АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 1 ФУНКЦІЇ, ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ

§ 3. КОРІНЬ n-го СТЕПЕНЯ. АРИФМЕТИЧНИМ КОРІНЬ n-го СТЕПЕНЯ, ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

3.1. Корінь n-го степеня та його властивості. Функція у = та її графік

Таблиця 7

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

1. Означення кореня n-го степеня

Поняття кореня квадратного з числа а вам відоме: це таке число, квадрат якого дорівнює а. Аналогічно означають і корінь n-го степеня числа а, де n — довільне натуральне число, більше за 1.

Означення. Коренем n-го степеня з числа а називається таке число, n-й степінь якого дорівнює а.

Наприклад, корінь третього степеня з числа 27 дорівнює 3, оскільки З³ = 27; корінь третього степеня з числа -27 дорівнює -3, оскільки (-3)³ = -27. Числа 2 і -2 є коренями четвертого степеня з 16, оскільки 2⁴ = 16 і (-2)⁴ = 16.

При n = 2 та при n = 3 корені n-го степеня називають також відповідно квадратним та кубічним коренями.

Як і для квадратного кореня, для кореня n-го степеня вводять поняття арифметичного кореня.

Означення. Арифметичним коренем n-го степеня з числа а називається невід'ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.

При а ≥ 0 для арифметичного значення кореня n-го степеня з числа а існує спеціальне позначення*: ; число n називають показником кореня, а саме число а — підкореневим виразом. Знак і вираз називають також радикалом.

Наприклад, те, що корінь третього степеня з числа 27 дорівнює 3, записують так: = 3; те, що корінь четвертого степеня із 16 дорівнює 2, записують так: = 2. Але для запису того, що корінь четвертого степеня із 16 дорівнює -2, позначення немає.

При а < 0 значення кореня n-го степеня з числа а існує тільки при непарних значеннях n (оскільки не існує такого дійсного числа, парний степінь якого буде від’ємним числом). У цьому випадку корінь непарного степеня n із числа а теж позначають . Наприклад, те, що корінь третього степеня з числа -27 дорівнює -3, записують так: = -3. Оскільки -3 — від’ємне число, то не є арифметичним значенням кореня. Але корінь непарного степеня з від’ємного числа можна виразити через арифметичне значення кореня за допомогою формули

Щоб довести наведену формулу, зауважимо, що за означенням кореня n-го степеня ця рівність буде правильною, якщо

Дійсно,

а це й означає, що

Наприклад,

Зазначимо також, що значення

має той самий знак, що й число а, оскільки при піднесенні до непарного степеня знак числа не змінюється.

* Усі властивості виразів виду наведено для випадку n ∈ N, n ≥ 2 . При n = 1 домовилися вважати, що

Також за означенням кореня n-го степеня можна записати, що в тому випадку, коли існує значення , виконується рівність ( )ⁿ = а і, зокрема, при а ≥ 0 ( )² = а.

2. Область допустимих значень виразів із коренями n-го степеня. Розв'язки рівняння xⁿ = a (n ∈ N)

Зазначимо, що значення — кореня непарного степеня з числа a — існує при будь-яких значеннях a.

Тоді можна записати розв’язки рівняння хⁿ = а для непарних значень n = 2k +1: при будь-яких значеннях a рівняння х^2k+1 = а (k ∈ N) єдиний корінь х = .

Наприклад, рівняння х⁵ = 3 має єдиний корінь х = , a рівняння х⁷ =- 11 має єдиний корінь х = (ураховуючи, що х = = - , корінь для рівняння х⁷ = -11 можна записати так: х = - ).

Значення — кореня парного степеня з числа a — існує тільки при а ≥ 0.

Дійсно, у тому випадку, коли = х ,за означенням кореня n-го степеня а = х^2k. Отже, а ≥ 0.

Розглянемо розв’язки рівняння хⁿ = а для парних значень n = 2k (k ∈ N).

Рівняння х^2k = а (k ∈ N) при а < 0 не має коренів (оскільки парний степінь будь-якого числа не може бути від’ємним).

При а = 0 рівняння х^2k = 0 (k ∈ N) має єдиний корінь х = 0 (оскільки парний степінь будь-якого відмінного від нуля числа — число додатне, тобто не рівне нулю, а 0^2k = 0).

При а > 0 за означенням кореня 2k-го степеня

Отже,

— корінь рівняння х2k = а. Але

тому

— теж корінь рівняння х^2k = а. Інших коренів це рівняння не має, оскільки властивості функції у = х^2k аналогічні властивостям функції у = х² при х ≥ 0 функція зростає, отже, значення а вона може набувати тільки при одному значенні аргумента (х = ). Аналогічно при х ≤ 0 функція у = х^2k спадає, тому значення а вона може набувати тільки при одному значенні аргумента (х = -). Таким чином, рівняння х^2k = а при а > 0 має тільки два корені: х = ± .

Наприклад, рівняння х¹⁰ = -1 не має коренів, а рівняння х⁶ = 5 має корені х = ± .

3. Властивості кореня n-го степеня

Зазначені в табл. 7 властивості можна обґрунтувати, спираючись на означення кореня n-го степеня.

Нагадаємо, що за означенням кореня n-го степеня для доведення рівності = B (при A ≥ 0, B ≥ 0) достатньо перевірити рівність Bⁿ = A.

Наприклад, властивість кореня

при а ≥ 0 випливає з рівності

Зокрема,

(показник кореня і показник степеня підкореневого виразу поділили на натуральне число 3).

За допомогою формули = (а ≥ 0, b ≥ 0) можна одержати важливі наслідки: формули винесення множника з-під знака кореня або внесення множника під знак кореня.

Дійсно, при

Розглядаючи одержану формулу зліва направо, маємо формулу винесення невід’ємного множника з-під знака кореня:

а справа наліво — формулу внесення невід’ємного множника під знак кореня:

Наприклад,

Зазначимо ще одну властивість коренів n-го степеня: для будь-яких невід’ємних чисел а і b, якщо а > b, то > . Наприклад, ураховуючи, що 21 > 16, одержуємо > . Оскільки = 2, маємо, що > 2.

4. Графік функції у = (n ∈ N, n ≥ 2)

Графік функції у = (n ∈ N, n ≥ 2) для парних і непарних значень n та основні властивості цієї функції наведені в п. 4 табл. 7.

На рис. 3.1.1 в одній і тій самій системі координат зображено графіки функцій у = та у = і для порівняння — графік функції у = х.

Зауважимо, що графік функції у = можна побудувати, використовуючи графік функції у = хⁿ. Наприклад, функцію у = можна розглядати як обернену до функції у = х³, а отже, побудувати її графік (рис. 3.1.2) як криву, симетричну кубічній параболі у = х³ відносно прямої у = х.

Рис. 3.1.1

Рис. 3.1.2

Детальніше про корінь n-го степеня та його властивості, перетворення виразів з коренями n-го степеня, розв'язки рівняння хⁿ = а(n ∈ N, графік функції у = можна дізнатися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1. Знайдіть значення виразу:

Розв'язання

Коментар

Використаємо означення кореня n-го степеня. Запис = b означає, що bⁿ = а.

Приклад 2. Знайдіть значення виразу:

Коментар

Використаємо властивості кореня n-го степеня і врахуємо, що кожну формулу, яка виражає ці властивості, можна застосувати як зліва направо, так і справа наліво. Наприклад, для розв'язування завдання 1 скористаємося формулою = · ,а для розв'язування завдання 2 — цією самою формулою, але записаною справа наліво, тобто · = (при а ≥ 0, b ≥ 0).

Розв'язання

Приклад 3. Порівняйте числа:

Розв'язання

Коментар

Для порівняння заданих чисел у кожному завданні достатньо привести всі корені до одного показника кореня і врахувати, що для будь-яких невід'ємних чисел а і b, якщо а > b, то > .

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Дайте означення кореня n-го степеня з числа а. Наведіть приклади.

2. Дайте означення арифметичного кореня n-го степеня з числа а. Наведіть приклади.

3. При яких значеннях а існують вирази та (k ∈ N)?

4. Запишіть властивості кореня n-го степеня для невід’ємних значень підкореневих виразів.

5. При яких значеннях а має корені рівняння:

1) х^2к+1 = а (k ∈ N),

2) х^2к = а (k ∈ N)?

6. Запишіть усі розв’язки рівняння:

1) x^2k+1 = а (k ∈ N);

2) х^2k = а (k ∈ N):

а) при а > 0;

б) при а < 0;

в) при а = 0.

Наведіть приклади таких рівнянь і розв’яжіть їх.

7. Побудуйте графік функції у = , де k ∈ N, та сформулюйте її властивості.

8. Побудуйте графік функції у = , де k ∈ N, та сформулюйте її властивості.

ВПРАВИ

3.1.1. Перевірте правильність рівності:

3.1.2°, Обчисліть:

У завданнях 3.1.3-3.1.7 знайдіть значення виразу.

3.1.3.

3.1.4.

3.1.5.

3.1.6°.

3.1.7°.

3.1.8. Порівняйте числа:

3.1.9°. Визначте, при яких х має зміст вираз:

3.1.10. Подайте вираз у вигляді дробу, знаменник якого не містить кореня n-го степеня:

3.1.11. Винесіть множник з-під знака кореня (а > 0, b > 0):

3.1.12*. Винесіть множник з-під знака кореня:

3.1.13. Внесіть множник під знак кореня (а > 0, b > 0):

3.1.14*. Внесіть множник під знак кореня:

3.1.15. Спростіть вираз:

3.1.16°. Розв’яжіть рівняння:

3.1.17. Побудуйте графік функції:

3.1.18. Розв'яжіть графічно рівняння:

Перевірте підстановкою, що значення х дійсно є коренем рівняння.

3.1.19*. Доведіть, що рівняння, наведені в завданні 3.1.18, не мають інших коренів, крім знайдених графічно.

Виявіть свою компетентність

3.1.20. Перевірте правильність виконання завдання 3.1.18, побудувавши відповідні графіки за допомогою комп’ютерних програм.

3.2. Застосування властивостей кореня го-го степеня до розв’язування ірраціональних рівнянь

Таблиця 8

Поняття ірраціонального рівняння

Рівняння, у яких змінна міститься під знаком кореня, називають ірраціональними. Для того щоб розв'язати задане ірраціональне рівняння, його найчастіше зводять до раціонального рівняння за допомогою деяких перетворень.

З поясненням і обґрунтуванням розв'язування ірраціональних рівнянь та додатковими прикладами їх розв'язування можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Назвіть основні методи розв’язування ірраціональних рівнянь. Наведіть приклади застосування відповідних методів.

2. Поясніть, чому для розв’язування рівнянь + 3 - 4 = 0, - - 2 = 0 зручно використати заміну змінної. Укажіть заміну для кожного рівняння. Розв’яжіть ці рівняння.

ВПРАВИ

Розв’яжіть рівняння 3.2.1-3.2.6.

3.2.1.

3.2.2.

3.2.3.

3.2.4.

3.2.5.

3.2.6*.

3.2.7. Розв’яжіть систему рівнянь.