Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 1 ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§ 7. ПАРАЛЕЛЬНЕ ПРОЕКТУВАННЯ. ЗОБРАЖЕННЯ ПЛОСКИХ І ПРОСТОРОВИХ ФІГУР У СТЕРЕОМЕТРІЇ

Таблиця 7

* Іноді буває зручно той факт, що точка А є проекцією точки А (тобто точка А проектується в точку А'), записувати так: А → А (знак «→» у наведеному записі означає: «проектується в»; див., наприклад, записи в табл. 7).

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

1. Поняття паралельного проектування та його властивості

Для зображення просторових фігур на площині, як правило, використовують паралельне проектування (див. табл. 7).

Якщо побудувати проекцію кожної точки фігури, то одержимо проекцію самої фігури. Паралельною проекцією реальної фігури є, наприклад, її тінь, що падає на плоску поверхню у разі сонячного освітлення, оскільки сонячні промені можна вважати паралельними (рис. 7.1).

Так, дивлячись на власну тінь на поверхні землі, ви бачите свою паралельну проекцію.

Рис. 7.1

Детальніше про паралельне проектування та його властивості, а також про паралельні проекції деяких плоских фігур і властивості зображень деяких многокутників у паралельній проекції можна дізнатися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

Обґрунтуємо властивість 4 паралельного проектування, наведену в табл. 7.

Властивість 4. Якщо плоска фігура F лежить у площині, паралельній площині проекцій, то її проекція F' на цю площину дорівнює фігурі F.

Доведення. Задамо відповідність між точками фігури F і точками фігури F', ставлячи кожній точці фігури F у відповідність її проекцію. Тож якщо A і B — точки фігури F, а точки A' і B — їх проекції, то ABB'A' — паралелограм (рис. 7.2). Отже, A'B' = AB. Таким чином, ця відповідність зберігає відстань між точками, а тому фігури F і F' рівні.

Рис. 7.2

З’ясуємо, яка фігура є паралельною проекцією кола.

Нехай фігура F — коло в просторі, а фігура F' — проекція цього кола на площину а в напрямі прямої а. Якщо пряма а паралельна площині кола або лежить у ній, то проекцією кола є відрізок, що дорівнює його діаметру.

Розглянемо випадок, коли пряма а перетинає площину кола.

Нехай АВ — діаметр кола, паралельний площині а, і А'В' — його проекція на цю площину (рис. 7.3). Тоді АВ = А'В'. Візьмемо будь-який інший діаметр CD, і нехай C'D' буде його проекцією. Позначимо відношення C'D' : CD через b. Оскільки під час виконання паралельного проектування зберігаються паралельність і відношення довжин паралельних відрізків, то для довільної хорди С1D1, паралельної діаметру CD, її проекція С1'D1' буде паралельною C'D' і відношення С'1D1' : С1D1 дорівнюватиме b (якщо CD : С1D1 = С'D' : С1'D1', то С'1D1' : С1D1 = С'D' : CD = k).

Таким чином, проекцію кола одержують стискуванням або розтягуванням його в напрямі будь-якого діаметра в одне й те саме число разів. Таку фігуру на площині називають еліпсом.

Наприклад, на рис. 7.4 зображено еліпс, одержаний стискуванням кола в напрямі діаметра CD у два рази.

Рис. 7.3

Рис. 7.4

2. Зображення деяких просторових фігур на площині

Як ми вже відзначали, для зображення просторових фігур зазвичай використовують паралельне проектування. Усі рисунки просторових фігур, розглянуті нами раніше, було виконано в паралельній проекції. Площина, на яку проектується фігура, називається площиною зображення, а проекція фігури — зображенням. Зображенням даної фігури називають також і будь-яку фігуру, подібну до проекції даної фігури.

Розглянемо приклади зображень просторових фігур — многогранників. Зображення многогранника складається із зображення його ребер, одержаних за допомогою паралельного проектування. При цьому всі ребра діляться на два типи: видимі й невидимі. (Уявіть собі, що паралельно напряму проектування йдуть промені світла. У результаті поверхня многогранника розіб’ється на дві частини: освітлену і неосвітлену. Видимими є ребра, які розміщені на освітленій частині.) Видимі ребра зображують суцільними лініями, а невидимі — штриховими.

Зображуючи куб, площину зображень зазвичай вибирають паралельною одній із його граней. У цьому випадку дві грані куба (передня і задня), паралельні площині зображень, зображують рівними квадратами, решту граней — паралелограмами (рис. 7.5). Аналогічним чином зображують прямокутний паралелепіпед (рис. 7.6).

Якщо не дотримуватися правила, що площина зображень має бути паралельною одній із граней, то в одержаному зображенні зберігатиметься тільки паралельність та рівність протилежних сторін квадрата чи прямокутника (тобто всі грані будуть паралелограмами). Тоді зображення куба чи прямокутного паралелепіпеда може мати вигляд, наведений на рис. 7.7. Але таке зображення недостатньо наочне і може утруднювати розв’язування задач, пов’язаних із цими тілами.

Рис. 7.5

Рис. 7.6

Рис. 7.7

Рис. 7.8

Тому ми не будемо користуватися ними (але ще раз підкреслимо, що такі зображення — правильні).

Для побудови зображення призми достатньо побудувати многокутник, що зображає її основу. Потім із вершин многокутника слід провести прямі, паралельні деякій фіксованій прямій, і відкласти на них рівні відрізки. Сполучивши кінці цих відрізків, одержимо многокутник, що є зображенням другої основи призми (рис. 7.8).

Щоб побудувати зображення піраміди, досить побудувати многокутник, що зображає її основу. Потім потрібно вибрати довільну точку, яка зображатиме вершину піраміди, 1 сполучити її відрізками з вершинами многокутника (рис. 7.9). Одержані відрізки зображатимуть бічні ребра піраміди.

Зазначимо, що разом із паралельним проектуванням, що використовують у геометрії для зображення просторових фігур, велике значення має так зване центральне проектування, яке застосовують у живописі, фотографії тощо. Сприйняття людиною навколишніх предметів за допомогою зору здійснюється за законами центрального проектування.

Нехай а — деяка площина, а точка S, що не належить їй, — центр проектування (рис. 7.10). Для точки А простору проведемо пряму а через точки S і А. Точка перетину цієї прямої з площиною а називається центральною проекцією точки А на площину а. Позначимо її А'.

Спосіб проектування, при якому точкам А простору ставлять у відповідність їх центральні проекції А', називається центральним проектуванням*.

Рис. 7.9

Рис. 7.10

* Часто центральне проектування ще називають перспективою.

Більше про центральне проектування та історію його використання ви можете дізнатися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

Звернемо увагу на той факт, що плоске зображення, підпорядковуючись певним законам, здатне передати уявлення про тривимірний предмет. Проте при цьому можуть виникати ілюзії. Наприклад, на рис. 7.11 зображено фігуру, яку неможливо скласти з дерев’яних прямолінійних олівців (поясніть чому).

У живописі існує напрям, який називають «імпосибілізм» — зображення неможливих фігур, парадоксів. Відомий голландський художник М. Ешер у гравюрах «Бельведер» (рис. 7.12), «Підіймаючись і опускаючись» (рис. 7.13), «Водоспад» (рис. 7.14) тощо зобразив неможливі об’єкти.

Сучасний шведський архітектор О. Рутерсвард присвятив неможливим об’єктам серію своїх художніх робіт. Деякі з них наведено на рис. 7.15-7.17.

Рис. 7.11

Імпосибілізм — від англ. impossibility — неможливість.

Рис. 7.12

Рис. 7.13

Рис. 7.14

Рис. 7.15

Рис. 7.16

Рис. 7.17

ПРИКЛАД РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ*

Задача. Чи може паралелограм бути паралельною проекцією трапеції?

Розв'язання

Ні, не може, оскільки в трапеції прямі, на яких лежать бічні сторони, перетинаються. Отже, точка перетину цих прямих повинна проектуватися в точку перетину їх проекцій, тобто в точку перетину прямих, на яких лежать протилежні сторони паралелограма-проекції. Але це неможливо, оскільки протилежні сторони паралелограма лежать на паралельних прямих, тобто не перетинаються.

Коментар

Щоб спростувати дане твердження, використаємо метод доведення від супротивного.

Припустимо, що паралельною проекцією трапеції є паралелограм. Спираючись на властивості паралельного проектування та властивості трапеції і паралелограма, одержимо суперечність з якоюсь із цих властивостей.

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Поясніть, що називається паралельною проекцією точки та фігури на дану площину.

2. Сформулюйте властивості паралельного проектування.

3. Якою фігурою може бути паралельна проекція трикутника, паралелограма, трапеції, кола, якщо площина фігури не паралельна напряму проектування?

* Див. також задачу в інтернет-підтримці підручника.

ВПРАВИ

7.1 °. Які фігури можуть служити паралельними проекціями трикутника?

7.2°. Чи може паралельною проекцією правильного трикутника бути:

1) прямокутний трикутник;

2) рівнобедрений трикутник;

3) різносторонній трикутник?

7.3°. Якою фігурою може бути паралельна проекція:

1) прямокутника;

2) паралелограма;

3) трапеції?

7.4°. Чи може паралельною проекцією прямокутника бути:

1) квадрат;

2) паралелограм;

3) ромб;

4) трапеція?

7.5°. Чи є правильним, що проекцією ромба, якщо він не проектується у відрізок, завжди буде ромб? Коли це твердження виконується?

7.6°. Чи є правильним, що в результаті паралельного проектування трикутника завжди:

1) медіани проектуються в медіани;

2) висоти проектуються у висоти;

3) бісектриси проектуються в бісектриси?

7.7°. Дано паралельну проекцію трикутника. Як побудувати проекції медіан цього трикутника? Поясніть правильність побудови.

7.8°. Дано паралельну проекцію трикутника. Як побудувати проекції середніх ліній цього трикутника? Поясніть правильність побудови.

7.9. Чи може проекцією трапеції з основами 4 см і 8 см бути трапеція з основами 2 см і 6 см? Відповідь поясніть.

7.10. Чи може паралельною проекцією двох непаралельних прямих бути пара паралельних прямих? Якщо може, то наведіть приклад таких прямих.

7.11. Які з властивостей ромба є правильними і для зображення цього ромба? Які можуть не зберегтися?

7.12. Які властивості прямокутника є правильними і для його проекції?

7.13. Побудуйте довільний паралелограм А1В1С1D1 і, прийнявши його за паралельну проекцію квадрата ABCD, побудуйте проекцію:

1) центра кола, описаного навколо квадрата ABCD;

2) перпендикуляра ОМ, проведеного із центра О квадрата ABCD на сторону AD.

Відомості з історії наведено в інтернет-підтримці підручника.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити