АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 1 ФУНКЦІЇ, ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ

§ 4. СТЕПІНЬ З РАЦІОНАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

Таблиця 9

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Вам відомі поняття степенів з натуральним і цілим показниками. Нагадаємо їх означення та властивості.

Якщо n — натуральне число, більше за 1, то для будь-якого дійсного числа а

тобто аⁿ дорівнює добутку n співмножників, кожен із яких дорівнює а.

При n = 1 вважають, що а¹ = а .

Якщо а ≠ 0, то а⁰ = 1 і

де n — натуральне число.

Наприклад,

Також вам відомі основні властивості степенів, наведені в п. 3 табл. 9.

Узагальнимо поняття степеня для виразів виду ; 6^0,2; і т. п., тобто для степенів з раціональними показниками. Відповідне означення бажано дати так, щоб степені з раціональними показниками мали ті самі властивості, що й степені з цілими показниками.

Наприклад, якщо ми хочемо, щоб виконувалася властивість

то повинна виконуватися рівність

Але за означенням кореня n-го степеня остання рівність означає, що число є коренем n-го степеня з числа а^m. Це приводить нас до такого означення.

Означення. Степенем числа а > 0 з раціональним показником r = , де m — ціле число, а n — натуральне число (n > 1), називається число.

Також за означенням приймемо, що при r > 0 0^r = 0.

Наприклад, за означенням степеня з раціональним показником:

Значення степеня з раціональним показником (де n > 1) не означають при а < 0.

Можна показати (див. інтернет-підтримку підручника), що для введеного означення степеня із раціональним показником зберігаються всі властивості степенів із цілими показниками (відмінність полягає в тому, що наведені далі властивості є правильними тільки для додатних основ).

Для будь-яких раціональних чисел r і s та будь-яких додатних чисел а і b виконуються рівності:

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1. Подайте вираз у вигляді степеня з раціональним показником:

Розв'язання

Коментар

За означенням степеня з раціональним показником для а > 0

Для завдання 3 врахуємо, що вираз означений також і при a = 0.

У завданні 4 при a < 0 ми не маємо права користуватися формулою (1). Але якщо врахувати, що a² =|a|², то для основи |а| формулою (1) уже можна скористатися, оскільки| a| ≥ 0.

Приклад 2. Спростіть вираз

Розв'язання

Коментар

Оскільки задані приклади вже містять

вирази , , то а ≥ 0, b≥ 0. Тоді в завданні 1 невід'ємні числа а і b можна подати як квадрати:

і використати формулу різниці квадратів:

Приклад 3. Розв'яжіть рівняння:

Розв'язання

1) = 1. ОДЗ: x ∈ R,

х² = 1;

х = ±1.

Відповідь: ±1.

2*) = 1. ОДЗ: x > 0.

х² = 1;

х = ±1.

Ураховуючи ОДЗ, одержуємо х = 1.

Відповідь: 1.

Коментар

Область допустимих значень рівняння = 1 — усі дійсні числа, а рівняння = 1 — тільки х ≥ 0.

При піднесенні обох частин рівняння до куба одержуємо рівняння, рівносильне заданому на його ОДЗ. Отже, перше рівняння задовольняють усі знайдені корені, а друге — тільки невід'ємні.

(У завданні 1 також ураховано, що

а в завданні 2 — що

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Дайте означення степеня з натуральним, цілим від’ємним та нульовим показниками. Наведіть приклади обчислення таких степенів.

2. Дайте означення степеня з раціональним показником r = , де m - ціле число, а n — натуральне, не рівне 1. Наведіть приклади обчислення таких степенів. При яких значеннях а існують значення виразу Укажіть область допустимих значень виразів і .

ВПРАВИ

4.1°. Подайте вираз у вигляді кореня з числа:

4.2. Подайте вираз у вигляді степеня з раціональним показником:

4.3°. Чи має зміст вираз:

4.4. Знайдіть область допустимих значень виразу:

4.5. Знайдіть значення числового виразу:

4.6. Розкладіть на множники:

4.7. Скоротіть дріб:

Спростіть вирази 4.8—4.9.

4.8.

4.9.

4.10. Розв’яжіть рівняння: