Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 1 ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§ 5. ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМОЇ ТА ПЛОЩИНИ

Таблиця 5

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Згадаємо, як можуть розміщуватися пряма і площина одна відносно одної.

Пряма може лежати в площині, тобто всі точки прямої належать площині. Пряма може перетинати площину, тобто мати з площиною тільки одну спільну точку. Нарешті, пряма може не перетинати площину, тобто не мати з площиною жодної спільної точки (див. схему в табл. 5).

Означення. Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не мають жодної спільної точки.

Будемо вважати також, що відрізок паралельний площині, якщо він лежить на прямій, паралельній площині.

Наочне уявлення про пряму, паралельну площині, дає деяке спортивне знаряддя, наприклад гімнастична колода паралельна площині підлоги.

Наступна теорема пов’язує поняття паралельності прямої та площини з поняттям паралельності двох прямих і визначає достатню умову паралельності прямої та площини.

Теорема 5.1 (ознака паралельності прямої та площини). Якщо пряма, яка не лежить у площині, паралельна якій-небудь прямій цієї площини, то вона паралельна і самій площині.

Доведення. Нехай пряма b не лежить у площині а і паралельна прямій а, яка лежить у цій площині (рис. 5.1). Доведемо, що пряма b паралельна площині а. Припустимо протилежне, тобто що пряма b перетинає площину а в деякій точці М. Розглянемо площину β, яка проходить через паралельні прямі а і b (а || b за умовою). Точка М лежить як у площині а, так і в площині β, а тому належить лінії їх перетину — прямій а, тобто прямі а і b перетинаються, що суперечить умові. Отже, наше припущення неправильне і пряма b паралельна площині а.

Рис. 5.1

Наприклад, у прямокутному паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1 кожне бічне ребро паралельне площинам бічних граней, які не проходять через це ребро (рис. 5.2). Дійсно, бічними гранями прямокутного паралелепіпеда є прямокутники. Тому, наприклад, бічне ребро АА1 паралельне прямій DD1 бічної грані DD1C1C, а значить, за ознакою паралельності прямої і площини, ребро АА1 паралельне площині DD1C1C. Аналогічно ребро АА1 паралельне площині ВВ1С1С.

Рис. 5.2

Будемо казати, що ребро многогранника паралельне його грані, якщо воно лежить на прямій, паралельній площині цієї грані.

Наступна теорема є ще однією ознакою паралельності двох прямих у просторі.

Теорема 5.2 (ознака паралельності двох прямих у просторі). Якщо площина проходить через пряму, паралельну іншій площині, і перетинає цю площину, то пряма їх перетину паралельна даній прямій.

Доведення. Нехай площина β проходить через пряму b, паралельну площині а, і пряма а є лінією перетину цих площин (рис. 5.3). Доведемо, що прямі а і b паралельні.

Дійсно, вони лежать в одній площині β. Крім цього, пряма а лежить у площині а, а пряма b не перетинається із цією площиною. Отже, пряма b не може перетинатися з прямою а. Таким чином, прямі а і b лежать в одній площині і не перетинаються. Тому вони паралельні.

Зазначимо, що з доведення теореми 5.2 випливає така властивість: якщо пряма b паралельна площині а, то в цій площині завжди знайдеться пряма а, паралельна прямій b.

Рис. 5.3

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Чи є правильним твердження: «Пряма, паралельна площині, паралельна будь-якій прямій, що лежить у цій площині»?

Розв'язання

Твердження неправильне, оскільки, наприклад, у кубі ABCDA1B1C1D1 (рис. 5.4) пряма DС паралельна площині АА1В1В, але не паралельна прямій АА1, яка лежить у цій площині (прямі DС і АА1 мимобіжні).

Рис. 5.4

Коментар

Якщо якесь твердження не виконується, то, для того щоб його спростувати, достатньо навести хоча б один приклад, коли умова твердження виконується, а висновок — ні (так званий «контрприклад»).

Для такого прикладу можна використати відомі геометричні фігури, зокрема многогранники.

Задача 2. Дано трикутник АВС. Площина, паралельна прямій АВ, перетинає сторону АС цього трикутника в точці А1 а сторону ВС — у точці В1. Знайдіть довжину відрізка А1В1, якщо АВ = 10 см, АА1 : А1С = 2 : 3.

Розв'язання

Позначимо дану площину через а (рис. 5.5). Оскільки АВ || а і площина АВС перетинає а по А1В1, то А1В1 АВ. Тоді

Отже,

тобто

Таким чином, А1В1 = 6 (см).

Рис. 5.5

Коментар

Для того щоб скласти план розв'язування, спочатку необхідно врахувати твердження теореми 5.2: якщо площина проходить через пряму, паралельну іншій площині, і перетинає цю площину, то пряма їх перетину паралельна даній прямій. Далі слід обґрунтувати, що пряма А1В1 паралельна прямій АВ. Потім можна використати відомий із планіметрії опорний факт: пряма, паралельна стороні трикутника, відтинає трикутник, подібний даному.

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Назвіть усі випадки взаємного розміщення прямої і площини в просторі.

2. Дайте означення паралельних прямої і площини. Укажіть серед оточуючих предметів моделі площини та прямої, яка їй паралельна.

3. Сформулюйте ознаку паралельності прямої і площини.

4. Сформулюйте властивість паралельних прямої і площини.

ВПРАВИ

5.1°. У кубі ABCDA1B1C1D1 укажіть, обґрунтувавши відповідь, яким граням паралельне ребро:

1) АВ;

2) А1D1;

З) СС1.

5.2. Основа АВ трапеції ABCD лежить у площині а, яка не збігається з площиною трапеції. Як розташована решта сторін трапеції відносно площини а? Відповідь поясніть.

5.3. Дано паралелограм ABCD. Через сторону AD проведена площина а, яка не збігається з площиною паралелограма. Доведіть, що BC || а.

5.4. Чи є правильним твердження, що дві прямі, паралельні одній площині, паралельні одна одній?

5.5. Одна з двох паралельних прямих паралельна площині. Чи є правильним твердження, що й друга пряма паралельна цій площині?

5.6. Площина проходить через середини двох сторін трикутника і не збігається з площиною цього трикутника. Доведіть, що дана площина паралельна третій стороні трикутника.

5.7. Дано пряму, паралельну деякій площині. Доведіть, що в цій площині через будь-яку її точку можна провести пряму, паралельну даній прямій.

5.8. Доведіть, що через точку, яка не належить даній площині, можна провести пряму, паралельну цій площині. Скільки таких прямих можна провести?

5.9. Доведіть, що коли дві прямі паралельні, то через одну з них можна провести площину, паралельну другій прямій. Скільки існує таких площин?

5.10. Доведіть, що через кожну з двох мимобіжних прямих можна провести єдину площину, паралельну другій прямій.

5.11. Доведіть, що ребра однієї основи призми паралельні площині другої основи цієї призми.

5.12. Через дану точку проведіть пряму, паралельну кожній із двох даних площин, які перетинаються.

5.13. Дано трикутник BCD. Площина, паралельна прямій BC, перетинає сторону BD цього трикутника в точці В1, а сторону CD — у точці С1. Знайдіть довжину відрізка B1C1, якщо:

1) BC = 20 см, BB1 : BD = 2 : 5;

2) BC = 14 см, CC1 : C1D = 5 : 2;

3) B1D = 6 см, BC : BD = 2 : 3.

5.14. Доведіть, що переріз трикутної піраміди ABCD площиною, паралельною двом мимобіжним ребрам АС і BD, завжди є паралелограмом (рис. 5.6).

Рис. 5.6

5.15. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Доведіть, що пряма BD паралельна площині AB1D1.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.