Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 1 ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§ 1. Аксіоми стереометрії та найпростіші наслідки з них

§ 2. Методи розв'язування геометричних задач

§ 3. Найпростіші задачі на побудову перерізів многогранників

§ 4. Розміщення двох прямих у просторі: прямі, що перетинаються, паралельні прямі, мимобіжні прямі

§ 5. Паралельність прямої та площини

§ 6. Паралельність двох площин

§ 7. Паралельне проектування. Зображення плоских і просторових фігур у стереометрії

У цьому розділі ви:

■ дізнаєтеся про застосування в геометрії аксіоматичного методу — одного з методів побудови наукової теорії;

■ навчитеся розв'язувати задачі на побудову перерізів призми та піраміди;

■ ознайомитеся з паралельністю прямих і площин у просторі, поняттям і властивостями паралельного проектування;

■ навчитеся застосовувати властивості паралельності прямих і площин для розв'язування задач та будувати зображення просторових фігур на площині за допомогою паралельного проектування.

§ 1. АКСІОМИ СТЕРЕОМЕТРІЇ ТА НАЙПРОСТІШІ НАСЛІДКИ З НИХ

Таблиця 1

ПОЯСНЕННЯ Й ОБГРУНТУВАННЯ

1. Поняття про стереометрію

Курс геометрії включає планіметрію і стереометрію. На уроках геометрії в 7-9 класах ви вивчали в основному планіметрію, тобто геометрію на площині. Усі фігури, які розглядають у планіметрії, наприклад трикутник, паралелограм, коло, лежать в одній площині. Усі точки кожної з цих фігур належать площині. Тому такі фігури називають плоскими.

Цього року ми вивчатимемо геометрію в просторі — стереометрію.

Стереометрією називають розділ геометрії, що вивчає просторові фігури та їхні властивості. Просторові фігури можуть бути неплоскими (наприклад, куб чи сфера) або плоскими. Усю сукупність точок, які розглядають у стереометрії, називають простором. Фігурою (або фігурою в просторі) називатимемо довільну множину точок, розташованих у просторі.

Зокрема, це всі фігури, розміщені в будь-якій площині, у тому числі й сама ця площина. Отже, плоскі фігури також є просторовими фігурами. Тому основними властивостями плоских фігур, відомими з курсу планіметрії, ми користуватимемося і в стереометрії.

Проте в стереометрії найважливішими є просторові фігури, що не лежать цілком ні в одній площині, тобто неплоскі фігури.

Із деякими простими неплоскими фігурами ви зустрічалися в курсі математики початкової школи та 5 класу. До них відносять (рис. 1.1): куб (а); прямокутний паралелепіпед (б); призму (в); піраміду (г, д); конус (є); циліндр (ж); кулю (з).

Рис. 1.1

Деякі фігури в просторі ще називають тілами*. Наочно геометричне тіло можна уявити собі як частину простору, що займає фізичне тіло, обмежене деякою поверхнею. Наприклад, поверхня кулі — сфера — складається з усіх точок простору, віддалених від однієї точки — центра — на відстань, що дорівнює радіусу. Ця поверхня обмежує кулю, що складається з усіх точок простору, які віддалені від однієї точки — центра — на відстань, що не перевищує радіуса.

Куб, паралелепіпед, призма і піраміда є многогранниками. Строге означення многогранника дамо в 11 класі. Проте оскільки ми почнемо працювати з деякими видами многогранників у 10 класі, то запропонуємо означення, що спираються на наочно-інтуїтивні уявлення.

* Строге означення тіла та його поверхні буде дано в курсі геометрії 11 класу.

Многогранником називатимемо обмежене тіло, поверхня якого складається зі скінченного числа плоских многокутників.

Планіметрія — від латин. planum — площина. Стереометрія — від грецьк. стереос — просторовий.

Кожний із цих многокутників називають гранню многогранника, сторони многокутників — ребрами многогранника (рис. 1.2).

Вершинами многогранника називають вершини його граней. Відрізок, що сполучає вершини многогранника, які не належать одній грані, називають діагоналлю многогранника.

Зображаючи многогранники, невидимі ребра (які закриті передніми гранями) виконують штриховими лініями (див. рис. 1.1, 1.2). Як буде показано далі, під час креслення многогранників слід зберігати паралельність відповідних ребер, тому, наприклад, на зображенні куба чи прямокутного паралелепіпеда всі грані є паралелограмами (див. рис. 1.1, а і б).

Нагадаємо, що всі грані куба — квадрати, а всі грані прямокутного паралелепіпеда — прямокутники.

Рис. 1.2

Многогранник, дві грані якого — рівні n-кутники, а всі інші n граней — паралелограми, називають n-кутною призмою.

Рівні n-кутники називають основами призми, а паралелограми — бічними гранями. Куб і прямокутний паралелепіпед є окремими випадками чотирикутної призми.

Пірамідою називають многогранник, одна з граней якого — плоский многокутник, а решта граней — трикутники, що мають спільну вершину (див. рис. 1.1, г, д, 1.2 (нижній)).

Трикутні грані називають січними гранями піраміди, спільну вершину бічних граней — вершиною піраміди, а многокутник — основою піраміди. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами її основи, називають бічними ребрами піраміди. Піраміду називають n-кутною, якщо її основою є n-кутник. Піраміду називають правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а всі бічні ребра рівні. Наприклад, якщо в піраміді SABCDEF (рис. 1.3) ABCDEF — правильний шестикутник і SА = SB = SC = SD = SE = SF, то це правильна шестикутна піраміда.

Трикутну піраміду іноді називають тетраедром (див. рис. 1.1, г). Тетраедр, усі грані якого — правильні трикутники, називають правильним.

Рис. 1.3

2. Аксіоматична побудова геометрії

Курс планіметрії, який ви вивчали в 7-9 класах, і запропонований курс стереометрії значною мірою спираються на певні наочні уявлення про геометричні фігури. Разом із тим геометрія як наукова теорія про властивості фігур, розташованих у просторі, може бути побудована логічним (дедуктивним) методом на основі системи аксіом.

Пояснимо суть аксіоматичного методу побудови геометрії. Вводять основні (неозначувані) поняття — фігури і формулюють основні положення (аксіоми), у яких виражені основні співвідношення між основними поняттями*. Далі, використовуючи основні поняття і основні співвідношення між ними, визначають нові поняття — фігури, формулюють і доводять нові твердження — теореми про властивості введених понять. При цьому доводять теореми строго логічним шляхом, спираючись на аксіоми і раніше доведені теореми. Таким чином одержують геометричну систему тверджень, пов’язаних низкою логічних залежностей.

Зазначимо, що практично кожну теорему можна сформулювати у вигляді умовного твердження «Якщо А, то В», де літерою А позначено умову теореми, а В — її висновок. Наприклад, якщо в прямокутному трикутнику позначити довжину гіпотенузи через с, а довжини катетів — через а і b, то теорему Піфагора можна сформулювати так: «Якщо трикутник АВС прямокутний із прямим кутом С, то с2 = а2 + b2 .

Основні аксіоми, означення та властивості фігур на площині, які ви вивчали в курсі геометрії 7-9 класів, наведено в інтернет-підтримці підручника.

* Зауважимо, що, крім суто геометричних, у планіметрії та стереометрії використовують деякі основні (неозначувані) поняття, спільні й для інших розділів математики, наприклад поняття «множина».

Відомості з історії

Ідею дедуктивного методу побудови геометрії висунув ще давньогрецький філософ Платон (422-347 рр. до н. е.), учень Сократа (469-399 рр. до н. е.). Проте дійсним засновником наукової теорії логічного виведення вважають учня Платона, давньогрецького мислителя Аристотеля (384-322 рр. до н. е.).

Стосовно геометрії ідеї Аристотеля реалізував давньогрецький математик Евклід (Ш ст. до н. є.) у своєму трактаті з геометрії «Начала».

Протягом 2000 років це творіння Евкліда було єдиним керівництвом, за яким навчали геометрії; від нього йшли й усі задуми подальшого досконалішого обґрунтування геометрії. Слід зазначити, що система сформульованих Евклідом аксіом (постулатів) потребувала вдосконалення, оскільки була неповною, а тому доведення нерідко «грішили» зверненням до наочності.

Кропітка праця багатьох поколінь математиків світу дозволила створити науковий аксіоматичний метод побудови геометрії. Велика роль у цьому належить відомим німецьким математикам Феліксу Клейну (1849-1925) і Давиду Гільберту (1862-1943). У 1899 р. з’явилося видання «Основ геометрії» Гільберта, де він сконструював аксіоматику таким чином, що логічна структура геометрії стала абсолютно прозорою.

Евклід

Аристотель

Фелікс Клейн

Давид Гільберт

Умовою А цієї теореми є «трикутник АВС прямокутний із прямим кутом С», а висновком В — « с2 = а2 + b2 » (квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів).

Якщо поміняти місцями умову і висновок теореми, тобто розглянути твердження «Якщо В, то А», і це твердження буде правильним, то отримаємо так звану теорему, обернену до даної. Наприклад, для теореми Піфагора обернене твердження: «Якщо в трикутнику АВС зі сторонами а, b, с виконується рівність с2 = а2 + b2, то цей трикутник прямокутний із прямим кутом С» теж правильне. Тому останнє твердження є формулюванням теореми, оберненої до теореми Піфагора.

Нагадаємо, що не кожна теорема має обернену. Наприклад, розглянемо теорему про суміжні кути: «Якщо два кути суміжні, то їх сума дорівнює 180°». Умова А — «два кути суміжні», висновок В — «їх сума дорівнює 180°». Сформулюємо обернене твердження («Якщо В, то А»): «Якщо сума двох кутів дорівнює 180°, то ці кути суміжні». Це твердження неправильне, тому що, наприклад, сума двох вертикальних прямих кутів дорівнює 180°, але ці кути не є суміжними. Отже, для теореми про суміжні кути не існує оберненої теореми.

3. Основні поняття стереометрії

Основними фігурами в просторі є точка, пряма і площина.

Як і в курсі планіметрії, точки в просторі будемо позначати великими латинськими буквами А, В, С, D, …, а прямі — малими латинськими буквами — а, b, с, … або двома точками, що лежать на прямій. Площини позначатимемо малими грецькими буквами — а, β, у, …, а зображатимемо у вигляді паралелограмів або довільних замкнених областей (рис. 1.4). Ці способи зображення відповідають наочному уявленню про площину як про гладеньку поверхню стола, озера (рис. 1.5) тощо. При цьому площину уявляють необмеженою в усі боки, ідеально рівною і такою, що не має ніякої товщини.

Рис. 1.4

Озеро Синевир, яке називають «Морським Оком» Карпат, утворилося внаслідок землетрусу більш ніж 10 тис. років тому. Воно розташоване на висоті 989 м над рівнем моря, його площа близько 5 га, найбільша глибина 24 м. Озеро входить до складу Національного природного парку «Синевир», на території якого в 2011 р. було створено єдиний в Україні реабілітаційний центр для бурих ведмедів.

Рис. 1.5 Озеро Синевир у Карпатах

Рис. 1.6

Рис. 1.7

Рис. 1.8

Якщо A — точка площини а, то кажуть, що точка A лежить у площині а, а площина а проходить через точку A. Це можна записати так: A ∈ а . Якщо точка M не належить площині а, це записують так: M ∉ а (рис. 1.6).

Якщо кожна точка прямої a належить площині а, то кажуть, що пряма a лежить у площині а, а площина а проходить через пряму a (рис. 1.7). Це позначають так: a ⊂ а. Якщо пряма b не належить площині а, це позначають так: b ⊄ а.

Якщо пряма a і площина а мають тільки одну спільну точку A, то кажуть, що вони перетинаються в точці A, і записують так*: а а = A. На відповідному рисунку частину прямої, яка «закрита» зображенням площини, вважають невидимою і зображають штриховою лінією (рис. 1.8).

4. Аксіоми стереометрії

У стереометрії, як і в планіметрії, властивості геометричних фігур установлюють шляхом доведення відповідних теорем. Але на початку курсу, коли нам не відомо жодної властивості фігур у просторі, доводиться якісь властивості основних фігур приймати без доведення.

Як і в планіметрії, ті властивості основних геометричних фігур, які приймають без доведення, називають аксіомами. Нагадаємо, що основними фігурами в просторі є точка, пряма і площина. Аксіоми виражають інтуїтивно зрозумілі властивості площин та їх зв’язок з іншими основними фігурами — точками і прямими (рисунки до аксіом 1-3 див. у табл. 1).

Аксіома 1. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать їй.

Аксіома 2. Через будь-які три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

* У наведеному записі літерою А позначено геометричну фігуру — множину точок, яка складається з однієї точки.

Аксіома 3. Якщо дві різні точки прямої лежать у площині, то і вся пряма лежить у цій площині.

Аксіома 4. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку (рис. 1.9).

Аксіома 5. Відстань між будь-якими двома точками простору одна і та сама на всіх площинах, що містять ці точки.

Рис. 1.9

Зауважимо, що властивості площин і прямих, зафіксовані в аксіомах, часто використовуються у практичній діяльності.

На рис. а-б проілюстровано застосування аксіоми 2 (поясніть чому). Твердження аксіоми 3 використовують, коли хочуть перевірити, чи є дана поверхня плоскою. Для цього до поверхні в різних місцях прикладають рівну рейку (правило) та перевіряють, чи є зазор між рейкою та поверхнею (рис. в). Зміст аксіоми 4 можна проілюструвати за допомогою зігнутого аркуша паперу або вашого підручника (рис. г).

У курсі стереометрії ми будемо також вважати, що для будь-якої площини в просторі мають місце всі основні означення, теореми й аксіоми планіметрії*.

Докладно систематизацію фактів і методів планіметрії наведено в інтернет-підтримці підручника.

* Систему аксіом планіметрії О. В. Погорєлова розглянемо далі в цьому параграфі.

Зокрема, на кожній площині між двома вибраними точками існує певна відстань — довжина відрізка, що їх сполучає. Так, дві точки можуть належати одночасно різним площинам, але за аксіомою 5 відстань між цими точками на кожній із площин буде одна й та сама.

Після того як вибрано одиничний відрізок, довжину кожного відрізка можна виразити додатним числом. До цього числа приписують назву одиничного відрізка: 2 см, 1,5 км тощо. Якщо одиничний відрізок не має назви, а довжина відрізка АВ дорівнює, наприклад, 5 одиницям довжини, то пишемо: АВ = 5, що є скороченням запису АВ = 5 одиниць.

Аксіома про відстані дозволяє порівнювати фігури, розміщені на різних площинах, зокрема застосовувати до них теореми про рівність і подібність трикутників.

Користуючись поняттям відстані, можна означити рівність і подібність фігур (зокрема трикутників) у просторі абсолютно так само, як це було зроблено в планіметрії.

Означення 1. Дві фігури називаються рівними, якщо існує відповідність* між їхніми точками, при якій відстані між парами відповідних точок рівні**.

Означення 2. Дві фігури називаються подібними, якщо існує відповідність між їхніми точками, при якій відстані між відповідними точками змінюються в одне і те саме число разів.

Інакше кажучи, для двох довільних точок X і Y першої фігури і точок X' і Y' другої фігури, які їм відповідають, справедлива рівність

X'Y' = k · ХY.

Надалі аксіому 5 ми, як правило, будемо використовувати неявно, тобто не посилаючись на неї, на відміну від перших чотирьох аксіом.

5. Наслідки з аксіом стереометрії

Використовуючи аксіоми стереометрії, за допомогою логічних міркувань установлюють справедливість інших властивостей. Розглянемо деякі з них.

Теорема 1.1. Через пряму і точку, що не лежить на ній, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Доведення. Нехай точка А не лежить на прямій l. Виберемо на прямій l довільні точки В і С (рис. 1.10).

Рис. 1.10

* Нагадаємо, що при встановленні відповідності між двома фігурами кожній точці однієї фігури ставиться у відповідність єдина точка іншої фігур.

** Як і на площині, відповідність між двома фігурами, при якій зберігаються відстані між відповідними точками цих фігур, називають переміщенням, або рухом.

Через точки А, В, С, які не лежать на одній прямій l, за аксіомою 2 проходить єдина площина а. За аксіомою 3 пряма l лежить у площині а. Отже, площина а проходить через пряму l і точку А.

Покажемо, що ця площина єдина. Дійсно, будь-яка інша площина, що проходить через пряму l і точку А, проходитиме також через точки А, В, С. За аксіомою 2 вона повинна збігатися з площиною а.

Теорема 1.2. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Доведення. Нехай прямі а і b перетинаються в точці С (рис. 1.11). Виберемо на прямій а довільну точку А, а на прямій b — довільну точку В, відмінні від точки С. Через точки А, В, С, які не лежать на одній прямій, за аксіомою 2 проходить єдина площина а. За аксіомою 3 пряма а лежить у площині а і пряма b лежить у площині а. Отже, площина а проходить через прямі а і b.

Покажемо, що ця площина єдина. Дійсно, будь-яка інша площина, що проходить через прямі а і b, проходитиме також через точки А, В, С. За аксіомою 2 вона повинна збігатися з площиною а.

Рис. 1.11

Зауважимо, що оскільки три точки А, В, С, які не лежать на одній прямій, однозначно визначають деяку площину, то часто площину, що проходить через ці точки, позначають так: (АВС).

Вираз «площина АВС» записують також скорочено «пл. АВС». інколи, щоб підкреслити, що розглядувані чотири або більше точок лежать в одній площині, використовують скорочені записи «площина ABCD» або «пл. ABCD», які означають, що площина проходить через точки А, В, С, D.

Із аксіоми 2 і доведених теорем випливає, що площину можна задати:

1) трьома точками, які не лежать на одній прямій;

2) прямою і точкою, яка не лежить на ній;

3) двома прямими, які перетинаються.

Домовилися, що для будь-якої площини в просторі мають місце всі основні означення, теореми й аксіоми планіметрії.

Видатні математики України

О. В. Погорєлов (1919-2002)

Олексій Васильович Погорєлов (1919-2002) — видатний вітчизняний математик, учений зі світовим ім’ям, академік Національної академії наук України, заслужений діяч науки і техніки України.

Рідкісне поєднання математичного та інженерного талантів визначило коло наукових інтересів О. В. Погорєлова. Його праці належать до геометрії «в цілому», основ геометрії, теорії диференціальних рівнянь у часткових (частинних) похідних, теорії стійкості пружних оболонок, питань кріогенного електромашинобудування.

Погорєлов — автор підручників з усіх основних розділів геометрії для вищих навчальних закладів.

Ці підручники вирізняються оригінальністю викладу матеріалу та математичною строгістю. Багато й успішно Олексій Васильович працював також над питаннями вдосконалення шкільної математичної освіти. Створений ним підручник з геометрії спрямовано на розвиток логічного мислення та здібностей учнів. На будівлі Харківського національного університету ім. В. Н. Каразіна, де навчався і працював О. В. Погорєлов, установлено меморіальну дошку.

В інтернет-підтримці підручника наведено систематизацію фактів і методів планіметрії, сучасну систему аксіом евклідової геометрії, загальні вимоги до системи аксіом, а також пояснено можливість побудови неевклідової геометрії.

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Дано чотири точки, що не лежать в одній площині. Чи можуть три з них лежати на одній прямій?

Розв'язання

Нехай дано чотири точки А, В, С, D, які не лежать в одній площині. Припустимо, що три з даних точок, наприклад А, В, С, лежать на одній прямій а (а четверта точка D не лежить на цій прямій).

Тоді через три точки А, В, D, які не лежать на одній прямій, за аксіомою 2 можна провести площину а (рис. 1. 12). Але за аксіомою З, якщо дві різні точки А і В прямої а лежать у площині а, то і вся пряма лежить у цій площині, а отже, і точка С теж лежить у площині а. Таким чином, усі чотири точки лежать в одній площині а, що суперечить умові.

Отже, наше припущення неправильне, і якщо чотири точки не лежать в одній площині, то жодні три з них не лежать на одній прямій.

Рис. 1.12

Коментар

На запитання «Чи може виконуватися дане твердження?» можна дати відповідь:

«Так», і тоді достатньо навести хоча б один приклад, коли це твердження виконується;

«Ні», і тоді потрібно довести, що це твердження ніколи не виконується (найчастіше це доводять методом від супротивного).

Використовуючи метод від супротивного, потрібно:

1) зробити припущення, протилежне тому, що ми хочемо довести;

2) спираючись на аксіоми та вже доведені теореми, отримати суперечність з умовою або з відомою властивістю;

3) зробити висновок, що наше припущення неправильне, а правильне те, яке потрібно було довести.

Задача 2. Дано пряму і точку, що не лежить на ній. Доведіть, що всі прямі, які перетинають дану пряму і проходять через дану точку, лежать в одній площині.

Розв'язання

Нехай дано пряму а в просторі і точку В, яка не лежить на ній. Через пряму а і точку В проведемо площину а (за теоремою 1.1 ця площина єдина). Нехай довільна пряма B проходить через точку В і перетинає пряму а в точці А (рис. 1.13). Тоді точки А і В прямої B належать площині а, отже, за аксіомою 3 і вся пряма B лежить у площині а. Таким чином, усі розглядувані прямі лежать в одній площині а.

Коментар

Спочатку побудуємо площину, яка проходить через дані пряму і точку. Потім доведемо, що будь-яка пряма, яка перетинає дану пряму і проходить через дану точку, лежить у цій площині. Для коректного доведення слід також упевнитися, що побудована площина єдина.

Рис. 1.13

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Наведіть приклади просторових фігур, плоских фігур, неплоских фігур. Яке мінімальне число точок може містити неплоска фігура?

2. Назвіть основні поняття стереометрії. Сформулюйте аксіоми стереометрії та найпростіші наслідки з них.

3*. Дайте означення рівності та подібності фігур у просторі.

ВПРАВИ

1.1°. Поясніть, чому стіл, який має три ніжки, обов’язково стійкий, а про стіл із чотирма ніжками цього стверджувати не можна.

1.2°. (Жарт.) Три мухи одночасно злетіли з кришки стола. Чи можуть вони знову опинитися в одній площині?

1.3°. Чи можна провести площину через три точки, які лежать на одній прямій? Відповідь поясніть, спираючись на відповідні аксіоми чи наслідки з них.

1.4°. Скільки площин може проходити через три дані точки?

1.5. Доведіть, що площина і пряма, яка не лежить на ній, або не перетинаються, або перетинаються в одній точці.

1.6. Доведіть, що існує пряма, яка перетинає дану площину.

1.7. Точка М належить площині а, а точка N не належить їй. Чи належить площині а середина відрізка МN? Поясніть відповідь, спираючись на відповідні аксіоми чи наслідки з них.

1.8. Дайте відповідь на запитання, спираючись на відповідні аксіоми чи наслідки з них. Чи є правильним, що можна провести площину через будь-які:

1) дві точки;

2) три точки;

3) чотири точки?

1.9°. Скільки площин можна провести через одну пряму? Обґрунтуйте відповідь. Змоделюйтє результат за допомогою книги.

1.10°. Чи можуть дві площини мати:

1) тільки одну спільну точку;

2) тільки дві спільні точки?

1.11°. Чи можуть дві різні площини мати дві різні спільні прямі?

1.12. Як розташовані дві площини, якщо в кожній із них лежить один і той самий трикутник?

1.13. Доведіть, що існує площина, яка перетинає дану площину.

1.14. Точки А, В, С, D не лежать в одній площині. Доведіть, що прямі АС і BD не перетинаються.

1.15. Дано площину а і квадрат ABCD. Чи може площині а належати:

1) тільки одна вершина квадрата;

2) тільки дві його вершини;

3) тільки три вершини?

1.16*. Дві вершини трикутника належать площині а. Чи належить цій площині третя вершина, якщо відомо, що даній площині належить:

1) точка перетину медіан трикутника;

2) центр вписаного в трикутник кола?

1.17*. Чи кожна точка кола належить площині, якщо відомо, що цій площині належать:

1) дві точки кола;

2) три точки кола?

1.18*. Чи правильно, що через три прямі, які попарно перетинаються, проходить єдина площина?

1.19. Серед прямих і площин, що проходять через вершини куба ABCDA1B1C1D1 рис. 1.14), назвіть:

1) пари прямих, що перетинаються;

2) трійки прямих, які перетинаються в одній точці;

3) пари площин, що перетинаються;

4) трійки площин, які перетинаються в одній точці.

Рис. 1.14

Виявіть свою компетентність

1.20°. Як можна перевірити якість виготовлення лінійки, якщо є гарно оброблена плоска плита? На який теоретичний факт спирається ця перевірка?

1.21°. Столяр за допомогою двох ниток перевіряє, чи буде стійко стояти на полу виготовлений стіл, який має чотири ніжки. Як потрібно натягнути ці нитки?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити