Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 2 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§ 15. ВІДСТАНІ МІЖ ФІГУРАМИ

Таблиця 15

* Позначення відстані між точкою А і площиною а (та між іншими фігурами) у вигляді р(А; а) не є загальноприйнятим, але іноді ми будемо його використовувати для скорочення записів.

ПОЯСНЕННЯ й ОБҐРУНТУВАННЯ

1. Відстань від точки до фігури

Відстань від точки до фігури (або між фігурами) вимірюють за найкоротшим шляхом.

Тому відстанню від точки A до фігури F називають відстань від цієї точки до найближчої точки фігури F.

Точка фігури F, найближча до точки A, — це така точка В ∈ F, що для всіх точок X фігури F виконується нерівність AВ ≤ AХ (рис. 15.1).

Інакше кажучи, якщо точка A не належить фігурі F, то відрізок AВ — найкоротший з усіх відрізків AХ, що сполучають точку A з точками фігури F. (Якщо ж A ∈ F, то точка A є найближчою до самої себе. У цьому разі вважають, що відстань дорівнює нулю. Надалі будемо розглядати випадки, коли A ∉ F.)

Рис. 15.1

Відстань від точки A до фігури F іноді будемо позначати так: р(A; F)*.

Розглянемо декілька прикладів.

Приклад 1. Відстань від точки A до прямої a дорівнює довжині перпендикуляра, проведеного з точки A на пряму а.

Приклад 2. Відстань від точки до площини дорівнює довжині перпендикуляра, проведеного із цієї точки на площину, або відстані від точки до її ортогональної проекції на площину. Ці два твердження випливають з того, що перпендикуляр є коротшим від похилої.

Зазначимо, що в деяких задачах буває важливим указати на зображенні просторової фігури основу перпендикуляра, проведеного із заданої точки на площину. Тоді доводиться використовувати практичні прийоми визначення відстані від точки до площини, які наведено в табл. 15.

Відстанню між двома фігурами називають відстань між найближчими точками цих фігур (якщо такі точки є).

Нагадаємо, що в планіметрії відстанню між двома паралельними прямими називається відстань від будь-якої точки однієї прямої до іншої прямої (оскільки всі відстані від точок однієї з паралельних прямих до другої прямої однакові).

* Це позначення не є загальноприйнятим, але іноді користуватися ним досить зручно.

Аналогічно означають поняття відстані між паралельними прямою і площиною та відстані між паралельними площинами.

Більш детальне пояснення відповідних означень наведено в інтернет-підтримці підручника.

Означення. Відстанню між паралельними прямою і площиною називається відстань від будь-якої точки прямої до площини.

Означення. Відстанню між двома паралельними площинами називається відстань від будь-якої точки однієї площини до другої площини.

Рейки на прямолінійній ділянці залізничної колії повинні залишатися паралельними: вони не можуть зближатися або віддалятися. Тому їх прикріплюють до шпал на одній і тій самій відстані одна від одної. Цю відстань називають шириною колії (див. рисунок).

Зазначимо, що з поняттями відстані від точки до площини та відстані між паралельними площинами пов’язані поняття висоти піраміди та призми.

Означення. Висотою піраміди називається перпендикуляр, проведений із вершини піраміди на площину її основи. Довжину цього перпендикуляра також називають висотою піраміди.

Наприклад, якщо в піраміді SABCD (рис. 15.2) SO пл. ABCD, то SO — висота піраміди, тобто висотою піраміди є відстань від її вершини до площини основи.

Рис. 15.2

Означення. Висотою призми називається перпендикуляр, проведений із точки однієї основи призми на площину другої її основи. Довжину цього перпендикуляра також називають висотою призми.

Наприклад, якщо в призмі ABCDEA1B1C1D1E1 (рис. 15.3) А1М пл. ABCDE, то А1М — висота призми. Оскільки в призмі площини основ паралельні, то висотою призми є відстань між площинами її основ.

Рис. 15.3

Зокрема, прямими призмами є куб і прямокутний паралелепіпед.

Із означення прямої призми випливає, що в прямій призмі висотою призми є бічне ребро.

Наприклад, якщо АВСА1В1С1 — пряма призма (рис. 15.4), то її висотою є будь-яке бічне ребро, наприклад АА1 (оскільки АА1 пл. АВС).

Дамо тепер означення поняття відстані між мимобіжними прямими.

Рис. 15.4

Означення 1. Спільним перпендикуляром до двох мимобіжних прямих називається відрізок із кінцями на цих прямих, перпендикулярний до кожної з них.

Означення 2. Відстанню між мимобіжними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра.

Теорема 15.1. Спільний перпендикуляр до двох мимобіжних прямих існує, і до того ж єдиний.

Із доведенням теореми можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

Означення. Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до площин основ.

3. Знаходження відстані між мимобіжними прямими

Нехай через мимобіжні прямі а і b проведено паралельні площини а і відповідно. Щоб обчислити відстань між прямими а і b, необов’язково будувати спільний перпендикуляр до них. Можна з будь-якої точки прямої а провести перпендикуляр на площину β і знайти його довжину, а можна знайти довжину довільного спільного перпендикуляра до площин а і β. Таким чином, знаходити відстань між мимобіжними прямими можна одним із чотирьох способів, наведених у табл. 15.

Більш детально з цими способами та їх застосуванням можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Кінці даного відрізка, який не перетинає площину, віддалені від неї на 2,7 м і 6,3 м. На яку відстань віддалена від площини середина цього відрізка?

Розв'язання

Нехай дано відрізок АВ, який не перетинає площину а, і точка М — його середина (рис. 15.5). Проведемо з точок А, В, М перпендикуляри на площину а (відповідно АА1, ВВ1, ММ1).

Рис. 15.5

Оскільки прямі, перпендикулярні до однієї площини, паралельні одна одній, то АА1 || ВВ1 || ММ1. Таким чином одержуємо ортогональну проекцію відрізка АВ на площину а. Оскільки точка М — середина АВ, то точка М1 — середина А1В1. Отже, ММ1 — середня лінія трапеції АА1В1В (АА1 || ВВ1), тому

Відповідь: 4,5 м.

Коментар

Ще до побудови рисунка до задачі слід згадати, що відстань від точки до площини вимірюють за перпендикуляром, проведеним з даної точки на площину, а також те, що прямі, перпендикулярні до однієї площини, паралельні одна одній. Тоді, розглядаючи дані точки та основи відповідних перпендикулярів, ми фактично одержимо паралельну (точніше, ортогональну) проекцію даного відрізка на площину. А оскільки проекцією відрізка є відрізок (а проекцією його середини — середина відрізка-проекції), то на відповідному рисунку (рис. 15.5) основи перпендикулярів будуть розміщені на одній прямій.

Задача 2. Доведіть, що в правильній піраміді висота проходить через центр основи.

Розв'язання

Нехай SABC — правильна піраміда (рис. 15.6) і SО — її висота (SO пл. АВС).

Рис. 15.6

Оскільки в правильній піраміді бічні ребра рівні: SA = SB = SC, то їх проекції на площину АВС теж дорівнюють одна одній: ОА = ОВ = ОС. Тоді точка О є центром описаного навколо основи кола, який збігається із центром правильного многокутника.

Коментар

Нагадаємо, що піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а всі бічні ребра дорівнюють одне одному. Центр правильного многокутника одночасно є і центром описаного навколо цього многокутника кола. Тому для доведення твердження задачі достатньо довести, що основою висоти є центр описаного кола. Доведення достатньо провести для трикутної піраміди, оскільки для n-кутної піраміди воно аналогічне.

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Поясніть, яку точку фігури вважають найближчою до даної точки; які точки двох фігур вважають найближчими.

2. Дайте означення відстані:

1) від точки до фігури;

2) між двома фігурами.

3. Дайте означення відстані:

1) від точки до прямої;

2) від точки до площини;

3) між паралельними прямими;

4) між паралельними прямою і площиною;

5) між паралельними площинами;

6) між мимобіжними прямими.

Обґрунтуйте, що в кожному із цих випадків як відстань дійсно вибирають відстань між найближчими точками фігур.

4. Поясніть, як практично можна визначити відстань від точки до площини. Проілюструйте ці практичні способи на каркасній моделі куба.

5. Дайте означення висоти:

1) піраміди;

2) призми.

Укажіть на моделі висоту прямокутного паралелепіпеда.

6. Поясніть, яка призма називається прямою. На моделі прямої призми вкажіть її висоту.

ВПРАВИ

15.1°. із точки А, яка не належить площині а, проведена похила до цієї площини. Визначте кут між цією похилою і площиною а, якщо відстань від точки А до площини а у два рази менша від довжини похилої.

15.2. У кубі АBСDА1B1С1D1 з ребром а знайдіть відстань між вершиною А і:

1) ребром B1С1;

2) діагоналлю B1D1 грані А1B1С1D1;

З*) діагоналлю куба А1С.

15.3°. Знайдіть відстань між паралельними гранями в кубі з ребром а.

15.4. У кубі АBСDА1B1С1D1 з ребром а знайдіть відстань:

1°) від вершини А1 до площини АBС;

2) від вершини В до площини АА1С.

15.5. У кубі АBСDА1B1С1D1 з ребром а знайдіть відстань між вершиною С і площиною АB1D1.

15.6. Відстань між двома паралельними площинами дорівнює а. Відрізок довжиною b кінцями упирається в ці площини. Знайдіть довжину проекції відрізка на кожну з площин.

15.7. Знайдіть відстань від середини відрізка АВ до площини, яка не перетинає цей відрізок, якщо відстані від точок А і В до площини дорівнюють:

1) З,2 см і 5,З см;

2) 7,4 см і 6,1 см;

З) а і b.

15.8*. Розв’яжіть задачу 15.7 за умови, що відрізок АВ перетинає дану площину.

15.9°. Дано зображення правильної піраміди SABCD з основою АBСD. Побудуйте зображення її висоти.

15.10. Дано зображення правильної піраміди SABC з основою АBС. Побудуйте зображення її висоти.

15.11. У кубі АBСDА1B1С1D1 з ребром а знайдіть відстань між мимобіжними прямими:




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити