Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ ВИ:

► дізнаєтеся про корінь n-го степеня та його властивості;

► ознайомитеся зі степеневою функцією та її властивостями;

► навчитеся розв'язувати ірраціональні рівняння та нерівності

§10 КОРІНЬ n-го СТЕПЕНЯ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ. ФУНКЦІЯ КОРЕНЯ n-го СТЕПЕНЯ ТА ЇЇ ГРАФІК

Таблиця 11

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Означення кореня n-го степеня

Поняття кореня квадратного з числа а вам відомо: це таке число, квадрат якого дорівнює а. Аналогічно означають і корінь n-го степеня з числа а, де n — довільне натуральне число, більше за 1.

Означення. Коренем n-го степеня з числа а називається таке число, n-й степінь якого дорівнює а.

Наприклад, корінь третього степеня з числа 27 дорівнює 3, оскільки 3³ = 27; корінь третього степеня з числа -27 дорівнює -3, оскільки (-3) =-27. Числа 2 і -2 є коренями четвертого степеня з 16, оскільки 2⁴ = 16 і (-2)⁴ = 16.

При n = 2 та n = 3 корені n-го степеня називають також відповідно квадратним та кубічним коренями.

Як і для квадратного кореня, для кореня n-го степеня вводять поняття арифметичного кореня.

Означення. Арифметичним коренем n-го степеня з числа а називається невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.

При а ≥ 0 для арифметичного значення кореня n-го степеня з числа а існує спеціальне позначення : число n називають показником кореня, а саме число а — підкореневим виразом. Знак і вираз називають також радикалом.

Наприклад, те, що корінь третього степеня з числа 27 дорівнює 3, записують так: = 3; те, що корінь четвертого степеня з 16 дорівнює 2, записують так: = 2. Але для запису того, що корінь четвертого степеня з 16 дорівнює -2, позначення немає.

При а < 0 значення кореня n-го степеня з числа а існує тільки при непарних значеннях n (оскільки не існує такого дійсного числа, парний степінь якого буде від’ємним числом). У цьому випадку корінь непарного степеня n із числа а також позначають . Наприклад, те, що корінь третього степеня з числа -27 дорівнює -З, записують так: = -3. Оскільки -3 — від’ємне число, то не є арифметичним значенням кореня. Але корінь непарного степеня з від’ємного числа можна виразити через арифметичне значення кореня за допомогою формули

• Щоб довести наведену формулу, зауважимо, що за означенням кореня n-го степеня ця рівність буде правильною, як що

Дійсно, а це й означає, що

Наприклад,

Зазначимо також, що значення має той самий знак, що й число а, оскільки при піднесенні до непарного степеня знак числа не змінюється.

Також за означенням кореня n-го степеня можна записати, що в тому випадку, коли існує значення , виконується рівність і, зокрема, при а > 0

Область допустимих значень виразів із коренями n-го степеня. Розв’язки рівняння хⁿ = a (n ∈ N)

Відповідний матеріал див. в п. 2 табл. 11, а обґрунтування - в інтернет-підтримці підручника.

* Усі властивості виразів виду наведено для випадку n ∈ N, n > 2. При n = 1 домовилися вважати, що

Властивості кореня n-го степеня

Зазначені властивості можна обґрунтувати, спираючись на означення кореня n-го степеня.

1) Формула була обґрунтована в п. 1 пояснень.

• Нагадаємо, що за означенням кореня n-го степеня для доведення рівності = B (при А ≥ 0, В ≥ 0) достатньо перевірити рівність Вⁿ = А.

2) Вираз розглянемо окремо при n = 2k + 1 (непарне) і при n = 2k (парне). Якщо n — непарне, то враховуємо те, що вираз існує при будь-яких значеннях а і що знак збігається зі знаком а:

Якщо n — парне, то враховуємо те, що вираз позначає арифметичне значення кореня n-го степеня (отже, і що | а |^2k = а^2k . Тоді

3) Формулу при а ≥ 0 обґрунтуємо, розглядаючи її справа наліво.

Оскільки то за означенням

4) Справедливість формули при а ≥ 0 випливає з рівності

5) Для обґрунтування формули при а ≥ 0, b ≥ 0 викоpистовуємо рівність

6) Для обґрунтування формули при а ≥ 0, b > 0 використовуємо рівність

7) Властивість кореня при а ≥ 0 випливає з рівності

Наприклад, (показник кореня і показник степеня підкореневого виразу поділили на натуральне число 3).

Із формули можна одержати важливі наслідки.

При

Розглядаючи одержану формулу зліва направо, маємо формулу винесення невід’ємного множника з-під знака кореня: а справа наліво — формулу внесення невід’ємного множника під знак кореня:

Наприклад,

8) Зазначимо ще одну властивість коренів n-го степеня: для будь-яких невід’ємних чисел а і b якщо а > b, то

Доведемо це методом від супротивного. Припустимо, що

Тоді при піднесенні обох частин останньої нерівності з невід’ємними членами до n-го степеня (із збереженням знака нерівності) одержуємо правильну нерівність a ≤ b. Це суперечить умові а > b. Отже, наше припущення неправильне і

Узагальнення властивостей кореня n-го степеня

Основна частина формул, які виражають властивості коренів n-го степеня, обґрунтована для невід’ємних значень підкореневих виразів. Але інколи доводиться виконувати перетворення виразів із коренями n-го степеня і в тому випадку, коли таких обмежень немає, наприклад добувати корінь квадратний (або в загальному випадку корінь парного степеня) з добутку ab від’ємних чисел (а < 0, b < 0). Тоді ab > 0 і існує, проте формулою

скористатися, не можна: вона обгрунтована тільки для невід’ємних значень а і b. Але у випадку ab > 0 маємо: ab = | a | = | а | ∙ | b | і тепер | а | > 0 та | b |>0. Отже, для добування кореня з добутку можна використати формулу (1).

Тоді при а < 0, b < 0 можемо записати:

Зазначимо, що одержана формула справедлива і при а ≥ 0, b ≥ 0, оскільки в цьому випадку | а | = а і |b| = b. Отже, при ab ≥ 0

Аналогічно можна узагальнити властивість 6. При

Слід зазначити, що в тих випадках, коли обґрунтування основних формул можна повторити і для від’ємних значень а і b, такими формулами можна користуватися для будь-яких а і b (з ОДЗ лівої частини формули).

Наприклад, для коренів непарного степеня для будь-яких значень а і b

(2)

Дійсно, ліва і права частини цієї формули існують при будь-яких значеннях а та b і виконується рівність

тоді за означенням кореня (2k + 1)-го степеня виконується і рівність (2).

Наприклад, при будь-яких значеннях а і b.

Але деякими формулами не вдається скористатися для довільних значень а і b. Наприклад, якщо ми за основною властивістю кореня запишемо, що (показник кореня і показник степеня підкореневого виразу поділили на натуральне число 2), то одержана рівність не буде тотожністю, оскільки при а = - 1 (ліва і права частини цієї рівності означені при всіх значеннях а) отримаємо тобто 1 = -1 — неправильну рівність.

Отже, при діленні показника кореня і показника степеня підкореневого виразу на парне натуральне число потрібно узагальнити основну властивість кореня. Для , цього достатньо помітити, що a² = | a |², і тепер основа степеня підкореневого виразу | а | ≥ 0, а отже, можна використати основну формулу (властивість 7):

У загальному випадку, якщо при використанні основної властивості кореня доводиться ділити показник кореня і показник степеня підкореневого виразу на парне натуральне число, то в результаті основу степеня підкореневого виразу потрібно брати за модулем, тобто

Аналогічно можна обґрунтувати й інші приклади використання основних властивостей коренів при довільних значеннях а і b (з ОДЗ лівої частини формули), які наведено в табл. 12.

Отже, якщо за умовою завдання на перетворення виразів із коренями n-го степеня (ірраціональних виразів) відомо, що всі змінні (які входять до запису заданого виразу) набувають невід’ємних значень, то для перетворення цього виразу можна користуватися основними формулами, а якщо такої умови немає, то необхідно аналізувати ОДЗ заданого виразу і тільки після цього вирішувати, якими формулами користуватися — основними чи узагальненими (див. приклад 5 до цього параграфа).

3 обґрунтуванням властивостей функції y = ( n ∈ N, n ≥ 2) та її графіка, наведених у табл. 11, можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

Таблиця 12

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Знайдіть значення виразу:

Коментар

Використаємо означення кореня n-го степеня. Запис = b означає, що bⁿ = а.

Розв’язання

Приклад 2

Знайдіть значення виразу:

Коментар

Використаємо властивості кореня n-го степеня і врахуємо, що кожну формулу, яка виражає ці властивості, можна застосувати як зліва направо, так і справа наліво. Наприклад, для розв’язування

завдання 1 скористаємося формулою а для розв’язування завдання 2 — цією самою формулою, але записаною справа наліво, тобто:

(при а ≥ 0 , b ≥ 0).

Розв’язання

Приклад 3

Порівняйте числа:

Коментар

Для порівняння заданих чисел у кожному завданні достатньо привести всі корені до одного показника кореня й урахувати, що для будь-яких невід’ємних чисел а і b, якщо а >b, то

Розв’язання

Приклад 4

Подайте вираз у вигляді дробу, знаменник якого не містить кореня n-го степеня:

Коментар

У завданні 1 урахуємо, що отже, після множення чисельника і знаменника заданого дробу на знаменник можна буде записати без знака радикала.

У завданні 2 достатньо чисельник і знаменник заданого дробу домножити на різницю - 1 ≠ 0 (щоб одержати в знаменнику формулу різниці квадратів).

Але виконання аналогічного перетворення в завданні 3 пов’язане з певними проблемами. ОДЗ виразу є а ≥ 0 (і всі тотожні перетворення потрібно виконувати для всіх значень а ≥ 0). Ми хочемо домножити чисельник і знаменник заданого дробу на вираз = 1. За основною властивістю дробу це можна зробити тільки для випадку, коли — 1 ≠ 0, тобто тільки при а ≠ 1. Але а = 1 входить до ОДЗ початкового виразу, і тому вибраний нами спосіб розв’язування приведе до звуження ОДЗ початкового виразу. Дійсно, якщо записати, що

то ця рівність не буде тотожністю, оскільки не виконується для а = 1 з ОДЗ початкового виразу. У цьому разі, щоб не припуститися помилок, можна користуватися таким орієнтиром.

Якщо для тотожних перетворень (або для розв'язування рівнянь і нерівностей) доводиться використовувати перетворення (або формули), які приводять до звуження ОДЗ початкового виразу, то значення, на які звужується ОДЗ заданого виразу, слід розглянути окремо.

Розв’язання

Приклад 5*

Спростіть вираз

Коментар

В умові не вказано, що значення а невід’ємні, тому маємо спочатку визначити ОДЗ заданого виразу.

Заданий вираз існує при будь-яких значеннях а (ОДЗ: будь-яке а ∈ R), і його перетворення потрібно виконати на всій ОДЗ.

Можливими є декілька шляхів перетворення заданого виразу, наприклад:

1) спочатку розглянути корінь квадратний із добутку, а потім скористатися формулою кореня з кореня і основною властивістю кореня;

2) внести вираз а⁴ під знак кубічного кореня, а потім теж використати формулу

кореня з кореня і основну властивість кореня.

На кожному з цих шляхів ураховуємо, що при будь-яких значеннях а значення а ≥ 0 і а ≥ 0 (отже, для цих виразів можна скористатися основними формулами). Використовуючи основну властивість кореня, доводиться ділити показник кореня і показник степеня підкореневого виразу на парне натуральне число 2. Тому в результаті основу степеня підкореневого виразу потрібно брати за модулем (оскільки а ∈ R).

Розв’язання

І спосіб

II спосіб

Який із запропонованих способів, на вашу думку, доцільніше використовувати для перетворення заданого виразу?

Запитання

1. Дайте означення кореня і арифметичного кореня n-го степеня з числа а. Наведіть приклади.

2. Запишіть і доведіть властивості кореня n-го степеня для невід’ємних значень підкореневих виразів.

3*. Якими властивостями кореня n-го степеня можна користуватися при довільних значеннях змінних (з ОДЗ лівої частини відповідної формули)? Наведіть приклади використання основних формул та їх узагальнень.

4. Запишіть усі розв’язки рівняння:

1) x^2k+1 - a (k ∈ N);

2) x^2k = a (k ∈ N): а) при а > 0; б) при а < 0; в) при а = 0. Наведіть приклади таких рівнянь і розв’яжіть їх.

5. Побудуйте графік функції у = , де n ∈ N , для парних і непарних значень n. Сформулюйте та обґрунтуйте її властивості.

Вправи

10.1. Перевірте правильність рівності: