Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік
АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
Розділ 1 ФУНКЦІЇ, ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ
§ 3. КОРІНЬ n-го СТЕПЕНЯ. АРИФМЕТИЧНИМ КОРІНЬ n-го СТЕПЕНЯ, ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ
3.1. Корінь n-го степеня та його властивості. Функція у = та її графік
Таблиця 7
ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ
1. Означення кореня n-го степеня
Поняття кореня квадратного з числа а вам відоме: це таке число, квадрат якого дорівнює а. Аналогічно означають і корінь n-го степеня числа а, де n — довільне натуральне число, більше за 1.
Означення. Коренем n-го степеня з числа а називається таке число, n-й степінь якого дорівнює а.
Наприклад, корінь третього степеня з числа 27 дорівнює 3, оскільки З3 = 27; корінь третього степеня з числа -27 дорівнює -3, оскільки (-3)3 = -27. Числа 2 і -2 є коренями четвертого степеня з 16, оскільки 24 = 16 і (-2)4 = 16.
При n = 2 та при n = 3 корені n-го степеня називають також відповідно квадратним та кубічним коренями.
Як і для квадратного кореня, для кореня n-го степеня вводять поняття арифметичного кореня.
Означення. Арифметичним коренем n-го степеня з числа а називається невід'ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.
При а ≥ 0 для арифметичного значення кореня n-го степеня з числа а існує спеціальне позначення*: ; число n називають показником кореня, а саме число а — підкореневим виразом. Знак і вираз називають також радикалом.
Наприклад, те, що корінь третього степеня з числа 27 дорівнює 3, записують так: = 3; те, що корінь четвертого степеня із 16 дорівнює 2, записують так:
= 2. Але для запису того, що корінь четвертого степеня із 16 дорівнює -2, позначення немає.
При а < 0 значення кореня n-го степеня з числа а існує тільки при непарних значеннях n (оскільки не існує такого дійсного числа, парний степінь якого буде від’ємним числом). У цьому випадку корінь непарного степеня n із числа а теж позначають . Наприклад, те, що корінь третього степеня з числа -27 дорівнює -3, записують так:
= -3. Оскільки -3 — від’ємне число, то
не є арифметичним значенням кореня. Але корінь непарного степеня з від’ємного числа можна виразити через арифметичне значення кореня за допомогою формули
Щоб довести наведену формулу, зауважимо, що за означенням кореня n-го степеня ця рівність буде правильною, якщо
Дійсно,
а це й означає, що
Наприклад,
Зазначимо також, що значення
має той самий знак, що й число а, оскільки при піднесенні до непарного степеня знак числа не змінюється.
* Усі властивості виразів виду наведено для випадку n ∈ N, n ≥ 2 . При n = 1 домовилися вважати, що
Також за означенням кореня n-го степеня можна записати, що в тому випадку, коли існує значення , виконується рівність ( )n = а і, зокрема, при а ≥ 0 (
)2 = а.
2. Область допустимих значень виразів із коренями n-го степеня. Розв'язки рівняння xn = a (n ∈ N)
Зазначимо, що значення — кореня непарного степеня з числа a — існує при будь-яких значеннях a.
Тоді можна записати розв’язки рівняння хn = а для непарних значень n = 2k +1: при будь-яких значеннях a рівняння х2k+1 = а (k ∈ N) єдиний корінь х = .
Наприклад, рівняння х5 = 3 має єдиний корінь х = , a рівняння х7 =- 11 має єдиний корінь х =
(ураховуючи, що х =
= -
, корінь для рівняння х7 = -11 можна записати так: х = -
).
Значення — кореня парного степеня з числа a — існує тільки при а ≥ 0.
Дійсно, у тому випадку, коли = х ,за означенням кореня n-го степеня а = х2k. Отже, а ≥ 0.
Розглянемо розв’язки рівняння хn = а для парних значень n = 2k (k ∈ N).
Рівняння х2k = а (k ∈ N) при а < 0 не має коренів (оскільки парний степінь будь-якого числа не може бути від’ємним).
При а = 0 рівняння х2k = 0 (k ∈ N) має єдиний корінь х = 0 (оскільки парний степінь будь-якого відмінного від нуля числа — число додатне, тобто не рівне нулю, а 02k = 0).
При а > 0 за означенням кореня 2k-го степеня
Отже,
— корінь рівняння х2k = а. Але
тому
— теж корінь рівняння х2k = а. Інших коренів це рівняння не має, оскільки властивості функції у = х2k аналогічні властивостям функції у = х2 при х ≥ 0 функція зростає, отже, значення а вона може набувати тільки при одному значенні аргумента (х = ). Аналогічно при х ≤ 0 функція у = х2k спадає, тому значення а вона може набувати тільки при одному значенні аргумента (х = -
). Таким чином, рівняння х2k = а при а > 0 має тільки два корені: х = ±
.
Наприклад, рівняння х10 = -1 не має коренів, а рівняння х6 = 5 має корені х = ± .
3. Властивості кореня n-го степеня
Зазначені в табл. 7 властивості можна обґрунтувати, спираючись на означення кореня n-го степеня.
Нагадаємо, що за означенням кореня n-го степеня для доведення рівності = B (при A ≥ 0, B ≥ 0) достатньо перевірити рівність Bn = A.
Наприклад, властивість кореня
при а ≥ 0 випливає з рівності
Зокрема,
(показник кореня і показник степеня підкореневого виразу поділили на натуральне число 3).
За допомогою формули =
(а ≥ 0, b ≥ 0) можна одержати важливі наслідки: формули винесення множника з-під знака кореня або внесення множника під знак кореня.
Дійсно, при
Розглядаючи одержану формулу зліва направо, маємо формулу винесення невід’ємного множника з-під знака кореня:
а справа наліво — формулу внесення невід’ємного множника під знак кореня:
Наприклад,
Зазначимо ще одну властивість коренів n-го степеня: для будь-яких невід’ємних чисел а і b, якщо а > b, то >
. Наприклад, ураховуючи, що 21 > 16, одержуємо
>
. Оскільки
= 2, маємо, що
> 2.
4. Графік функції у = (n ∈ N, n ≥ 2)
Графік функції у = (n ∈ N, n ≥ 2) для парних і непарних значень n та основні властивості цієї функції наведені в п. 4 табл. 7.
На рис. 3.1.1 в одній і тій самій системі координат зображено графіки функцій у = та у =
і для порівняння — графік функції у = х.
Зауважимо, що графік функції у = можна побудувати, використовуючи графік функції у = хn. Наприклад, функцію у =
можна розглядати як обернену до функції у = х3, а отже, побудувати її графік (рис. 3.1.2) як криву, симетричну кубічній параболі у = х3 відносно прямої у = х.
Рис. 3.1.1
Рис. 3.1.2
Детальніше про корінь n-го степеня та його властивості, перетворення виразів з коренями n-го степеня, розв'язки рівняння хn = а(n ∈ N, графік функції у = можна дізнатися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.
ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ
Приклад 1. Знайдіть значення виразу:
Розв'язання
Коментар
Використаємо означення кореня n-го степеня. Запис = b означає, що bn = а.
Приклад 2. Знайдіть значення виразу:
Коментар
Використаємо властивості кореня n-го степеня і врахуємо, що кожну формулу, яка виражає ці властивості, можна застосувати як зліва направо, так і справа наліво. Наприклад, для розв'язування завдання 1 скористаємося формулою =
·
,а для розв'язування завдання 2 — цією самою формулою, але записаною справа наліво, тобто
·
=
(при а ≥ 0, b ≥ 0).
Розв'язання
Приклад 3. Порівняйте числа:
Розв'язання
Коментар
Для порівняння заданих чисел у кожному завданні достатньо привести всі корені до одного показника кореня і врахувати, що для будь-яких невід'ємних чисел а і b, якщо а > b, то >
.
ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ
1. Дайте означення кореня n-го степеня з числа а. Наведіть приклади.
2. Дайте означення арифметичного кореня n-го степеня з числа а. Наведіть приклади.
3. При яких значеннях а існують вирази та
(k ∈ N)?
4. Запишіть властивості кореня n-го степеня для невід’ємних значень підкореневих виразів.
5. При яких значеннях а має корені рівняння:
1) х2к+1 = а (k ∈ N),
2) х2к = а (k ∈ N)?
6. Запишіть усі розв’язки рівняння:
1) x2k+1 = а (k ∈ N);
2) х2k = а (k ∈ N):
а) при а > 0;
б) при а < 0;
в) при а = 0.
Наведіть приклади таких рівнянь і розв’яжіть їх.
7. Побудуйте графік функції у = , де k ∈ N, та сформулюйте її властивості.
8. Побудуйте графік функції у = , де k ∈ N, та сформулюйте її властивості.
ВПРАВИ
3.1.1. Перевірте правильність рівності:
3.1.2°, Обчисліть:
У завданнях 3.1.3-3.1.7 знайдіть значення виразу.
3.1.3.
3.1.4.
3.1.5.
3.1.6°.
3.1.7°.
3.1.8. Порівняйте числа:
3.1.9°. Визначте, при яких х має зміст вираз:
3.1.10. Подайте вираз у вигляді дробу, знаменник якого не містить кореня n-го степеня:
3.1.11. Винесіть множник з-під знака кореня (а > 0, b > 0):
3.1.12*. Винесіть множник з-під знака кореня:
3.1.13. Внесіть множник під знак кореня (а > 0, b > 0):
3.1.14*. Внесіть множник під знак кореня:
3.1.15. Спростіть вираз:
3.1.16°. Розв’яжіть рівняння:
3.1.17. Побудуйте графік функції:
3.1.18. Розв'яжіть графічно рівняння:
Перевірте підстановкою, що значення х дійсно є коренем рівняння.
3.1.19*. Доведіть, що рівняння, наведені в завданні 3.1.18, не мають інших коренів, крім знайдених графічно.
Виявіть свою компетентність
3.1.20. Перевірте правильність виконання завдання 3.1.18, побудувавши відповідні графіки за допомогою комп’ютерних програм.
3.2. Застосування властивостей кореня го-го степеня до розв’язування ірраціональних рівнянь
Таблиця 8
Поняття ірраціонального рівняння
Рівняння, у яких змінна міститься під знаком кореня, називають ірраціональними. Для того щоб розв'язати задане ірраціональне рівняння, його найчастіше зводять до раціонального рівняння за допомогою деяких перетворень.
З поясненням і обґрунтуванням розв'язування ірраціональних рівнянь та додатковими прикладами їх розв'язування можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.
ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ
1. Назвіть основні методи розв’язування ірраціональних рівнянь. Наведіть приклади застосування відповідних методів.
2. Поясніть, чому для розв’язування рівнянь + 3
- 4 = 0,
-
- 2 = 0 зручно використати заміну змінної. Укажіть заміну для кожного рівняння. Розв’яжіть ці рівняння.
ВПРАВИ
Розв’яжіть рівняння 3.2.1-3.2.6.
3.2.1.
3.2.2.
3.2.3.
3.2.4.
3.2.5.
3.2.6*.
3.2.7. Розв’яжіть систему рівнянь.