Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 2 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§ 12. ДВОГРАННИЙ КУТ. КУТ МІЖ ПЛОЩИНАМИ

Таблиця 12

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

1. Двогранний кут

Півплощину в просторі можна вважати просторовим аналогом променя. Тоді аналогом кута між променями на площині буде кут між півплощинами.

Означення. Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами зі спільною прямою, що їх обмежує (рис. 12.1).

Рис. 12.1

Півплощини називаються гранями двогранного кута, а пряма, що їх обмежує, — ребром двогранного кута.

Наочне уявлення про двогранний кут дають напіввідкрита класна дошка, двоскатний дах, відкритий ноутбук (див. рисунки).

* Якщо внаслідок перетину площин усі утворені двогранні кути дорівнюють один одному (усі кути прямі), то як кут між площинами вибирають будь-який із них.

Площина, перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає його грані по двох променях. Кут, утворений цими променями, називається лінійним кутом двогранного кута.

Нехай дано двогранний кут, утворений півплощинами а і β зі спільною прямою с (рис. 12.2), і площину γ, перпендикулярну до прямої с, яка перетинає півплощини а і β по променях а і b відповідно. Кут між променями а та b і є лінійним кутом цього двогранного кута.

За міру двогранного кута приймають міру відповідного йому лінійного кута: (а; β) = (а; b).

Доведемо, що величина лінійного кута не залежить від вибору площини γ.

Доведення. Нехай γ і γ' — площини, перпендикулярні до прямої с, які проходять через точки О і О' на прямій с та перетинають півплощини а і β по променях а і а' та b і b' відповідно (рис. 12.3). Оскільки дві різні площини, перпендикулярні до однієї прямої, паралельні, то γ || γ'.

Розглянемо паралельне проектування в напрямі прямої ОО' на площину γ'. Оскільки півплощина а проходить через пряму ОО' і перетинає площину γ по променю а, а площину γ' — по променю а', то промінь а' є проекцією променя а на площину γ'. Аналогічно промінь b' є проекцією променя b на площину γ'. Але за властивостями паралельного проектування, якщо плоска фігура F (наприклад, кут між променями а і b) лежить у площині γ, паралельній площині проекцій γ', то її проекція на площину γ' дорівнює фігурі F. Отже, кут між променями а і b дорівнює куту між променями а' і b'.

Якщо позначити лінійний кут двогранного кута через φ, то з означення випливає, що 0° < φ < 180°.

Двогранний кут називається прямим, якщо його лінійний кут є прямим.

Рис. 12.2

Рис. 12.3

Кутом між двома сусідніми гранями многогранника називатимемо двогранний кут між відповідними півплощинами.

Наприклад, у кубі ABCDA1B1C1D1 (рис. 12.4) кут між гранями ABCD і ВВ1С1С прямий, оскільки відповідний лінійний кут АВВ1 дорівнює 90° (площина АВВ1А1 перпендикулярна до ребра ВС і перетинає відповідні півплощини по променях ВА і ВВ1, отже, АВВ1 — лінійний кут двогранного кута з ребром ВС).

Рис. 12.4

2. Практичні способи побудови лінійного кута двогранного кута

У задачах, для розв'язування яких доводиться застосовувати лінійні кути, не завжди зручно користуватися означенням лінійного кута. Тому доцільно пам'ятати практичні способи побудови лінійних кутів, наведені в п. 2 табл. 12. Із їх обґрунтуванням можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

Під час запису розв’язань задач, пов’язаних із двогранними кутами, результат, обґрунтований у практичному способі 1, можна використовувати як відомий опорний факт. Але обґрунтування, наведені у способі 2, доводиться повторювати в розв’язанні кожної задачі, у якому використовують цей спосіб побудови лінійного кута. (Можливий варіант запису такого обґрунтування наведено в табл. 12.)

3. Кут між площинами

Дамо означення кута між площинами.

Означення. Кутом між площинами, що перетинаються, називається найменший* із двогранних кутів, утворених відповідними півплощинами**. кут між паралельними площинами чи площинами, які збігаються, вважають таким, що дорівнює нулю.

* Якщо при перетині площин усі утворені двогранні кути рівні (тобто всі кути прямі), то як кут між площинами вибирають будь-який із них.

** Маються на увазі двогранні кути, гранями кожного з яких є одна півплощина площини а і одна півплощина площини β, а ребром — пряма перетину даних площин.

Якщо позначити кут між площинами через φ, то з наведеного означення випливає, що 0° < φ < 90°.

Враховуючи способи побудови лінійного кута, одержуємо, що для знаходження величини кута між площинами, що перетинаються, достатньо через довільну точку на прямій їх перетину провести в кожній площині пряму, перпендикулярну до прямої їх перетину. Величина кута між цими прямими і дорівнюватиме величині кута між даними площинами.

Наприклад, у кубі АВСDА1В1С1D1 (рис. 12.5) кут між площинами АВСD і А1ВСD1 дорівнює куту між прямими АВ і А1В, які лежать у розглянутих площинах і перпендикулярні до прямої їх перетину ВС (оскільки ВС пл. АВВ1А1). Отже кут між площинами ABCD і A1BCD1 дорівнює 45°.

Рис. 12.5

ПРИКЛАД РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ*

Задача. Через гіпотенузу АВ = с рівнобедреного прямокутного трикутника АВС проведено площину а, яка утворює з площиною трикутника кут 60°. Знайдіть відстань від вершини С до площини а .

Розв'язання

Проведемо перпендикуляр СО з точки С на площину а, тоді СО — відстань від точки С до площини а (рис. 12.6).

У площині а проведемо ОМ АВ і сполучимо відрізком точки С і М. Тоді СМ АВ за теоремою про три перпендикуляри, тобто СМО — лінійний кут двогранного кута при ребрі АВ, отже, СМО = 60°.

У рівнобедреному прямокутному трикутнику висота СМ є одночасно і медіаною, тому АМ = АВ = .

Тоді з прямокутного трикутника АСМ: СМ = .

Із прямокутного трикутника СМО (СО ОМ, оскільки СО а):

Відповідь: .

Коментар

Для того щоб знайти відстань від точки С до площини а (рис. 12.6), необхідно провести перпендикуляр до площини а (СО а).

Рис. 12.6

Тому побудову кута між площиною трикутника і площиною а зручно виконати способом 2 побудови лінійного кута. У цей спосіб ми завжди отримуємо лінійний кут двогранного кута як гострий кут прямокутного трикутника. Отже, величина одержаного гострого лінійного кута завжди дорівнює величині кута між площинами, у яких лежать грані розглядуваного двогранного кута.

* Із розв’язуванням іншої задачі можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Поясніть, яка фігура називається двогранним кутом, ребром кута, гранню кута.

2. Поясніть, як визначають лінійний кут двогранного кута.

3. Доведіть, що міра двогранного кута не залежить від вибору лінійного кута.

4. Поясніть, користуючись моделлю двогранного кута, як практично можна побудувати лінійний кут двогранного кута.

5*. Доведіть, що в результаті використання практичних способів дійсно отримують лінійні кути.

6. Дайте означення кута між площинами.

7*. Доведіть, що коли через довільну точку на прямій перетину площин провести в кожній площині пряму, перпендикулярну до прямої їх перетину, то величина кута між цими прямими дорівнює величині кута між даними площинами.

ВПРАВИ

12.1°. Який кут утворює ребро двогранного кута з будь-якою прямою, яка лежить у площині його лінійного кута?

12.2°. Півплощини, у яких лежать два рівнобедрених трикутники зі спільною основою, утворюють двогранний кут. Чи є правильним твердження, що медіани, проведені до спільної основи трикутників, утворюють лінійний кут двогранного кута?

Рис. 12.7

Рис. 12.8

12.3°. На рис. 12.7 зображено двогранний кут із ребром ВС. Укажіть лінійний кут цього двогранного кута, якщо АР пл. АВС і в трикутнику АВС С = 90°.

12.4°. В основі піраміди OABCD (рис. 12.8) лежить квадрат ABCD. Бічне ребро ОВ перпендикулярне до площини основи. Укажіть лінійний кут двогранного кута з ребром CD.

12.5. Трикутник МАВ і квадрат ABCD розміщені таким чином, що відрізок МВ є перпендикуляром до площини квадрата. Величину якого кута можна вважати кутом між площинами AMD і АВС?

12.6. Дві площини перетинаються під кутом 30°. Точка А, яка лежить в одній із цих площин, віддалена від другої площини на відстань а. Знайдіть відстань від цієї точки до прямої перетину площин.

12.7. У кубі ABCDA1B1C1D1 знайдіть кут нахилу площини ADC1 до площини АВС.

12.8. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 7 м і 24 м. Знайдіть відстань від вершини прямого кута до площини, яка проходить через гіпотенузу й утворює з площиною трикутника кут 30°.

12.9. Через сторону АВ трикутника АВС проведено площину а під кутом 60° до площини трикутника. Висота CD трикутника АВС дорівнює а. Знайдіть відстань від вершини С трикутника до площини а.

12.10. Через катет ВС = а рівнобедреного прямокутного трикутника АВС проведено площину а, яка утворює з площиною трикутника кут 30°. Знайдіть відстань від вершини А до площини а.

12.11*. Доведіть, що площина, яка перетинає паралельні площини, перетинає їх під однаковими кутами.




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити