Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 1 ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§ 6. ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ДВОХ ПЛОЩИН

Таблиця 6

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Розглянемо питання про взаємне розміщення двох площин. Як відомо, якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку. Звідси випливає, що дві площини або перетинаються по прямій, або не перетинаються, тобто не мають жодної спільної точки (див. схему в табл. 6).

Означення. Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Якщо площини а і β паралельні, то записують: а || β. Говорять також, що площина а паралельна площині β або площина β паралельна площині а.

Наочне уявлення про паралельні площини дають стеля та підлога кімнати; поверхня води, налитої в акваріум, і його дно.

Наступна теорема пов’язує поняття паралельності двох площин із поняттям паралельності прямих і визначає достатню умову паралельності площин.

Теорема 6.1 (ознака паралельності двох площин). Якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим другої площини, то ці площини паралельні.

Рис. 6.1

Доведення. Нехай прямі а1 і а2 площини а паралельні відповідно прямим b1 і b2 площини β. Доведемо, що площини а і β паралельні. Припустимо протилежне: площини а та β перетинаються і с — пряма їх перетину (рис. 6.1). За ознакою паралельності прямої і площини пряма а1 паралельна площині β, а за ознакою паралельності двох прямих у просторі вона паралельна прямій с. Аналогічно пряма а2 також паралельна прямій с. Таким чином, у площині а ми маємо дві різні прямі, які проходять через одну точку і паралельні одній прямій с, що неможливо. Одержана суперечність показує, що наше припущення неправильне, отже, площини а і β не перетинаються, тобто паралельні.

Будемо казати, що дві грані многогранника паралельні, якщо вони лежать у паралельних площинах.

Наприклад, основи призми паралельні. Дійсно, бічними гранями призми є паралелограми. Тому два суміжних ребра однієї основи призми паралельні відповідно двом суміжним ребрам другої її основи. Отже, основи призми паралельні. Так, на рис. 6.2 зображена п’ятикутна призма ABCDEA1B1C1D1E1, у якої основи ABCDE і А1В1С1D1Е1 паралельні.

Наступна теорема пов’язує поняття паралельності двох площин із поняттям паралельності двох прямих.

Рис. 6.2

Теорема 6.2 (властивість паралельних площин). Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні.

Доведення. Нехай площина γ перетинає паралельні площини а і β по прямих а і b відповідно (рис. 6.3). Доведемо, що прямі а і b паралельні. Дійсно, вони лежать в одній площині — площині γ. Крім того, вони лежать у площинах а і β, які не перетинаються, отже, і прямі а і b не перетинаються. Значить, вони паралельні.

Рис. 6.3

Розглядаючи означення і ознаку паралельності площин та властивість паралельних площин, ми припускали існування таких площин. Доведемо це.

Теорема 6.3. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

І з доведенням теореми можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

Розглянемо ще одну властивість паралельних площин, пов’язану з паралельними прямими.

Теорема 6.4. Відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами, рівні.

Доведення. Нехай а і β — паралельні площини, АВ і CD — паралельні прямі, що їх перетинають, А, С, В, D — точки перетину цих прямих із площинами а і β відповідно (рис. 6.4). Доведемо, що відрізки АВ і СD рівні.

Проведемо через дані паралельні прямі площину, яка перетне площини а і β по паралельних прямих АС і ВD. Тоді чотирикутник АСDВ — паралелограм, оскільки в нього протилежні сторони паралельні. У паралелограма протилежні сторони рівні, отже, АВ = СD.

Рис. 6.4

Поясніть, як можна застосувати зміст теореми 6.4. в будівництві, побуті.

Теорема 6.5. Якщо дві різні площини паралельні третій, то вони паралельні одна одній.

Доведення. Нехай площини а і β паралельні площині γ (див. рисунок у пункті «Властивості паралельних площин» табл. 6). Площини а і β не можуть перетинатися. Якби площини а і β мали спільну точку, то через цю точку проходили б дві площини (а і β), паралельні площині γ, а це суперечить теоремі 6.3. Отже, площини а і β не мають спільних точок, тобто паралельні.

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Доведіть, що в прямокутному паралелепіпеді протилежні грані попарно паралельні.

Розв'язання

Нехай дано прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1 (рис. 6.5). Доведемо, наприклад, паралельність граней АBB1А1 і DCC1D1. Оскільки всі грані прямокутного паралелепіпеда — прямокутники, то АBСD та ADD1А1 — прямокутники. Тоді АB || DC та АА1|| DD1 і за ознакою паралельності площини АBB1А1 і DCC1D1 паралельні.

Рис. 6.5

Коментар

Для того щоб довести паралельність граней паралелепіпеда, достатньо довести паралельність площин, у яких лежать ці грані. А для доведення паралельності площин достатньо використати ознаку їх паралельності, тобто довести, що дві прямі, які перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим другої площини. Нагадаємо, що всі грані прямокутного паралелепіпеда — прямокутники (а в прямокутнику протилежні сторони попарно паралельні).

Аналогічно обґрунтовують паралельність і інших протилежних граней.

Задача 2. Побудуйте переріз прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 площиною, яка проходить через точки К, М, N, де М ∈ АА1, N ∈ ВВ1 і точка К лежить у грані DCC1D1 (рис. 6.6, а).

Розв'язання

1) Точки М і N лежать і в січній площині, і в грані АВВ1А1, тому січна площина перетинає цю грань по відрізку MN (рис. 6.6, б).

2) Оскільки DCC1D1 у АВВ1А1, то січна площина перетинає грань DCC1D1 по прямій, яка проходить через точку К і паралельна прямій MN. Проводимо через точку К відрізок ТЕ || MN ( Т ∈ DD1, Е ∈ СС1).

3) Сполучаючи відрізками точки перетину січної площини з ребрами призми, одержуємо чотирикутник MNET — шуканий переріз.

Коментар

Для складання плану побудови достатньо згадати, що в прямокутному паралелепіпеді протилежні грані попарно паралельні, отже, АВВ1А1|| DCC1D1. Січна площина, яку задано трьома точками К, М, N. перетинає площину АВВ1А1 по прямій MN. Тому паралельну їй площину DCC1D1 вона перетинатиме по прямій, яка паралельна прямій MN і проходить через точку К.

Для того щоб виконати побудову, слід урахувати також, що пряма MN паралельна площині DCC1D1 і в цій площині через точку К можна провести пряму, паралельну даній прямій.

Із паралельності протилежних граней паралелепіпеда одержуємо, що в побудованому перерізі протилежні сторони попарно паралельні. Отже, чотирикутник MNET — паралелограм. Це іноді доводиться використовувати під час розв’язування задач, пов’язаних з аналогічним перерізом прямокутного паралелепіпеда.

Рис. 6.6

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Назвіть можливі випадки взаємного розміщення двох площин.

2. Дайте означення паралельних площин. Укажіть серед оточуючих предметів моделі паралельних площин.

3. Сформулюйте ознаку паралельності площин.

4. Сформулюйте властивості прямих і площин, пов’язані з паралельними площинами.

ВПРАВИ

6.1°. Укажіть паралельні грані:

1) паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1;

2) призми АВСА1В1С1.

6.2°. Чи є правильним твердження: «Якщо дві прямі, які лежать в одній площині, паралельні двом прямим, що лежать у другій площині, то ці площини паралельні»?

6.3°. Чи можуть бути паралельними дві площини, які проходять через непаралельні прямі? Продемонструйте результат на моделі.

6.4°. Чи можуть перетинатися площини, паралельні одній прямій?

6.5°. Через кожну з двох паралельних прямих проведено площину. Чи є правильним твердження, що ці площини паралельні?

6.6°. Чи можна стверджувати, що площина а завжди паралельна площині трапеції, якщо площина а паралельна:

1) основам трапеції;

2) бічним сторонам трапеції?

6.7. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Доведіть, що площина BDC1 паралельна площині АВ1D1.

Рис. 6.7

Рис. 6.8

Рис. 6.9

Рис. 6.10

6.8. Через дану точку проведіть площину, паралельну кожній із двох прямих, які перетинаються. Чи завжди це можливо?

6.9. Доведіть, що коли пряма перетинає одну з двох паралельних площин, то вона перетинає й другу.

6.10. Які можливі випадки взаємного розміщення трьох площин у просторі, якщо дві з них паралельні?

6.11. Нарисуйте в зошиті зображення піраміди, наведене на рис. 6.7, і побудуйте переріз піраміди площиною, яка проходить через точку М паралельно грані АВС.

6.12*. Нарисуйте в зошиті зображення куба, наведене на рис. 6.8, і побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через точки:

1) М, В, С;

2) М, В1, С.

6.13*. Нарисуйте в зошиті зображення трикутної призми, наведене на рис. 6.9 (точка К лежить у грані АВВ1А1), і побудуйте переріз призми площиною, яка проходить через точку К паралельно:

1) основі А1В1С1;

2) грані ВСС1В1.

6.14*. Три прямі, які проходять через точку S, перетинають дану площину а в точках А, В, С, а паралельну їй площину β — у точках А1, В1, С1. Доведіть подібність трикутників АВС і А1В1С1 (рис. 6.10).

6.15. На ребрах куба вказано точки M, P і R (рис. 6.11-6.12). Скориставшись властивостями паралельних прямих і площин, для кожного зображення побудуйте переріз куба площиною MRP.

Рис. 6.11

Рис. 6.12

Виявіть свою компетентність

6.16. Для того щоб перевірити горизонтальність установки лімба кутовимірювальних інструментів, користуються двома рівнями, розташованими в одній площині (рис. 6.13). Чому рівні розміщують на діаметрах?

Рис. 6.13



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити