Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 2 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§ 14. ОРТОГОНАЛЬНЕ ПРОЕКТУВАННЯ

Таблиця 14

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

1. Означення та найпростіші властивості ортогонального проектування

Означення. Паралельне проектування в напрямі прямої, перпендикулярної до площини проектування, називається ортогональним проектуванням.

Якщо пряма а, яка задає напрям проектування, перпендикулярна до площини а (див. рисунок у табл. 14), то проектуючі прямі (наприклад, АА1 || а) теж будуть перпендикулярними до площини а. Інакше кажучи, проекцією точки буде основа перпендикуляра, проведеного з даної точки на площину (звичайно, якщо точка лежить на площині проекцій, то вона збігається зі своєю проекцією). Якщо вказаним чином побудувати проекцію кожної точки фігури, то одержимо проекцію самої фігури. Наприклад, якщо площина даного n-кутника і площина проекцій не перпендикулярні, то проекцією n-кутника є n-кутник (див. приклади, наведені в табл. 14).

Оскільки ортогональне проектування є окремим випадком паралельного проектування, то воно має всі його властивості, обґрунтовані в § 7. Нагадаємо їх.

Ортогональною проекцією прямої а, яка не перпендикулярна до площини проекцій, є деяка пряма а'. Якщо пряма а паралельна площині проекцій, то її проекція а' паралельна прямій а.

Проекцією паралельних прямих є паралельні прямі (якщо прямі не перпендикулярні до площини проекцій і площина даних прямих не перпендикулярна до площини проекцій).

Відношення довжин відрізків, які лежать на одній прямій (або на паралельних прямих), зберігається під час ортогонального проектування.

Якщо плоска фігура F лежить у площині, паралельній площині проекцій, то її проекція F' на цю площину дорівнює фігурі F.

Ортогональною проекцією кола, яке не перпендикулярне до площини проекцій, є еліпс (рис. 14.1). Нагадаємо, що проекцію кола одержують стискуванням або розтягуванням його в напрямі будь-якого діаметра в одне й те саме число разів.

Рис. 14.1

Зображення об’єктів за допомогою ортогонального проектування широко використовують у різноманітних галузях промисловості, наприклад в автомобілебудуванні (див. рисунок).

2. Площа ортогональної проекції многокутника

Теорема 14.1. Площа ортогональної проекції многокутника на площину дорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною многокутника і площиною проекцій:

Доведення. Розглянемо спочатку трикутник і його проекцію на площину, яка проходить через одну з його сторін (рис. 14.2). Проекцією трикутника АВС є трикутник АBС1 у площині а (СС1 а . Проведемо висоту CD трикутника АВС. За теоремою про три перпендикуляри С1D АВ, тобто відрізок CD — висота трикутника АВС1. Кут CDC1 дорівнює куту φ між площиною трикутника АВС і площиною проекцій а.

Маємо:

що і потрібно було довести.

Рис. 14.2

Із доведенням теореми 14.1 для загального випадку можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

Теорема справедлива і для випадку, якщо замість площини а взято будь-яку паралельну їй площину, оскільки проекцією трикутника АВС1 на площину, паралельну його площині, є трикутник, що дорівнює йому.

ПРИКЛАД РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

Задача. Проекцією прямокутника зі сторонами 6 см і 8 см на деяку площину є ромб із діагоналями 6 см і 8 см. Знайдіть кут між площинами прямокутника і ромба.

Розв'язання

Позначимо кут між площинами прямокутника і ромба через φ.

Оскільки Sпрямокутника = 6 · 8 = 48

Sромба = · 6 · 8 = 24 (см2), то за формулою площі ортогональної проекції

тобто 24 = 48 · cos φ. Звідси cos φ = , отже, φ = 60°.

Коментар

Як уже було зазначено, для знаходження кута достатньо знайти будь-яку його тригонометричну функцію, а для цього — використати співвідношення між площами фігури та її ортогональної проекції (Sпроеції = Sфігури· cos φ).

Для того щоб знайти площу ромба, слід пам'ятати, що вона дорівнює півдобутку діагоналей.

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Поясніть, як отримують ортогональну проекцію точки, фігури.

2. Сформулюйте основні властивості ортогональної проекції.

3. Сформулюйте властивість площі ортогональної проекції многокутника на площину. У якому випадку площа фігури дорівнює площі ортогональної проекції цієї фігури?

ВПРАВИ

14.1°. Чи є правильним твердження, що ортогональною проекцією прямокутного трикутника завжди є прямокутний трикутник?

14.2°. Наведіть приклад фігури в просторі, ортогональними проекціями якої на дві взаємно перпендикулярні площини є круги однакового радіуса.

14.3. Чи може площа ортогональної проекції фігури:

1) бути більшою, ніж площа цієї фігури;

2) бути меншою, ніж площа цієї фігури;

3) дорівнювати площі цієї фігури?

14.4°. Знайдіть довжину ортогональної проекції відрізка АВ на площину а, якщо АВ = а, а пряма АВ нахилена до площини а під кутом 30°.

14.5. Чи може ортогональна проекція відрізка бути:

1) меншою, ніж відрізок;

2) дорівнювати відрізку;

3) більшою, ніж відрізок?

14.6°. Чи може ортогональною проекцією трикутника бути:

1) відрізок;

2) квадрат?

14.7°. Якою фігурою є ортогональна проекція прямокутного паралелепіпеда на площину, паралельну його основі?

14.8. Діагоналі ромба дорівнюють 10 см і 4 см. Площина ромба утворює з площиною проекцій кут 60°. Знайдіть площу проекції ромба.

14.9. Знайдіть площу проекції фігури F на площину а, яка утворює кут 30° із площиною даної фігури, якщо фігурою F є:

1) квадрат, діагональ якого дорівнює 3 см;

2) правильний трикутник зі стороною а;

3) ромб, сторона якого дорівнює а, а кут — 45°.




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити