 0)

0

(0; 1)

1

(1; +∞)

f'(х)

-

0

+

0

-

0

+

f(х)

-3

1

-3

 

mіn

 

mах

 

mіn

 

У завданнях 17.2, 17.3 дослідіть функцію і побудуйте її графік.

17.2°.

17.3.

17.4. а) Дослідіть функцію f(х) і побудуйте її графік.

б) Знайдіть область значень функції f(х).

в*) Скільки коренів має рівняння f(х) = а залежно від значення параметра а?

17.5. Скільки коренів має рівняння:

17.6*. Дослідіть функцію і побудуйте її графік:

Виявіть свою компетентність

17.7. Перевірте правильність виконання завдання 17.6, побудувавши відповідні графіки за допомогою комп’ютерних програм.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.