Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 2 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§ 10. ПЕРПЕНДИКУЛЯР І ПОХИЛА. ТЕОРЕМА ПРО ТРИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ

Таблиця 10

ПОЯСНЕННЯ Й ОБГРУНТУВАННЯ

Поняття перпендикуляра і похилої в просторі вводять аналогічно до відповідних понять на площині (табл. 10).

Означення. Відстанню від точки до площини називається довжина перпендикуляра, проведеного із цієї точки до площини.

Похилою до площини називається пряма, що перетинає площину і не перпендикулярна до неї. Похилою називають також відрізок, який сполучає точку, що не належить площині, з точкою площини, якщо цей відрізок не є перпендикуляром до площини. Кінець цього відрізка, що лежить у площині, називається основою похилої. Відрізок, який сполучає основи перпендикуляра і похилої, проведених з однієї точки, називається проекцією* похилої (див. відповідні рисунки в табл. 10).

Властивості перпендикуляра і похилої в просторі аналогічні відповідним властивостям на площині.

Теорема 10.1. Якщо з однієї точки, узятої поза площиною, проведено до

цієї площини перпендикуляр і декілька похилих, то:

1) перпендикуляр коротший від будь-якої похилої, проведеної з тієї самої точки до тієї ж площини;

2) рівні похилі мають рівні проекції, і навпаки, похилі, які мають рівні проекції, є рівними;

3) більша (за довжиною) похила має більшу проекцію, і навпаки, з двох похилих більша та, у якої проекція більша.

Із доведенням теореми можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника..

Теорема 10.2 (про три перпендикуляри). Якщо пряма на площині перпендикулярна до проекції похилої на цю площину, то вона перпендикулярна і до похилої. І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

Доведення. Нехай пряма с площини а (див. рисунки в табл. 10) перпендикулярна до проекції ОВ похилої АВ (або до самої похилої АВ). Оскільки АО а, то АО с. Тоді пряма с буде перпендикулярною до двох прямих, що перетинаються, — ОВ і АО (чи АВ і АО). За ознакою перпендикулярності прямої і площини, пряма с перпендикулярна до площини АОВ, а отже, вона буде перпендикулярною і до похилої АВ (чи до її проекції ОВ).

Точніше цей відрізок називається ортогональною, або прямокутною, проекцією похилої (коли всі проектуючі прямі перпендикулярні до площини проекцій). Далі, говорячи про проекції, ми будемо мати на увазі ортогональні проекції.

ПРИКЛАД РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

Задача. Відстань від даної точки до площини ромба дорівнює 8 м, а до кожної з його сторін — 10 м. Знайдіть радіус кола, вписаного в цей ромб.

Розв'язання

Нехай дано ромб ABCD і точку розташовану поза площиною ромба. Проведемо з точки S перпендикуляр SО до площини ABCD та перпендикуляри SК, SМ, SN, SL на сторони ромба (рис. 10.1). Тоді за умовою SО = 8 м і SК = SМ = SN = SL = 10м.

Беручи до уваги, що рівні похилі, проведені з однієї точки до однієї площини, мають рівні проекції, отримуємо: ОК = ОМ = ON = OL. Оскільки SК DС, то ОК DС за теоремою про три перпендикуляри. Аналогічно ОМ АD, ON АВ, OL ВС. Тоді точка О рівновіддалена від усіх сторін ромба і є центром кола, вписаного в ромб*, а ОК — радіус цього кола. із прямокутного трикутника SОК (SО пл. АВСD, отже,

Відповідь: 6 м.

Рис.10.1

Коментар

Оскільки відстань від точки до площини вимірюють за перпендикуляром, то ми маємо фактично перпендикуляр та похилі до площини і можемо використати відповідні властивості, які пов'язують довжини похилих, проведених з однієї точки до однієї площини, та їх проекцій.

Щоб обґрунтувати, що одержані проекції похилих є саме радіусами вписаного в ромб кола, зручно використати теорему про три перпендикуляри. Для обґрунтування того, що трикутник SОК є прямокутним, достатньо використати означення прямої (SО), перпендикулярної до площини (АВСD).

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Поясніть, як вводять поняття перпендикуляра і похилої до площини та проекції похилої на площину.

2. Сформулюйте властивості перпендикуляра і похилої до площини.

3. Сформулюйте і доведіть теорему про три перпендикуляри.

* Точка О є точкою перетину діагоналей ромба, відрізки OL та ОМ лежать на одній прямій, LM — висота ромба (аналогічно NК — теж висота ромба).

ВПРАВИ

10.1°. У кубі ABCDA1B1C1D1 (рис. 10.2) назвіть проекції діагоналі А1С на всі грані куба.

Рис. 10.2

10.2°. Основа піраміди SABCD — квадрат ABCD. Ребро SA перпендикулярне до площини основи. Порівняйте попарно довжини відрізків SA, SB, SC і SD. Обґрунтуйте результат.

10.3. Основа піраміди SABCD — прямокутник ABCD, АВ < ВС. Ребро SD перпендикулярне до площини основи. Серед відрізків SA, SB, SC і SD укажіть найменший і найбільший. Обґрунтуйте свій вибір.

10.4°. Із точки А до даної площини проведено перпендикуляр і похилу, що перетинають площину відповідно в точках В і С. Знайдіть довжину проекції похилої АС, якщо АС = 50 см, АВ = 30 см.

10.5. Із точки A до даної площини проведено перпендикуляр і похилу, що перетинають площину відповідно в точках B і C. Знайдіть відрізок AC, якщо AB = 8 см і BAC = 60°.

10.6. Відрізки двох похилих, проведених з однієї точки до площини, дорівнюють 15 см і 20 см. Проекція одного із цих відрізків дорівнює 16 см. Знайдіть проекцію другого відрізка.

10.7. Точка A розташована на відстані a від вершин рівностороннього трикутника зі стороною а. Знайдіть відстань від точки A до площини трикутника.

10.8. Відстані від точки A до вершин квадрата дорівнюють а. Знайдіть відстань від точки A до площини квадрата, якщо сторона квадрата дорівнює b.

10.9. Із точки до площини проведено дві похилі. Знайдіть довжини похилих, якщо:

1) одна з них на 26 см більша від другої, а проекції похилих дорівнюють 12 см і 40 см;

2) похилі відносяться як 1 : 2, а проекції похилих дорівнюють 1 см і 7 см.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.