Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 3 КООРДИНАТИ, ВЕКТОРИ, ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ У ПРОСТОРІ

§ 18. ПЕРЕТВОРЕННЯ У ПРОСТОРІ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

Таблиця 18

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ*

1. Перетворення фігур. Рух

Нагадаємо поняття перетворення фігур, відоме вам із курсу планіметрії. Якщо кожну точку даної фігури перемістити яким-небудь чином, то ми отримаємо нову фігуру. Кажуть, що ця фігура отримана перетворенням з даної (рис. 18.1). Зауважимо, що на відміну від реального перетворення, яке можна уявити собі як неперервний процес, в геометрії для нас будуть мати значення тільки початкове і кінцеве положення фігури*.

Рис. 18.1

* Більш детально відповідний матеріал розглянуто в інтернет-підтримці підручника.

Рис. 18.2

Перетворення однієї фігури в іншу називається рухом, якщо воно зберігає відстані між точками, тобто переводить довільні дві точки X і Y однієї фігури в точки X' і Y' другої фігури так, що ХY = Х'Y' (рис. 18.2).

Поняття руху для фігур у просторі означається так само, як і на площині. Дослівно так само, як і для руху на площині, обґрунтовується, що при русі в просторі прямі переходять в прямі, промені — в промені, відрізки — у відрізки і зберігаються кути між променями.

Новою властивістю руху в просторі є те, що рух переводить площини в площини.

Із доведенням можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

Як і на площині, дві фігури у просторі називають рівними, якщо вони рухом переводяться одна в іншу (див. означення рівних фігур в § 1).

Так само, як і на площині, означають перетворення симетрії відносно точки і прямої.

Означення. Точки Х і X' простору називають симетричними відносно точки О, яку називають центром симетрії, якщо точка О є серединою відрізка XX'.

Точку О вважають симетричною самій собі (рис. 18.3).

Фігуру F у просторі називають центрально-симетричною відносно точки О, якщо кожна точка Х фігури F симетрична відносно точки О деякій точці X' фігури F.

Наприклад, куб центрально-симетричний відносно точки перетину його діагоналей (рис. 18.4) (обґрунтуйте це самостійно).

Рис. 18.3

Рис. 18.4

* Фактично поняття перетворення в геометрії має той самий зміст, що і поняття функції в курсі алгебри і початків аналізу. Тобто для перетворення однієї фігури в іншу потрібно встановити відповідність між точками цих фігур, при якій кожній точці першої фігури відповідає єдина точка другої фігури.

Означення. Точки Х і X' простору називають симетричними відносно прямої а, яку називають віссю симетрії, якщо пряма а проходить через середину відрізка XX' і перпендикулярна до цього відрізка (рис. 18.5).

Вважають, що точки прямої a симетричні самі собі.

Фігуру F у просторі називають симетричною відносно осі a, якщо кожна точка X фігури F симетрична відносно цієї осі деякій точці X' фігури F.

Наприклад, прямокутний паралелепіпед симетричний відносно осі, що проходить через точки перетину діагоналей протилежних граней (рис. 18.6) (обґрунтуйте самостійно).

Крім симетрії відносно точки і прямої, в просторі розглядається ще й перетворення симетрії відносно площини.

Означення. Точки Х і X' у просторі називаються симетричними відносно площини а, яку називають площиною симетрії, якщо ця площина проходить через середину відрізка XX' і перпендикулярна до нього.

Вважають, що точки площини а симетричні самі собі (рис. 18.7).

Симетрію відносно площини називають також дзеркальною симетрією.

Фігуру F у просторі називають симетричною (дзеркально-симетричною) відносно площини а, якщо кожна точка Х фігури F симетрична відносно цієї площини деякій точці X' фігури F.

Наприклад, прямокутний паралелепіпед симетричний відносно площини, що проходить через вісь симетрії і паралельна одній із пар протилежних граней (рис. 18.8) (обґрунтуйте самостійно).

Рис. 18.5

Рис. 18.6

Рис. 18.7

Рис. 18.8

Симетрія широко поширена в природі. Її можна спостерігати у формі листя і кольорах рослин, в розташуванні різних органів тварин, у формі кристалічних тіл.

Симетрія широко використовується на практиці, в будівництві і техніці.

Симетрію широко застосовують у декоративно-прикладному мистецтві, зокрема у вишиванках. Кожному регіону України притаманні свої унікальні вишиванки. Вони відрізняються фасоном, кольорами та способом вишивання, орнаментом і візерунками (рис. 18.9).

Рис. 18.9

2. Поворот. Фігури обертання

Нагадаємо, що точку X' на площині можна одержати з точки Х цієї площини поворотом навколо центра O на кут а, якщо OX' = OX і кут XOX' дорівнює а (рис. 18.10).

У просторі аналогом перетворення повороту на площині навколо точки є поворот навколо прямої.

Нехай у просторі задані пряма a і точка Х, що не належить цій прямій (рис. 18.11). Через точку Х проведемо площину β, перпендикулярну до прямої a, і точку перетину прямої а і площини β позначимо О.

Кажуть, що точка X' простору одержана з точки Х поворотом навколо прямої a на кут а, якщо в площині β точка X' одержана з точки Х поворотом навколо центра O на кут а.

Рис. 18.10

Означення. Перетворення простору, при якому точки прямої а залишаються на місці, а всі інші точки повертаються навколо цієї прямої (в одному і тому ж напрямі) на кут а, називається поворотом, або обертанням.

Пряму a при цьому називають віссю обертання.

Говорять, що фігура Ф у просторі одержана обертанням фігури F навколо осі a, якщо всі точки фігури Ф одержують поворотами точок фігури F навколо осі a. Фігуру Ф при цьому називають фігурою обертання.

Наприклад, при обертанні точки A навколо прямої a (рис. 18.12) одержуємо коло з центром у точці О, що є перетином прямої а з площиною, яка проходить через точку A і перпендикулярна до прямої а.

Сферу можна одержати обертанням кола навколо його діаметра (рис. 18.13).

Рис. 18.11

Рис. 18.12

Рис. 18.13

3. Паралельне перенесення у просторі

Означення. Паралельним перенесенням у просторі називається таке перетворення, при якому довільна точка (х; у; z) фігури переходить у точку (х + а; у + b; z + c), де числа а, b, с одні й ті самі для всіх точок (х; у; z).

Із обґрунтуванням властивостей паралельного перенесення, наведених в табл. 18, можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

4. Подібність просторових фігур

Перетворення подібності в просторі визначається так само, як і на площині.

Означення. Перетворення фігури F називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в одне й те саме число разів, тобто для будь-яких двох точок X і Y фігури ¥ і точок X', Y' фігури F', в які вони переходять, Х'Y' = kXY.

Так само, як і на площині, перетворення подібності в просторі переводить прямі в прямі, промені в промені, відрізки у відрізки і зберігає кути між променями. Такими самими міркуваннями, як і для руху, доводиться, що перетворення подібності переводить площини в площини.

Так само, як і на площині, дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в іншу перетворенням подібності (див. означення подібних фігур в § 1).

Найпростішим перетворенням подібності в просторі є гомотетія. Так само як і на площині, гомотетія відносно центра О з коефіцієнтом гомотетії k — це перетворення, яке переводить довільну точку X в точку X' променя ОХ таку, що ОХ'= kОХ.

Перетворення гомотетії в просторі переводить будь-яку площину, що не проходить через центр гомотетії, в паралельну площину (або в себе при k = 1).

Обґрунтування наведено в інтернет-підтримці підручника.

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Чи існує паралельне перенесення, при якому точка А переходить в точку В, а точка С — в точку D, якщо А(1; 3; 5), В(4; 0; 1), С(2; 4; 3), D (5;1; -1)?

Розв'язання

Порівняєм о координати векторів і : (3; -3; -4), (3; -3; - 4). Оскільки = , то доходимо висновку, що при паралельному перенесенні на вектор точка А переходить в точку В, а точка С — в точку D.

Коментар

При паралельному перенесенні точки зміщуються по паралельним (або таким, що збігаються) прямим на ту саму відстань, тобто точки зміщуються на один і той самий вектор а. Отже, якщо при паралельному перенесенні точка А переходить в точку В, а точка С — в точку D, то вектори і повинні бути рівними.

Задача 2. Дано точку (2; 3; 5). Знайдіть точки, симетричні даній відносно координатних площин.

Розв'язання

Точка А', симетрична точці А(2; 3; 5) відносно площини хОу, лежить на прямій, перпендикулярній до площини хОу, тому має ті самі координати х і у : х = 2, у = 3. Симетрична точка розташована на тій самій відстані від площини хОу, але по інший бік від неї. Тому координата z у неї відрізняється тільки знаком, тобто z = -5. Отже, точкою, симетричною точці А(2; 3; 5) відносно площини хОу, буде точка з координатами (2; 3; -5). Аналогічно точкою, симетричною точці А(2; 3; 5) відносно площини хОz, буде точка з координатами (2; -3; 5), і точкою, симетричною точці А(2; 3; 5) відносно площини уОz, буде точка з координатами (-2; 3; 5).

Коментар

Для побудови точки, симетричної заданій точці А(2; 3; 5) відносно площини хОу, потрібно провести пряму АА' пл. хОу і від точки А1 перетину цієї прямої з площиною хОу відкласти відрізок А1А' = АА1. Тоді точки А і А' матимуть однакові координати х і у, а координати z у них відрізнятимуться тільки знаком (рис. 18.14).

Рис. 18.14

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Яке перетворення фігури називають рухом?

2. Які фігури в просторі називають рівними?

3. Що таке перетворення симетрії відносно точки? Яку фігуру називають центрально-симетричною?

4. Поясніть, що таке перетворення симетрії відносно площини. Яку фігуру називають симетричною відносно площини?

5. Дайте означення паралельного перенесення.

6. Назвіть властивості паралельного перенесення.

7. Що таке перетворення подібності? Назвіть його властивості. Які фігури називають подібними?

8. Яке перетворення називають гомотетією? Назвіть властивості гомотетії.

ВПРАВИ

18.1. Наведіть приклади центрально-симетричних і не центрально-симетричних фігур.

18.2°. Чи може центр симетрії фігури не належати їй?

18.3. Побудуйте фігуру, симетричну кубу ABCDA1B1C1D1 (рис. 18.15):

1) відносно центра А;

2) відносно площини ВВ1С1С.

Рис. 18.15

18.4. Чи існують точки, прямі і площини, які при центральній симетрії відображуються у себе?

Відповідь проілюструйте на рисунку.

18.5. Знайдіть центр, осі та площини симетрії фігури, що складається з двох прямих, які перетинаються.

18.6. Скільки осей симетрії має:

1) прямокутний паралелепіпед, який не є кубом;

2) куб?

18.7. Скільки осей симетрії має сфера?

18.8. Скільки площин симетрії має:

1) прямокутний паралелепіпед, який не є кубом;

2) куб?

18.9. Наведіть приклади просторових фігур, у яких є вісь симетрії, але немає площини симетрії, і навпаки, є площина симетрії, але немає осі симетрії.

18.10. Які види симетрії має куб?

18.11. Скільки у правильної шестикутної призми:

1) осей симетрії;

2) площин симетрії?

18.12. Скільки у правильної трикутної призми:

1) осей симетрії;

2) площин симетрії?

18.13. В основі прямої призми лежить ромб. Скільки вона має:

1) осей симетрії;

2) площин симетрії?

18.14. Скільки осей і площин симетрії має правильна піраміда, в основі якої лежить многокутник з:

1) парним числом сторін;

2) непарним числом сторін?

18.15. Чи може фігура мати рівно два центри симетрії? Відповідь обґрунтуйте.

18.16. Доведіть, що перетворення симетрії відносно координатних площин задається формулами:

1) х' = х, у' = у, z' = -z — відносно площини хОу;

2) х' = х , у' = -у, z' = z — відносно площини xOz;

3) х' =-х, у' = -х, z' = z — відносно площини yOz.

18.17. Знайдіть точки, симетричні відносно координатних площин точкам:

1) (2; -7; 3);

2) (-3; 4; 1);

3) (5; -3; 7).

18.18. Знайдіть точки, симетричні відносно початку координат точкам:

1) (2; -7; 3);

2) (-3;4; 1);

3) (5; -3; 7).

18.19. Знайдіть значення а, b, с у формулах паралельного перенесення х = х + а, у = у + b, z = z + с, внаслідок якого точка А(3; 2; 0) переходить у точку А'(2; 0; 5).

18.20. При паралельному перенесенні точка А (1; -1; 3) переходить у точку А'(3; -5; 2). У яку точку переходить при цьому початок координат?

Із застосуванням координат і векторів до розв'язування стереометричних задач можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.