Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 1 ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§ 2. МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ

Таблиця 2

2. Введення невідомих для розв'язування геометричних задач на обчислення

Орієнтир

Якщо в умові геометричної задачі на обчислення взагалі не дано відрізки або дані відрізки та кути не можна об'єднати в зручний для розв'язування задачі трикутник, то зазвичай вводять невідомий відрізок (або невідомий кут, або кілька невідомих).

ПОЯСНЕННЯ Й ОБГРУНТУВАННЯ

У курсі планіметрії 7-9 класів ви розглянули значну кількість геометричних задач та їх розв’язань різними методами. Дамо короткий огляд типів цих задач та методів їх розв’язування, оскільки вони застосовуються і в стереометрії. Так, розв’язування значної кількості стереометричних задач можна звести до розв’язування кількох планіметричних задач у різних площинах.

1. Геометричні методи

Приступаючи до розв’язування геометричної задачі, слід ураховувати, що майже кожна геометрична задача потребує індивідуального підходу, винахідливості та інтуїції. Проте можна дати деякі загальні рекомендації, які будуть корисними під час розв’язування багатьох задач.

Корисні поради щодо розв’язування геометричних задач

1. Розв'язування практично будь-якої геометричної задачі починають з рисунка. Він повинен бути досить лаконічним.

Слід зображати лише «функціонуючі» частини геометричних фігур. Так, наприклад, якщо в задачі розглядають радіус описаного кола, то часто можна не зображати коло (а зобразити тільки його центр і радіус). Але якщо в умові задачі йдеться про точку кола, то його зображення може бути корисним для розв’язання.

Необхідно уникати надмірного ускладнення рисунка. Для цього можна, наприклад, виконати виносні рисунки, що зображають фрагменти даної конфігурації. З іншого боку, корисно безпосередньо на рисунку вказувати числові чи буквені значення лінійних або кутових величин.

Зазначимо, що є такі задачі, у процесі розв’язування яких доводиться уточнювати особливості конфігурації, що розглядається, та переробляти початковий рисунок таким чином, що остаточного вигляду він набуває лише одночасно із закінченням розв’язування.

2. Розв'язуючи геометричну задачу, треба спиратися не лише на рисунок.

Рисунок може «підказати», що якісь точки лежать на одній прямій чи на одному колі. Проте в процесі розв’язування ці особливості розміщення точок повинні бути обґрунтовані без посилань на рисунок. Інколи рисунок може стати причиною неповного розв’язування задачі, оскільки ті співвідношення, які виконані на ньому і здаються очевидними, насправді потребують спеціального обґрунтування. Тому завжди намагайтеся зобразити всі можливі конфігурації, а потім за допомогою міркувань відкинути зайві (якщо ці зайві дійсно є). Нагадаємо, що додаткові побудови на початковому рисунку, якими вводять нові відрізки та кути, іноді полегшують розв’язування задачі.

3. У задачах на обчислення має сенс спочатку, не проводячи обчислень, визначити, які взагалі відрізки та кути можна знайти виходячи з даних величин.

Як тільки до цього переліку потрапить потрібний відрізок чи кут, можна легко скласти ланцюжок послідовних обчислень, що приведе до визначення шуканої величини. іноді такий «прямий пошук» корисно доповнити пошуком плану розв’язування задачі «від шуканого», тобто виходячи з вимоги задачі (наприклад, «щоб знайти площу вписаного круга, достатньо знайти його радіус»).

2. Аналітичні методи

Геометричні способи не завжди вдається застосувати. У таких випадках дуже часто допомагає алгебраїчний метод розв’язування геометричних задач на обчислення, пов’язаний із введенням невідомих та складанням рівняння або системи рівнянь.

У п. 2 табл. 2 наведено орієнтир, який дає змогу розпізнавати ситуації, коли потрібно вводити невідомі відрізки та кути, а також приклад відповідного розв’язання.

Використовуючи цей метод для складання рівняння до задачі, часто поряд із вираженням даних елементів через невідомі зручно величину якогось елемента з розглядуваної конфігурації виразити двічі через введені невідомі.

Крім того, не завжди, склавши рівняння чи систему рівнянь до геометричної задачі, доцільно прагнути повністю їх розв’язати. З одержаного рівняння чи системи, у першу чергу, слід знаходити ті невідомі (чи їх комбінацію), які дозволять дати відповідь на запитання задачі.

Зміст і приклади застосування методу площ і координатного та векторного методів для розв'язування геометричних задач дивіться в інтернет-підтримці підручника.

ПРИКЛАД РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

Задача. У рівнобічній трапеції висота дорівнює 8 см, основи — 21 см і 9 см. Знайдіть радіус описаного навколо трапеції кола.

Приступаючи до розв’язування геометричної задачі, доцільно виконати відповідний рисунок і навести короткий запис умови, який дозволить пов’язати рисунок і позначення точок на ньому з величинами і співвідношеннями, заданими в умові.

Дано:

ABCD — трапеція;

АD || BC; AB = СD;

АD = 21 см, BС = 9 см, BК = 8 см (BК АD).

Знайти: R — радіус описаного кола.

Розв'язання

Нехай у трапеції ABCD (рис. 2.1) АВ = CD, AD = 21 см, ВС = 9 см, ВК = 8 см (ВК АD). Якщо коло проходить через чотири точки А, В, С, D, то воно також проходить через будь-які три із цих точок і тому збігається з колом, описаним навколо трикутника АВD.

Знайдемо радіус кола, описаного навколо трикутника АВD. Якщо СМ — друга висота даної рівнобічної трапеції, то, ураховуючи рівність прямокутних трикутників АВК та DСМ

Рис. 2.1

і те, що АD || ВС і ВСМК — прямокутник, одержуємо:

Тоді з

із прямокутного трикутника ВКD:

Таким чином, радіус кола, описаного навколо трикутника АВD (а отже, і навколо трапеції АВСD, дорівнює:

Відповідь: 10,625 см.

Коментар

Спробуємо виділити «ключовий» трикутник для розв'язування задачі. Для цього проведемо діагональ BD трапеції і згадаємо, що коло, яке проходить через вершини трикутника АBD, є описаним навколо трикутника. Обчислити його радіус можна за кількома формулами (див. «Систему опорних фактів курсу планіметрії», табл. 11), зокрема:

Із цих формул вибираємо ту, для якої легко знайти всі величини, що входять до її запису:

(Одну сторону трикутника АВD дано за умовою, а дві інші легко визначити з відповідних прямокутних трикутників.)

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Які методи розв’язування геометричних задач ви знаєте?

2. У чому полягає метод «ключового» трикутника? Опишіть і наведіть приклади виконання додаткових побудов під час застосування цього методу.

3. У чому полягає метод від супротивного. Опишіть його зміст.

4. Які алгебраїчні методи розв’язування задач вам відомі?

5. У яких випадках для розв’язування геометричної задачі на обчислення зручно вводити невідомі? Поясніть це на прикладі.

ВПРАВИ

2.1°. У табл. 4 «Системи опорних фактів курсу планіметрії» символічно записано наслідки з теореми косинусів. Сформулюйте ці наслідки словесно.

Систему опорних фактів курсу планіметрії наведено в інтернет-підтримці підручника.

2.2°. Визначте вид (за кутами) трикутника зі сторонами 6 см, 8 см і 11 см.

2.3°. Дано два рівнобедрених трикутники зі спільною основою. Доведіть, що їхні медіани, проведені до основи, лежать на одній прямій.

2.4. У рівнобедреному трикутнику бічна сторона дорівнює 12, а кут, протилежний до основи, — 120°. Знайдіть висоти трикутника.

2.5°. У рівнобедреному трикутнику основа і висота, проведена до основи, дорівнюють 4 см. Знайдіть площу круга, описаного навколо цього трикутника.

2.6. У прямокутному трикутнику висота, проведена з вершини прямого кута, ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 9 і 16. Знайдіть радіус кола, вписаного в цей трикутник.

2.7. У трикутнику АВС зі сторонами 4 і 6 та кутом між ними 120° знайдіть довжину медіани, проведеної з вершини тупого кута.

2.8. У трикутнику АВС зі сторонами а і b медіани, проведені до цих сторін, взаємно перпендикулярні. Знайдіть довжину третьої сторони трикутника.

2.9°. Діагональ ромба завдовжки 10 см дорівнює його стороні. Знайдіть другу діагональ і кути ромба.

2.10. У паралелограмі ABCD проведено бісектрису кута А, яка перетинає сторону ВС в точці К. Знайдіть довжину відрізка ВК, якщо DC = 10 см.

2.11. У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 5 см і 12 см. Знайдіть катети трикутника.

2.12. У трапеції паралельні сторони дорівнюють 25 см і 4 см, а бічні сторони — 20 см і 13 см. Знайдіть площу трапеції.

2.13. Навколо кола описано рівнобічну трапецію, бічна сторона якої ділиться точкою дотику на відрізки завдовжки 4 см і 9 см. Знайдіть площу трапеції.

2.14. У рівнобічну трапецію з бічною стороною 17 см вписано коло, діаметр якого 15 см. Знайдіть основи трапеції.

2.15*. У трапеції, основи якої дорівнюють а і b, через точку перетину діагоналей проведена пряма, паралельна основам. Знайдіть довжину відрізка цієї прямої, який відтинають бічні сторони трапеції.

2.16. Три кола попарно дотикаються зовнішнім чином. Знайдіть радіуси кіл, якщо відстані між їх центрами дорівнюють 5 см, 7 см і 8 см.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.