Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 1 ФУНКЦІЇ, ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ

§ 2. ЗАСТОСУВАННЯ ВЛАСТИВОСТЕЙ ФУНКЦІЙ ДО РОЗВ'ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ

2.1. Рівняння і нерівності

Таблиця 5

8. Теореми про рівносильність нерівностей

1. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число (або на одну й ту саму функцію, що визначена і додатна на ОДЗ заданої нерівності), не змінюючи знак нерівності, одержимо нерівність, рівносильну заданій (на ОДЗ заданої)

2. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме від'ємне число (або на одну й ту саму функцію, що визначена і від'ємна на ОДЗ заданої нерівності) і змінити знак нерівності на протилежний, одержимо нерівність, рівносильну заданій (на ОДЗ заданої)

Детальна інформація про методи розв'язування рівнянь і нерівностей, зокрема про метод інтервалів, наведена в інтернет-підтримці підручника.

Розгляньте в інтернет-підтримці підручника розв'язування однієї й тієї самої дробово-раціональної нерівності двома способами: методом інтервалів і за допомогою рівносильних перетворень. Який із запропонованих способів, на вашу думку, доцільніше використовувати під час розв'язування заданої нерівності? Самостійно опрацюйте таблицю «Причини появи сторонніх коренів та втрати коренів під час розв'язування рівнянь» і навчальний матеріал, присвячений розв'язуванню рівнянь і нерівностей з модулями та рівнянь і нерівностей з параметрами, скориставшись інтернет-підтримкою підручника. Наведіть власні приклади розв'язування відповідних рівнянь і нерівностей.

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Поясніть зміст понять: «корінь рівняння», «розв’язок нерівності», «розв’язати рівняння чи нерівність», «область допустимих значень рівняння чи нерівності», «рівносильні рівняння чи нерівності».

2. Сформулюйте відомі вам теореми про рівносильність рівнянь та рівносильність нерівностей. Проілюструйте їх на прикладах.

3. Сформулюйте план розв’язування нерівностей методом інтервалів. Проілюструйте використання цього плану на прикладі.

4. Поясніть на прикладах, як можна виконувати рівносильні перетворення рівнянь та нерівностей у тих випадках, які не описуються відомими теоремами про рівносильність рівнянь та рівносильність нерівностей.

5. Дайте означення рівняння-наслідку заданого рівняння. Поясніть на прикладі, як можна розв’язувати рівняння за допомогою рівнянь-наслідків.

ВПРАВИ

2.1.1°. Знайдіть область допустимих значень (ОДЗ) рівняння:

2.1.2. З’ясуйте, чи є друге рівняння наслідком першого, чи є ці рівняння рівносильними. Відповідь обґрунтуйте.

2.1.3°. Обґрунтуйте рівносильність рівнянь:

2.1.4°. Обґрунтуйте, що задані рівняння не є рівносильними:

2.1.5°. Поясніть, які перетворення було використано при переході від першого рівняння до другого і чи можуть вони приводити до порушення рівносильності:

2.1.6. Розв’яжіть рівняння за допомогою рівнянь-наслідків і вкажіть, яке перетворення могло привести до порушення рівносильності:

Розв’яжіть нерівності 2.1.7, 2.1.8. двома способами: за допомогою рівносильних перетворень і методом інтервалів.

2.1.7°.

2.1.8°. Знайдіть область визначення функції:

Виявіть свою компетентність

2.1.9. Перебуваючи за кордоном, ви можете користуватися послугами одного з двох мобільних операторів. Перший пропонує сплачувати 10 грн за першу хвилину і 2 грн за кожну наступну хвилину розмов, а другий — 7 грн за першу хвилину і 3 грн за кожну наступну хвилину.

1) Складіть функції, які виражають вартість розмови залежно від її тривалості для кожного оператора.

2) Побудуйте в одній системі координат графіки обох функцій, вважаючи, що тривалість розмови не перевищує 6 хв. Який висновок можна зробити стосовно доцільності використання послуг кожного оператора?

2.1.10. За температури 0 °С металева рейка має довжину l0 = 25 м, а проміжок між сусідніми рейками дорівнює 12 мм. Унаслідок зростання температури відбувається теплове розширення рейки, при цьому її довжина змінюється за законом l(t) = l0 (1 + at), де а = 1,2 10-5 °С-1 — коефіцієнт теплового розширення, t — температура (у градусах Цельсія). За якої температури проміжок між рейками зникне? Відповідь виразіть у градусах Цельсія.

2.1.11. Розгляньте графік (рис. 2.1.1), що ілюструє виробництво електроенергії в Україні (млрд кВт·год).

1) Знайдіть область визначення функції, що зображена на графіку.

2) Яка кількість електроенергії вироблялася в Україні в 1995 р.?

3) У який ще рік вироблялося стільки ж електроенергії, як у 1995 р.?

4) Чи були роки, коли електроенергії вироблялося менше ніж 150 млрд кВт·год?

5) У які роки електроенергії вироблялося більше ніж 200 млрд кВт·год?

Рис. 2.1.1

2.2. Застосування властивостей функцій до розв’язування рівнянь

Таблиця 6

З обґрунтуванням способів застосування властивостей функцій до розв'язування рівнянь, наведених в табл. 6, та з додатковими прикладами їх застосування можна ознайомитися, звернувшися до інтернет-підтримки підручника.

ПРИКЛАД РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад. Розв'яжіть систему рівнянь

Розв'язання

ОДЗ:

Розглянемо функцію f(t) = + t3. На своїй області визначення t ≥ 0 ця функція є зростаючою (як сума двох зростаючих функцій). Тоді перше рівняння заданої системи, яке має вигляд f(х) = f(у), рівносильне рівнянню х = у. Отже, на ОДЗ задана система рівнянь рівносильна системі

Підставляючи х = у у друге рівняння системи, маємо 4у2 = 36; у2 = 9; у = ±3. Ураховуючи, що на ОДЗ у ≥ 0, одержуємо у = 3. Тоді х = у = 3.

Відповідь: (3; 3).

Коментар

Іноді властивості функцій удається використати під час розв'язування систем рівнянь. Якщо помітити, що в лівій і правій частинах першого рівняння заданої системи стоять значення однієї і тієї ж функції, яка є зростаючою (як сума двох зростаючих функцій), то рівність f(х) = f(у) для зростаючої функції можлива тоді й тільки тоді, коли х = у, оскільки однакових значень зростаюча функція може набувати тільки при одному значенні аргумента. (Зауважимо, що така сама властивість матиме місце і для спадної функції.)

Коротко твердження, яке було обґрунтовано в коментарі до прикладу 2, можна сформулювати так: якщо функція f(х) є зростаючою (або спадною) на певній множині, то на цій множині

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Поясніть на прикладах, як можна використати властивості функцій до розв’язування рівнянь.

ВПРАВИ

Розв’яжіть рівняння 2.2.1-2.2.4, використовуючи властивості відповідних функцій.

2.2.1°.

2.2.2°.

2.2.3.

2.2.4.

2.2.5*. Розв’яжіть систему рівнянь:





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити