Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 1 ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§9 РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ З ПАРАМЕТРАМИ

9.1. Розв'язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Якщо крім змінної та числових коефіцієнтів до запису рівняння чи нерівності входять також буквені коефіцієнти — параметри, то під час розв’язування можна користуватися таким орієнтиром.

Будь-яке рівняння чи нерівність з параметрами можна розв'язувати як звичайне рівняння чи нерівність до тих пір, поки всі перетворення або міркування, необхідні для розв'язування, можна виконати однозначно. Якщо якесь перетворення не можна виконати однозначно, то розв'язування необхідно розбити на кілька випадків, щоб у кожному з них відповідь через параметри записувалася однозначно.

На етапі пошуку плану розв’язування рівняння чи нерівності з параметрами або в ході розв’язування часто зручно супроводжувати відповідні міркування схемами, за якими легко простежити, у який момент ми не змогли однозначно виконати необхідні перетворення, на скільки випадків довелося розбити розв’язання та чим відрізняється один випадок від іншого. Щоб на таких схемах (чи в записах громіздких розв’язань) не загубити якусь відповідь, доцільно поміщати остаточні відповіді в прямокутні рамки. Зауважимо, що відповідь треба записати для всіх можливих значень параметра.

Приклад 1

Розв’яжіть нерівність зі змінною х:

3ах + 2 ≥ х + 5а.

Коментар

Задана нерівність є лінійною відносно змінної х, тому використаємо відомий алгоритм розв’язування лінійної нерівності:

1) переносимо члени зі змінною х в одну частину, а без х = у другу: 3ах - х ≥ 5а - 2;

2) виносимо в лівій частині за дужки спільний множник х, тобто приводимо нерівність до вигляду Ах ≥ В: (3а - 1)х ≥ 5а – 2.

Для знаходження розв’язків останньої нерівності ми б хотіли поділити обидві її частини на (3а - 1). Але якщо обидві частини нерівності поділити на додатне число, то знак нерівності не зміниться, а якщо на від’ємне, то знак нерівності необхідно змінити на протилежний. Крім того, слід урахувати, що на нуль ділити не можна. Отже, починаючи з цього моменту потрібно розглянути три випадки: 3а - 1 > 0, 3а -1 < 0, 3а - 1 = 0.

Наведені вище міркування можна наочно записати так.

Розв’язання

3 ах - х ≥ 5а - 2

Відповідь:

Приклад 2

Розв’яжіть рівняння відносно змінної х.

Коментар

Будемо виконувати рівносильні перетворення заданого рівняння. Для цього знайдемо його ОДЗ (знаменники дробів не дорівнюють нулю). Якщо далі обидві частини рівняння помножити на добуток виразів, що стоять у знаменниках дробів (і який не дорівнює нулю на ОДЗ рівняння), то одержимо рівняння ах - 5х + 4а = 0, рівносильне заданому (на ОДЗ заданого). Але останнє рівняння буде квадратним тільки при а ≠ 0 , тому для його розв’язування слід розглянути два випадки (а = 0 і а ≠ 0 ).

Якщо а ≠ 0 , то для дослідження одержаного квадратного рівняння потрібно розглянути ще три випадки: D = 0, D < 0, D > 0 і в кожному з них перевірити, чи входять знайдені корені до ОДЗ. При = 0 зручно використати той факт, що значення кореня відповідного квадратного рівняння збігається з абсцисою вершини параболи у = ах2 - 5х + 4а, тобтоx = x0 = = .

Розглядаючи випадок D >0 , слід пам’ятати також про попереднє обмеження: а ≠ 0. Оскільки корені рівняння (1) записуються достатньо громіздкими формулами (див. розв’язання), то для врахування ОДЗ замість підстановки одержаних коренів в обмеження ОДЗ підставимо «заборонені» значення х у рівняння (1) і з’ясуємо, при яких значеннях параметра а ми отримаємо значення х, які не входять до ОДЗ, а потім перевіримо отримані значення параметра.

Розв’язання

ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ а. На цій ОДЗ задане рівняння рівносильне рівнянням:

ах2 - х = 4х - 4а; ах2 - 5х + 4а= 0 . (1)

1. Якщо а = 0, то з рівняння (1) одержуємо х = 0 — не входить до ОДЗ, отже, при а = 0 коренів немає.

2. Якщо а ≠ 0, то рівняння (1) — квадратне.

Його дискримінант D = 25 - 16a.

Розглянемо три випадки:

1) -0 = 0, тобто 25 - 16а2 = 0; а = ±.

Тоді рівняння (1) має одне значення кореня x = .

а) Якщо а = , то корінь х = 2 рівняння (1) входить до ОДЗ і є коренем заданого рівняння.

б) Якщо а = -, то корінь х = -2 рівняння (1) теж входить до ОДЗ і є коренем заданого рівняння.

2) D < 0 , тобто 25 - 16а2 < 0, отже, а < - або а > .

Тоді рівняння (1) не має коренів.

3) D > 0, тобто 25 - 16а > 0, отже, < a < , але а ≠ 0 .

Тоді рівняння (1) має два корені:

(2)

З’ясуємо, при яких значеннях а знайдені корені не входять до ОДЗ, тобто при яких значеннях а одержуємо х = 0 і х = а . Підставляючи в рівняння (1) х = 0, одержуємо а = 0, але при а = 0 задане рівняння не має коренів.

Підставляючи в рівняння (1) х = а, одержуємо а3 - 5а + 4а = 0, тобто а - а - 0, а(а2 - 1) = 0. Тоді а = 0 (задане рівняння не має коренів) або а = ±1.

При а = 1 ОДЗ записується так: х ≠ 0, х ≠ 1. Із формули коренів (2) маємо х1 = 4 (входить до ОДЗ) і х2 = 1 (не входить до ОДЗ). Отже, при а = 1 задане рівняння має тільки один корінь х = 4.

При а = -1 ОДЗ записується так: х ≠ 0, х ≠ -1, а з формули коренів (2) отримаємо: х1 = -4 (входить до ОДЗ) і х2 = - 1 (не входить до ОДЗ). Отже, при а = - 1 задане рівняння має тільки один корінь х = -4.

Таким чином, формулу коренів (2) можна використовувати, якщо - < a < , тільки при а ≠ 0 і а ≠ ±1.

Відповідь:

Зауваження. Щоб полегшити запис відповіді в цьому й аналогічних прикладах, можна користуватися таким способом. Перш ніж записати відповіді, в складних або громіздких випадках зобразимо вісь параметра (а) і позначимо на ній усі особливі значення параметра, які з’явилися в процесі розв’язування. Під віссю параметра (лівіше від неї) випишемо всі одержані розв’язки (крім розв’язку «коренів немає») і напроти кожної відповіді позначимо значення параметра, при яких цю відповідь можна використовувати (рис. 9.1.1). Після цього відповідь записують для кожного з особливих значень параметра і для кожного з одержаних проміжків осі параметра.

Зокрема, у розглянутому прикладі, перш ніж записати відповідь, зручно зобразити на чернетці таку схему (рис. 9.1.1).

Рис. 9.1.1

9.2. Дослідницькі задачі з параметрами

Деякі дослідницькі задачі з параметрами вдається розв’язати за такою схемою:

1) розв’язати задане рівняння чи нерівність; 2) дослідити одержаний розв’язок.

Приклад 1

Знайдіть усі значення а, при яких рівняння має єдиний корінь.

Розв’язання*

ОДЗ: х ≠-1. На ОДЗ одержуємо рівносильне рівняння (х + а)(х - 5а) = 0.

Тоді х + а = 0 або х - 5а = 0.

Одержуємо х = -а або х - 5а .

Урахуємо ОДЗ. Для цього з’ясуємо, коли х = -7:

* Більш детальне розв’язання наведено в інтернет-підтримці підручника.

-а = -7 при а = 7, 5а = -7 при а = - .

Тоді при а = 7 одержуємо:

х = -а = -7 — сторонній корінь;

х = 5а = 35 — єдиний корінь.

При а = - одержуємо:

х = 5а = -7 — сторонній корінь;

х = -а = — єдиний корінь.

Також задане рівняння матиме єдиний корінь, якщо -а = 5а , тобто при а = 0 (тоді х = -а = 0 та х = 5а = 0 ≠ -7).

Відповідь: а = 7, а = - , а = 0.

Дослідження кількості розв’язків рівнянь та їх систем

Під час розв’язування деяких завдань із параметрами можна користуватися таким орієнтиром.

Якщо в завданні з параметрами йдеться про кількість розв'язків рівняння (нерівності або системи), то для аналізу заданої ситуації часто зручно використовувати графічну ілюстрацію розв'язування.

Достатньо простим є відповідне дослідження в тому випадку, коли задане рівняння можна подати у вигляді f(x) = а, оскільки графік функції у = а — це пряма, паралельна осі Ох (яка перетинає вісь Оу в точці а). Зазначимо, що, замінюючи задане рівняння на рівняння f(x) = а, потрібно слідкувати за рівносильністю виконаних перетворень, щоб одержане рівняння мало ті самі корені, що й задане, а отже, і кількість коренів у них була однаковою. Для того щоб визначити, скільки коренів має рівняння f(x) = а, достатньо визначити, скільки точок перетину має графік функції у = f(x) із прямою у = а при різних значеннях параметра а. (Для цього на відповідному рисунку доцільно зобразити всі характерні положення прямої.)

Приклад 2

Скільки коренів має рівняння залежно від значення параметра а?

Розв’язання

Побудуємо графіки функцій та у = а (рис. 9.2.1). Аналізуючи взаємне розміщення одержаних графіків, отримуємо відповідь:

1) при а < 0 рівняння коренів не має;

2) при а = 0 рівняння має 3 корені;

3) при а < 0 < 4 рівняння має 6 коренів;

4) при а = 4 рівняння має 4 корені;

5) при а > 4 рівняння має 2 корені.

Рис. 9.2.1

Коментар

Оскільки в цьому завданні мова йде про кількість розв’язків рівняння, то для аналізу заданої ситуації спробуємо використати графічну ілюстрацію розв’язування.

1. Будуємо графік функції (ураховуючи, що х2 = |х|2 , побудова може відбуватися, наприклад, за такими етапами:

2. Будуємо графік функції у = а.

3. Аналізуємо взаємне розміщення одержаних графіків і записуємо відповідь (кількість коренів рівняння f(x) = а дорівнює кількості точок перетину графіка функції у = f(x) з прямою у = а).

Зазначимо, що значну кількість дослідницьких завдань не вдається розв’язати безпосередніми обчисленнями (або такі обчислення є дуже громіздкими). Тому часто доводиться спочатку обґрунтувати якусь властивість заданого рівняння або нерівності, а потім, користуючись цією властивістю, давати відповідь на запитання задачі.

Наприклад, беручи до уваги парність функцій, що входять до запису заданого рівняння, можна використовувати такий орієнтир.

Якщо в рівнянні f(x) = 0 функція f(x) є парною або непарною, то разом із будь-яким коренем а ми можемо вказати ще один корінь цього рівняння (-а).

Приклад 3

Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння має єдиний корінь.

х4 - а| х |3 + а2 - 4 = 0 (1)

Розв’язання

Функція f(х) = х4 - а | х |3 + а2 - 4 є парною (D(f) = R, f (-x) - f(x)).

Якщо х = а — корінь рівняння (1), то х = - а теж є коренем цього рівняння. Тому єдиний корінь у заданого рівняння може бути тільки тоді, коли а = -а , тобто а = 0. Отже, єдиним коренем заданого рівняння може бути тільки х = 0. Якщо х = 0 , то з рівняння (1) одержуємо а - 4 = 0, тоді а = 2 або а = -2.

При а = 2 рівняння (1) перетворюється на рівняння Х4 - 2|Х|3 = 0. Тоді | х |4 - 2| х |3 = 0 ; | х |3 - (| х | -2) = 0 . Одержуємо | х |3 = 0 (тоді | х | = 0, тобто х = 0) або | х | - 2 = 0 (тоді |х| = 2, тобто х = ±2 ). Отже, при а = 2 рівняння (1) має три корені, тобто умова задачі не виконується.

При а = -2 рівняння (1) перетворюється на рівняння х4 + 2 | х |3 =0. Тоді | х |4 + 2| х |3 = 0 ; |х|3 ∙ (|х| + 2) = 0. Оскільки | х | + 2 ≠ 0, то одержуємо | x | = 0 . Тоді | x | = 0 , тобто х = 0 — єдиний корінь. Отже, а = -2 задовольняє умову задачі.

Відповідь: а =-2.

Коментар

Помічаємо, що в лівій частині заданого рівняння стоїть парна функція, і використовуємо орієнтир, наведений вище. Дійсно, якщо х = а — корінь рівняння f(х) = 0, то f(а) = 0 — правильна числова рівність. Ураховуючи парність

функції f(x), маємо f(-a) = f(a) = 0. Отже, х = -а — теж корінь рівняння f(х) = 0. Єдиний корінь у цього рівняння може бути тільки тоді, коли корені а і -а збігаються. Тоді х = а = -а = 0 .

З’ясуємо, чи існують такі значення параметра а, при яких х = 0 є коренем рівняння (1). (Це значення а = 2 і а = -2.)

Оскільки значення а = 2 і а = -2 ми одержали з умови, що х = 0 — корінь рівняння (1), то необхідно перевірити, чи дійсно при цих значеннях а задане рівняння матиме єдиний корінь.

Під час розв’язування доцільно використати рівність х4 = | х |4 .

9.3. Використання умов розміщення коренів квадратного тричлена f(x) = ах2 + bх + с (а ≠ 0) відносно заданих чисел А і В

Розв’язування деяких дослідницьких задач із параметрами можна звести до використання необхідних і достатніх умов розміщення коренів квадратного тричлена.

3 відповідними умовами та їх обґрунтуванням, прикладом їх застосування та додатковими прикладами розв'язування завдань з параметрами можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

Вправи

У завданнях 9.1-9.3 розв’яжіть рівняння та нерівності зі змінною х.

9.1.

1) 5ах - а - ах + а; 3) ах + 7а ≤ ах + 8а;

2) 4 - ах = 2х + 7а, 4) 2а - 6х > 2ах + 11.

9.2.

9.3.

9.4. Знайдіть усі значення а, при яких задане рівняння має єдиний корінь:

9.5. Знайдіть усі значення а, при яких задане рівняння має єдиний корінь:

1) х8 + ах6 + а2 + 4а = 0; 2) х4 + ах2 + а2 - а = 0.

9.6. Для кожного значення параметра b знайдіть число коренів рівняння 2х2 + 10х + | 6х + 30 | = 6.

9.7. Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння | х2 - 2ах | = 1 має рівно три різних корені.

9.8. Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння | х2 + 2х + а | = 2 має чотири різних корені.

9.9. Знайдіть найбільше значення параметра k, при якому обидва корені рівняння х2 + (2k + 6)х + 4k + 12 — 0 більші за -1.

9.10. Знайдіть усі значення параметра m, для яких рівняння (m - 2)х2 - 2(m + 3)х + 4m = 0 має один корінь більший за 3, а другий — менший від 2.

Додаткові завдання до теми «Функції, многочлени, рівняння і нерівності» наведено на сайті interactive.ranok.com.ua.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПІДГОТОВКИ ДО ОЦІНЮВАННЯ

Тест № 1

1. Укажіть рисунок, на якому зображено графік функції y = (х - 1)2 + 1.

2. Знайдіть область визначення функції, заданої формулою

А (-∞; +∞]

Б (-∞; 1)U(1; +∞)

В (-∞; -1)U(-1;+∞)

Г (-1; 1)

3. Знайдіть область визначення функції, графік якої зображено на рисунку.

А (-3; 3)

Б [-3; 3]

В (-5; 9)

Г [-5; 9]

4. Знайдіть область значень функції, графік якої зображено на рисунку до завдання 3.

А (-3; 3)

Б [-3; 3]

В (-5; 9)

Г [-5; 9]

5. Знайдіть область значень функції, заданої формулою f(x) - х2 + 1.

А (-∞; + ∞)

Б (-∞; 1]

В [1; + ∞)

Г [0;+∞)

6. Укажіть кількість коренів рівняння

А 0

Б 1

В 2

Г 3

7. Розв’яжіть нерівність

А (-∞;-5] U [1; 2)

Б [1; 2)

В [1; 2) U {-5}

Г (-∞; 5]

8. Розв’яжіть рівняння || 2x - 3 | - 5 | = 4 і знайдіть добуток всіх його коренів.

А 6

Б 12

В -18

Г -36

9. Побудуйте графік функції (запишіть розв’язання).

10. Розв’яжіть нерівність залежно від значень параметра а (запишіть розв’язання).

Пройдіть онлайн-тестування на сайті lnteractlve.ranok.com.ua.

Теми навчальних проектів

1. Функції навколо нас (див. інтернет-підтримку підручника).

2. Діофант і його рівняння.

3. Метод областей.

4. Побудова ліній у полярній системі координат.

Про становлення алгебри як науки та відкриття видатних математиків можна дізнатися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити