Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 3 КООРДИНАТИ, ВЕКТОРИ, ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ У ПРОСТОРІ

§ 17. ВЕКТОРИ У ПРОСТОРІ

Таблиця 17

Про поняття вектора у просторі, операції над векторами у просторі, про розкладання вектора на площині за двома неколінеарними векторами та у просторі за трьома некомпланарними векторами більш детально ви можете дізнатися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ*

Задача 1. Дано чотири точки А(1; 5; -4), N(2; -1; 3), С(-3; 1; 2), D(-4; 7; - 5).

1) Укажіть серед векторів , , і рівні вектори.

2) Знайдіть довжини векторів і .

Розв'язання

Знайдемо координати заданих векторів:

Тоді:

Коментар

1) Рівні вектори мають рівні відповідні координати. Тому для розв'язання задачі знайдемо координати вказаних векторів і виберемо з них пари рівних векторів (для знаходження координат вектора треба від координат кінця вектора відняти відповідні координати початку).

2) Якщо (a1; а2; а3),то

* Із застосуванням координат і векторів до розв’язування геометричних задач можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

Задача 2. Знайдіть координати вершини D паралелограма ABCD, якщо A(3; 2; -1), B(5; -4; 7), C(-1; 2; 6).

Розв'язання

Нехай точка D має координати D(х; у; z). Тоді вектори і мають координати: (х - 3; у - 2; z +1), (-6; 6; -1).

Оскільки АВСD — паралелограм, то = . Рівні вектори мають рівні відповідні координати, тому х - 3 = -6, у - 2 = 6, z +1 = -1. Звідси х = -3, у = 8, z = -2. Тоді точка d має координати d(3; 8; - 2).

Коментар

Якщо АВСD — паралелограм, то у нього протилежні сторони (наприклад, ВС і АD) паралельні й рівні, але тоді й вектори і є рівними, а отже, є рівними і відповідні координати цих векторів.

Задача 3*. Визначте кути трикутника АВС, якщо його вершини мають координати А(1; 5; 3), В(3; 3; 2), С(3; 6; 5).

Розв'язання

Кут А трикутника АВС дорівнює куту між векторами і . Знайдемо координати цих векторів: (2; - 2; -1), = (2; 1; 2). Тоді скалярний добуток · = 2 · 2 + (-2) · 1 + (-1)-2 = 0. Але якщо скалярний добуток дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні, отже, А = 90°. Кут В трикутника АВС дорівнює куту між векторами (-2; 2; 1) і (0; 3; З). Маємо:

Тому

Отже, В = 45°, але тоді в прямокутному трикутнику АВС і С = 45°.

Коментар

Для визначення кутів трикутника можна використати те, що ці кути дорівнюють кутам між відповідними векторами. Наприклад, кут A дорівнює куту між векторами і . Із формули скалярного добутку · = || · || · cos φ отримуємо, що косинус кута між ненульовими векторами і можна обчислити за формулою

Для обчислення за цією формулою треба також використовувати формули для знаходження скалярного добутку векторів і долини вектора: якщо (a1; а2; а3), (b1; b2; b3), то

і

Також корисно пам'ятати: якщо скалярний добуток ненульових векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Дайте означення вектора, довжини вектора, рівних векторів.

2. Дайте означення координат вектора. Запишіть формулу для знаходження довжини вектора (a1; а2; а3).

3. Дайте означення суми векторів. Сформулюйте правила трикутника, паралелограма і паралелепіпеда для знаходження суми векторів. Проілюструйте їх застосування на прикладах.

4. Дайте означення добутку вектора на число. Зобразіть вектор а як направлений відрізок. Побудуйте вектори: 2, -3, 0,5, -.

5. Дайте означення скалярного добутку векторів. Поясніть на прикладах, як знаходити скалярний добуток векторів, заданих своїми координатами; заданих у вигляді напрямлених відрізків.

ВПРАВИ

Рис. 17.1

17.1°. Дано куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 17.1). Точки М і К — середини ребер АА1 і СС1 відповідно.

Укажіть вектори, які:

1) дорівнюють векторам , , , ;

2) протилежні до векторів , , , ;

3) колінеарні векторам і , але не дорівнюють їм;

17.2°. Дано точки А(2; 5; 7), В(3; -1; 2), С(-2; 1; 4),

D (2:3; -5), О (0; 0; 0). Знайдіть координати і довжину векторів:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

17.3°. Дано три точки А(1; 1; 1), В(-2; 1; 2), С(0; 2; -3). Знайдіть координати точки D(х; у; z), якщо вектор дорівнює вектору .

17.4°. Дано три точки А(1; 3; -1), В(-2; 4; 2), С(0; 3; -1). Знайдіть координати точки D(х; у; z), якщо векторі і протилежні.

17.5°. У кубі ABCDA1B1C1D1 (див. рис. 17.1) укажіть такий вектор із початком і кінцем у вершинах куба, який дорівнює:

17.6. Дано вектори (2; m; 5) і (4; 2; n). При яких значеннях m і n ці вектори є колінеарними?

17.7°. Знайдіть скалярний добуток векторів і , якщо:

17.8°. При якому значенні n вектори і є перпендикулярними, якщо:

17.9. Дано чотири точки А(1; 2; -2), В(1; -1; 2), С(2; 1; 0), D(14; 1; 5). Знайдіть косинус кута φ між векторами і .



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити