Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 2 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§ 9. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМОЇ ТА ПЛОЩИНИ

Таблиця 9

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Означення. Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

Відрізок називатимемо перпендикулярним до площини, якщо він лежить на прямій, перпендикулярній до цієї площини.

Позначають перпендикулярність прямої а і площини а так: а а або а а. Отже, за означенням, якщо а а і довільна пряма x або х1 лежить у площині а, то а x і а х1 (див. рисунок до означення в табл. 9).

Мають місце теореми про перпендикулярність прямої та площини і про залежність між паралельністю та перпендикулярністю прямих і площин, символічний запис яких наведено в табл. 9.

Теорема 9.1 (ознака перпендикулярності прямої та площини). Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих площини, які перетинаються, то вона перпендикулярна до цієї площини.

Наприклад, у кубі ABCDA1B1C1D1 (рис. 9.1) бічне ребро АА1 перпендикулярне до прямих АВ і AD площини основи ABCD. Отже, за ознакою перпендикулярності прямої і площини це бічне ребро перпендикулярне до площини основи ABCD.

Рис. 9.1

Теорема 9.2. Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то і друга пряма перпендикулярна до цієї площини.

Теорема 9.3. Дві прямі, перпендикулярні до однієї площини, паралельні.

Теорема 9.4. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних площин, то вона перпендикулярна і до другої площини.

Теорема 9.5 (ознака паралельності площин). Дві різні площини, перпендикулярні до однієї прямої, паралельні.

Із доведенням теорем можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

ПРИКЛАД РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

Задача. Через точки А і В проведено прямі, перпендикулярні до площини а, які перетинають її в точках С і D відповідно. Знайдіть відстань між точками А і В, якщо АС = 3 м, ВD = 2 м, СD = 2,4 м і відрізок АВ не перетинає площину а.

Розв'язання

Оскільки дві прямі, перпендикулярні до площини а, паралельні, то АС || BD, отже, АBDС — трапеція (рис. 9.2, а). За умовою АС а, тоді АС СD, тобто трапеція АBDС прямокутна.

Рис. 9.2

Проведемо у трапеції ABDC з точки В перпендикуляр ВК до сторони АС (рис. 9.2, б). Одержимо прямокутник BKCD (оскільки у чотирикутника BKCD усі кути прямі), отже, СК = ВD = 2 м і КВ = СD = 2,4 м. Тоді АК = АС - СК = 3 - 2 = 1(м). із прямокутного трикутника АКВ:

Відповідь: 2,6 м.

Коментар

За зображенням просторової конфігурації (рис. 9.2) ми не можемо визначити, чи лежить чотирикутник АBDС в одній площині (отже, не знаємо, чи можна до його елементів застосовувати відомі з планіметрії співвідношення). Оскільки паралельні прямі лежать в одній площині, то для обґрунтування того, що цей чотирикутник плоский, достатньо довести паралельність двох його сторін. Слід також урахувати, що для розв'язання багатьох стереометричних задач часто доцільно виконувати виносні рисунки розглядуваних плоских фігур (рис. 9.2, б), на яких зручно здійснювати певні побудови, обчислення та обґрунтування.

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Яка пряма називається перпендикулярною до площини?

2. Сформулюйте ознаку перпендикулярності прямої і площини. Використовуючи модель прямокутного паралелепіпеда, наведіть приклад її використання.

3. Сформулюйте властивості прямих і площин, які виражають залежність між їх паралельністю та перпендикулярністю.

ВПРАВИ

9.1°. Чи є правильним, що коли пряма перпендикулярна до Будь-яких двох прямих площини, то вона перпендикулярна до цієї площини?

9.2°. У разі якого взаємного розташування двох прямих через одну з них можна провести площину, перпендикулярну до другої?

9.3°. Як розташована відносно площини трикутника пряма, перпендикулярна до двох його сторін?

9.4°. Чи є правильним, що пряма є перпендикулярною до площини круга, якщо вона перетинає круг у центрі й перпендикулярна до:

1) його діаметра;

2) двох його діаметрів?

9.5°. У площині а розташований трикутник АВС. Пряма МN, яка перетинає цю площину, перпендикулярна до відрізків АВ і ВС. Яким є взаємне розташування прямих MN і АС?

9.6°. Пряма паралельна площині. Чи може вона бути перпендикулярною до якої-небудь прямої, що лежить у цій площині?

9.7. Доведіть, що в прямокутному паралелепіпеді бічне ребро перпендикулярне до площини основи.

9.8. Доведіть, що в прямокутному паралелепіпеді діагональ основи перпендикулярна до кожного бічного ребра.

9.9. Доведіть, що кожне ребро куба перпендикулярне до двох його граней.

9.10. Два прямокутних трикутники АВС і DBC, площини яких не збігаються, мають спільний катет, а через два інші катети — АС і CD — проведено площину а. Доведіть, що спільний катет перпендикулярний до будь-якої прямої с площини а.

9.11. На зображенні правильного тетраедра ABCD (рис. 9.3) побудуйте площину, перпендикулярну до його ребра АD.

Рис. 9.3

9.12*. Доведіть, що в правильній трикутній піраміді мимобіжні ребра перпендикулярні.

9.13*. Доведіть, що через будь-яку точку простору можна провести єдину пряму, перпендикулярну до даної площини.

9.14*. Доведіть, що через будь-яку точку простору можна провести єдину площину, перпендикулярну до даної прямої.

9.15*. Через точку А прямої а проведено перпендикулярні до неї площину а і пряму b. Доведіть, що пряма b лежить у площині а.

9.16. Через вершину квадрата АВСD проведено пряму ВМ, перпендикулярну до його площини. Доведіть, що:

1) пряма АD перпендикулярна до площини, визначеної прямими АВ і ВМ;

2) пряма СD перпендикулярна до площини, визначеної прямими ВС і ВМ.

9.17. Через точки М і N проведено прямі, перпендикулярні до площини β, які перетинають її в точках Т і Е відповідно. Знайдіть відстань між точками М і N якщо МТ = 2 м, NE = 5 м, ТЕ = 4 м і відрізок MN не перетинає площину β.

Виявіть свою компетентність

9.18. Верхні кінці двох вертикальних стовпів, розташованих на відстані 6,8 м один від одного, з’єднано поперечкою. Висота одного стовпа 11,6 м, а другого — 7,8 м. Знайдіть довжину поперечки.

9.19. Телефонний дріт завдовжки 15 м протягнуто від телефонного стовпа, де він закріплений на висоті 8 м від поверхні землі, до будинку, де його закріпили на висоті 20 м. Знайдіть відстань між будинком і стовпом, вважаючи, що дріт не провисає.

9.20°. Щоб розпил дерев’яного бруска (рис. 9.4) був перпендикулярним до його ребра, через точку А ребра проводять перпендикулярно до ребра прямі АВ і АС. Потім пиляють так, щоб розпил ішов по цих прямих. Чи правильно це?

Рис. 9.4





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити