Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік
АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
Розділ 1 ФУНКЦІЇ, ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ
§ 4. СТЕПІНЬ З РАЦІОНАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ
Таблиця 9
ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ
Вам відомі поняття степенів з натуральним і цілим показниками. Нагадаємо їх означення та властивості.
Якщо n — натуральне число, більше за 1, то для будь-якого дійсного числа а
тобто аn дорівнює добутку n співмножників, кожен із яких дорівнює а.
При n = 1 вважають, що а1 = а .
Якщо а ≠ 0, то а0 = 1 і
де n — натуральне число.
Наприклад,
Також вам відомі основні властивості степенів, наведені в п. 3 табл. 9.
Узагальнимо поняття степеня для виразів виду 
; 60,2; 
і т. п., тобто для степенів з раціональними показниками. Відповідне означення бажано дати так, щоб степені з раціональними показниками мали ті самі властивості, що й степені з цілими показниками.
Наприклад, якщо ми хочемо, щоб виконувалася властивість
то повинна виконуватися рівність
Але за означенням кореня n-го степеня остання рівність означає, що число 
є коренем n-го степеня з числа аm. Це приводить нас до такого означення.
Означення. Степенем числа а > 0 з раціональним показником r = 
, де m — ціле число, а n — натуральне число (n > 1), називається число
.
Також за означенням приймемо, що при r > 0 0r = 0.
Наприклад, за означенням степеня з раціональним показником:
Значення степеня з раціональним показником 
(де n > 1) не означають при а < 0.
Можна показати (див. інтернет-підтримку підручника), що для введеного означення степеня із раціональним показником зберігаються всі властивості степенів із цілими показниками (відмінність полягає в тому, що наведені далі властивості є правильними тільки для додатних основ).
Для будь-яких раціональних чисел r і s та будь-яких додатних чисел а і b виконуються рівності:
ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ
Приклад 1. Подайте вираз у вигляді степеня з раціональним показником:
Розв'язання
Коментар
За означенням степеня з раціональним показником для а > 0
Для завдання 3 врахуємо, що вираз 
означений також і при a = 0.
У завданні 4 при a < 0 ми не маємо права користуватися формулою (1). Але якщо врахувати, що a2 =|a|2, то для основи |а| формулою (1) уже можна скористатися, оскільки| a| ≥ 0.
Приклад 2. Спростіть вираз
Розв'язання
Коментар
Оскільки задані приклади вже містять
вирази 
, 
, то а ≥ 0, b≥ 0. Тоді в завданні 1 невід'ємні числа а і b можна подати як квадрати:
і використати формулу різниці квадратів:
Приклад 3. Розв'яжіть рівняння:
Розв'язання
1) 
= 1. ОДЗ: x ∈ R,
х2 = 1;
х = ±1.
Відповідь: ±1.
2*) 
= 1. ОДЗ: x > 0.
х2 = 1;
х = ±1.
Ураховуючи ОДЗ, одержуємо х = 1.
Відповідь: 1.
Коментар
Область допустимих значень рівняння = 1 — усі дійсні числа, а рівняння
= 1 — тільки х ≥ 0.
При піднесенні обох частин рівняння до куба одержуємо рівняння, рівносильне заданому на його ОДЗ. Отже, перше рівняння задовольняють усі знайдені корені, а друге — тільки невід'ємні.
(У завданні 1 також ураховано, що
а в завданні 2 — що
ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ
1. Дайте означення степеня з натуральним, цілим від’ємним та нульовим показниками. Наведіть приклади обчислення таких степенів.
2. Дайте означення степеня з раціональним показником r = , де m - ціле число, а n — натуральне, не рівне 1. Наведіть приклади обчислення таких степенів. При яких значеннях а існують значення виразу Укажіть область допустимих значень виразів 
і 
.
ВПРАВИ
4.1°. Подайте вираз у вигляді кореня з числа:
4.2. Подайте вираз у вигляді степеня з раціональним показником:
4.3°. Чи має зміст вираз:
4.4. Знайдіть область допустимих значень виразу:
4.5. Знайдіть значення числового виразу:
4.6. Розкладіть на множники:
4.7. Скоротіть дріб:
Спростіть вирази 4.8—4.9.
4.8.
4.9.
4.10. Розв’яжіть рівняння:
