Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 2 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§ 13. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПЛОЩИН

Таблиця 13

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Поняття кута між площинами дозволяє означити перпендикулярність площин.

Означення. Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°.

Наочне уявлення про перпендикулярні площини дають площини стіни та стелі кімнати, площини дверей та підлоги (див. рисунок).

Теорема 13.1 (ознака перпендикулярності площин). Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до іншої площини, то ці площини перпендикулярні.

Доведення. Нехай а — дана площина, b — пряма, перпендикулярна до цієї площини (b а , в — площина, яка проходить через пряму b, і c — пряма, по якій перетинаються площини а і β (рис. 13.1). Доведемо, що площини а і β перпендикулярні. Проведемо в площині а через точку A перетину прямої b з площиною а (а отже, і з прямою є) пряму a, перпендикулярну до прямої c. Оскільки b а, то b c і b а. Як було показано в § 12, величина кута між площинами а і β дорівнює величині кута між прямими a і b, які лежать у цих площинах і перпендикулярні до прямої c їх перетину. Ураховуючи, що b a, одержуємо (а; β) = a; b) = 90°. Отже, площини а і β перпендикулярні.

Рис. 13.1

Зокрема, у кубі ABCDA1B1C1D1 (рис. 13.2) грані, які перетинаються, попарно перпендикулярні, оскільки, як було показано раніше, кожне ребро куба (наприклад, AA1) перпендикулярне до грані, яку воно перетинає (наприклад, до грані ABCD). Отже, площина, яка проходить через це ребро (наприклад, площина ADD1A) за ознакою перпендикулярності площин перпендикулярна до другої площини (до площини ABCD).

Рис. 13.2

Розглянемо ще одну властивість, яка пов’язує перпендикулярність двох площин і перпендикулярність прямої та площини.

Теорема 13.2. Пряма, проведена в одній із двох перпендикулярних площин перпендикулярно до прямої їх перетину, перпендикулярна до другої площини.

Доведення. Нехай перпендикулярні площини а і β перетинаються по прямій с і в площині β проведено пряму b перпендикулярно до прямої с (див. рис. 13.1). Доведемо, що b а.

Проведемо в площині а через точку А перетину прямих b і с пряму а, перпендикулярну до прямої с. Тоді величина кута між прямими а і b дорівнює величині кута між площинами а і β , тобто 90°. Отже, пряма b перпендикулярна до прямих а і с площини а, які перетинаються. За ознакою перпендикулярності прямої і площини b а.

ПРИКЛАД РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

Задача. Доведіть, що площина лінійного кута двогранного кута перпендикулярна до кожної грані двогранного кута.

Розв'язання

За означенням лінійного кута двогранного кута його площина у перпендикулярна до ребра с двогранного кута (рис. 13.3). Але кожна грань (а і β ) двогранного кута проходить через пряму с, перпендикулярну до площини γ. Отже, за ознакою перпендикулярності площин γ а і γ β .

Рис. 13.3

Коментар

Для доведення перпендикулярності двох площин можна використати ознаку перпендикулярності площин, а для цього достатньо з'ясувати, що одна з площин проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини.

Додаткові задачі, пов'язані з перпендикулярністю площин, та приклади їх розв'язування наведені в інтернет-підтримці підручника.

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Дайте означення двох перпендикулярних площин.

2. Сформулюйте ознаку перпендикулярності двох площин.

3. Сформулюйте властивість, яка пов’язує перпендикулярність двох площин та перпендикулярність прямої і площини.

ВПРАВИ

13.1°. Площина а перпендикулярна до площини β. Чи буде довільна пряма площини а перпендикулярною до площини β? (Проілюструйте відповідь на моделі перпендикулярних площин.)

13.2°. Дві площини перпендикулярні. Укажіть усі можливі випадки розташування прямої, яка лежить в одній площині, відносно прямої, що лежить у другій площині. (Проілюструйте свою відповідь на моделі.)

13.3°. Чи є правильним, що площина, яка проходить через похилу до іншої площини, завжди не перпендикулярна до цієї площини?

13.4°. Чи є правильним, що дві площини, перпендикулярні до третьої, паралельні?

13.5°. Чи є правильним, що пряма і площина, перпендикулярні до іншої площини, паралельні між собою?

13.6. Скільки площин, перпендикулярних до даної площини, можна провести через дану пряму?

13.7. Доведіть, що грані прямокутного паралелепіпеда, які перетинаються, попарно перпендикулярні.

13.8. Доведіть, що в кубі ABCDA1B1C1D1 перерізи АА1С1С і ВВ1D1D перпендикулярні. (Оскільки ці перерізи проходять через діагоналі граней куба, то їх називають діагональними перерізами.)

13.9. Із точок А і В, які лежать у двох взаємно перпендикулярних площинах, проведено перпендикуляри АС і BD до прямої перетину площин. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо:

1) АС = 6 м, BD = 7 м, CD = 6 м;

2) АС = 3 м, ВD = 4 м, СD = 12 м;

3) АD = 4 м, ВС = 7 м, СD = 1 м;

4) АD = ВС = 5 м, CD = 1 м;

5) АС = а, ВD = b, СD = с;

6) АD = a, ВС = b, СD = с.

Додаткові вправи див. в інтернет-підтримці підручника.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.