Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 2 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§ 8. Кут між прямими в просторі. Перпендикулярні прямі

§ 9. Перпендикулярність прямої та площини

§ 10. Перпендикуляр і похила.

Теорема про три перпендикуляри

§ 11. Кут між прямою та площиною

§ 12. Двогранний кут. Кут між площинами

§ 13. Перпендикулярність площин

§ 14. Ортогональне проектування

§ 15. Відстані між фігурами

У цьому розділі ви:

■ ознайомитеся з основними поняттями та властивостями перпендикулярності прямих і площин у просторі, кутами в просторі;

■ навчитеся застосовувати ці поняття і властивості для розв'язування геометричних задач на доведення, на обчислення відстаней і кутів у просторі; розв'язувати складніші задачі, пов'язані з перпендикулярністю прямих і площин у просторі;

■ зможете ознайомитися з узагальненням понять відстані в геометрії та геометричного місця точок, відомих вам з курсу планіметрії.

§ 8. КУТ МІЖ ПРЯМИМИ В ПРОСТОРІ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ПРЯМІ

Таблиця 8

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Як зазначалося в § 4, дві прямі в просторі можуть лежати в одній площині (коли вони перетинаються або паралельні) або не лежати в одній площині (тоді вони мимобіжні). Дамо означення кута між прямими в просторі для кожного з цих випадків.

Дві прямі, які перетинаються, утворюють суміжні й вертикальні кути. Вертикальні кути дорівнюють один одному, а суміжні кути доповнюють один одного до 180°.

Означення. Кутом між двома прямими, що перетинаються, називається найменший* із кутів, утворених променями цих прямих, з вершиною в точці їх перетину.

Як і на площині, дві прямі в просторі, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом. Вважають, що кут між двома паралельними прямими (чи прямими, що збігаються) дорівнює нулю.

Також вважатимемо, що два відрізки перпендикулярні, якщо вони лежать на перпендикулярних прямих.

Якщо позначити кут між прямими, які лежать в одній площині, через φ, то з наведеного означення випливає, що 0° ≤ φ ≤ 90° .

Наприклад, у кубі ABCDA1B1C1D1 (рис. 8.1) ребра, що перетинаються, перпендикулярні, діагональ А1В грані куба утворює з її ребрами кути по 45°.

Використовуючи властивості паралельного проектування, легко довести таку теорему.

Рис. 8.1

Теорема 8.1. Кут між прямими, що перетинаються, дорівнює куту між прямими, які паралельні даним прямим і перетинаються.

Із доведенням теореми можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

Якщо при перетині прямих утворюються рівні кути (по 90°), то як кут між прямими вибирають будь-який із них.

Рис. 8.2

Означимо тепер поняття «кут між мимобіжними прямими».

Нехай прямі а і b — мимобіжні (рис. 8.2).

Розглянемо довільну точку О в просторі та проведемо через неї прямі а' і b', паралельні прямим а і b відповідно. Кут між прямими а' і b' приймають за кут між мимобіжними прямими а і b.

Означення. Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які паралельні даним мимобіжним прямим і перетинаються.

Оскільки за теоремою 8.1 кути з відповідно паралельними сторонами дорівнюють один одному, то це означення не залежить від вибору точки О. Зокрема, точка О може належати також прямій а або b. У цьому випадку як пряму а' або b' слід узяти саму пряму а або b відповідно.

Якщо позначити кут між мимобіжними прямими через φ, то з наведеного означення випливає, що 0°< φ 90°.

Дві мимобіжні прямі називають перпендикулярними, якщо кут між ними прямий.

Наприклад, у кубі ABCDA1B1C1D1 (рис. 8.3) мимобіжні ребра АА1 і ВС перпендикулярні, оскільки ВВ1 || АА1 (АВВ1А — квадрат). Отже, (АА1; ВС) = (ВВ1; ВС) = В1ВС = 90°, тобто АА1 ВС.

ПРИКЛАД РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

Задача. У кубі ABCDA1B1C1D1 (рис. 8.3) знайдіть кут між прямими А1С1 і В1С.

Розв'язання

Рис. 8.3

Коментар

Прямі А1С1 і В1С — мимобіжні. Щоб знайти кут між ними, можна провести через довільну точку простору паралельні їм прямі або (що роблять частіше) через точку однієї прямої — пряму, паралельну другій прямій.

Розглянемо площину, яка проходить через паралельні ребра куба А1В1 і DC — вона перетинає паралельні грані куба АА1D1D і ВВ1С1С по паралельних прямих А1D і В1С. Отже, А1D || В1С, але тоді кут між мимобіжними прямими А1С1 і В1С дорівнює куту між прямими А1С1 і А1D. Сполучаючи точки D і С1 відрізком, отримуємо рівносторонній трикутник А1С1D (його сторони дорівнюють одна одній як діагоналі рівних квадратів). Звідси С1А1D = 60°.

Отже, (A1С1; В1С) = 60°.

Відповідь: 60°.

Відповідну паралельну пряму можна побудувати в просторі, що не завжди просто. Також цю пряму можна одержати як елемент даного многогранника. Для цього достатньо згадати, що довільна площина перетинає паралельні грані куба по паралельних прямих.

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Дайте означення кутів між прямими в просторі (між прямими, що перетинаються; між паралельними прямими; між мимобіжними прямими).

2. Сформулюйте властивість кутів, утворених відповідно паралельними прямими.

3*. Доведіть властивість кутів, утворених відповідно паралельними прямими.

4. Які прямі в просторі називаються перпендикулярними? Наведіть приклади таких прямих, користуючись моделлю прямокутного паралелепіпеда.

ВПРАВИ

8.1°. Знайдіть кут між ребрами, які перетинаються:

1) куба;

2) правильного тетраедра.

8.2°. Знайдіть кут між діагоналлю грані куба і ребром, що перетинає її.

8.3°. Знайдіть кут між діагоналями, які перетинаються, двох різних граней куба.

8.4°. Дано пряму в просторі, на ній узято точку. Скільки можна побудувати прямих, що проходять через цю точку і перпендикулярні до даної прямої? Відповідь проілюструйте на моделі.

8.5°. Дано пряму і точку поза нею. Скільки можна побудувати прямих, що проходять через цю точку і перпендикулярні до даної прямої?

8.6°. Дано площину і паралельну їй пряму. Скільки прямих, перпендикулярних до цієї прямої, можна провести в даній площині?

8.7. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Доведіть перпендикулярність прямих:

1) ВС і С1В1;

2) BD і А1С1;

3) BD і АА1.

8.8. У кубі ABCDA1B1C1D1 знайдіть кути, які утворюють прямі:

1) АА1 і В1С1;

2) АА1 і СС1;

3) ВВ1 і CD.

8.9. У кубі АВСВА1В1С1В1 знайдіть кути між мимобіжними прямими:

1) АВ і В1В1;

2) АВ1 і ВС1.

8.10. У правильній чотирикутній піраміді зі стороною основи, що дорівнює бічному ребру, знайдіть кут між стороною основи і мимобіжним до неї бічним ребром.

8.11. Точки А, В, С лежать на попарно перпендикулярних променях ОА, ОВ, ОС. Знайдіть кути трикутника АВС, якщо відомо, що ОА = ОВ = ОС.

8.12. Прямі АВ, АС і АВ попарно перпендикулярні (рис. 8.4). Знайдіть довжину відрізка СВ, якщо:

1) АВ = 3 см, ВС = 7 см, АD = 1,5 см;

2) ВD = 9 см, ВС = 16 см, АВ = 5 см;

3) АВ = b, ВС = а, АВ = d.

Рис. 8.4

8.13*. Діагональ прямокутного паралелепіпеда, основою якого є квадрат, удвічі більша, ніж сторони основи. Знайдіть кути між діагоналями паралелепіпеда.

8.14. Прямі а і b паралельні. Прямі а і с перетинаються під прямим кутом. Укажіть взаємне розташування прямих b і с та кут між ними.

8.15. Прямі а і b паралельні. Прямі а і с перетинаються під кутом 30°. Укажіть взаємне розташування прямих b і с та кут між ними.

8.16. Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні. Доведіть.




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити