Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 2 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§ 11. КУТ МІЖ ПРЯМОЮ ТА ПЛОЩИНОЮ

Таблиця 11

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

У стародавні часи для визначення курсу корабля моряки орієнтувалися по зірках. Для цього вимірювали кут, що утворював із площиною горизонту промінь, який ішов від даної точки до відомої зірки.

Сьогодні в практичній діяльності людині часто доводиться визначати кут нахилу прямих та площин до даної площини (див. рисунки).

Дамо означення кута між прямою і площиною, а в наступному параграфі — кута між площинами.

Означення. Кутом між похилою* і площиною називається кут між цією похилою та її проекцією на площину.

Якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між нею і площиною вважають рівним 90°, а якщо пряма паралельна площині або лежить у площині, — то рівним 0°.

Із наведеного означення випливає: якщо φ — кут між прямою і площиною, то 0° ≤ φ ≤ 90°, а якщо 7 — кут між похилою і площиною, то 0°< γ < 90°.

Наприклад, у кубі ABCDA1B1C1D1 (рис. 11.1) проекцією діагоналі А1В бічної грані куба на площину його основи ABCD є відрізок АВ (оскільки А1А пл. ABCD). Отже, кутом між А1В і площиною ABCD є кут А1ВА, який дорівнює 45°.

Рис. 11.1

Теорема 11.1. Кут між похилою і площиною є найменшим з усіх кутів між цією похилою і прямими, що лежать у даній площині.

В інтернет-підтримці підручника наведено обґрунтування такої властивості.

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Із точки, віддаленої від площини на відстань а, проведено дві похилі, які утворюють із площиною кути 45° і 30°, а між собою — прямий кут. Знайдіть відстань між основами похилих.

Розв'язання

Нехай дано точку А, з якої до площини а проведено дві похилі АВ і АС (рис. 11.2). Проведемо з точки А перпендикуляр АО до площини а. За умовою АО = а. Оскільки проекціями похилих АВ і АС є відповідно відрізки ОВ і ОС, то кут АВО — кут між похилою АВ і площиною а, а АСО — кут між похилою АС і площиною а.

Рис. 11.2

За умовою АВО = 45° і АСО = 30°. Оскільки АО а, то АО ОВ і АО ОС. Із прямокутного трикутника АОВ:

Із прямокутного трикутника АОС:

Із прямокутного трикутника АВС (АВ АС за умовою):

Відповідь: а.

Коментар

Оскільки відстанню від точки до площини є довжина перпендикуляра, проведеного із цієї точки до площини, то на рисунку до задачі слід зобразити крім похилих перпендикуляр, проведений із даної точки до даної площини (рис. 11.2). Перш ніж проводити обчислення, в розв'язанні необхідно обґрунтувати, що дану відстань (від точки до площини) і дані кути (між похилими і площиною) позначено правильно. У процесі обчислення слід указувати, з якого трикутника визначаємо елементи, і, якщо він прямокутний, пояснити чому.

План обчислювальної частини розв'язання може бути таким:

1) із прямокутного трикутника АОВ знайти АВ;

2) із прямокутного трикутника АВС знайти АС;

3) із прямокутного трикутника АВС знайти ВС.

Із прикладом розв'язування більш складної задачі на знаходження кута між прямою і площиною можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

* Термін «похила» може означати як пряму, так і відрізок, тобто кутом між відрізком і площиною будемо вважати кут між прямою, що містить даний відрізок, і цією площиною.

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Що називається кутом між похилою і площиною?

2. Чому дорівнює кут між прямою і площиною, якщо:

1) пряма перпендикулярна до площини;

2) пряма паралельна площині;

3) пряма лежить у площині?

3*. Доведіть, що кут між похилою і площиною є найменшим з усіх кутів між цією похилою і прямими, які лежать у даній площині.

ВПРАВИ

11.1°. У кубі ABCDA1B1C1D1 (рис. 11.3) укажіть кути між даними похилою і площиною:

Рис. 11.3

11.2°. Довжина похилої дорівнює а. Чому дорівнює довжина проекції цієї похилої на площину, якщо похила утворює з площиною кут, що дорівнює:

1) 45°;

2) 60°;

3) 30°?

11.3°. Точка А віддалена від площини на відстань d. Знайдіть довжини похилих, проведених із цієї точки під такими кутами до площини:

1) 30°;

2) 45°;

3) 60°.

11.4. Доведіть, що рівні похилі, проведені до площини з точки, яка не належить площині, утворюють із площиною рівні кути.

11.5. Яку фігуру на площині а утворюють основи всіх похилих, що проведені до площини а з точки, яка не належить площині, і утворюють рівні кути з площиною а ?

11.6. Прямі а і b утворюють із площиною а рівні кути. Чи будуть прямі а і b паралельними?

11.7. Із точки, віддаленої від площини на відстань а, проведено дві похилі, які утворюють із площиною кути 45°, а між собою — кут 60°. Знайдіть відстань між основами похилих.

Виявіть свою компетентність

11.8. Доведіть, що коли всі бічні ребра піраміди утворюють із площиною основи рівні кути, то основою піраміди є многокутник, навколо якого можна описати коло, і вершина піраміди проектується в центр цього кола. Наведіть приклади зазначеної конструкції з реального життя.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити