Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ ВИ:

► дізнаєтеся про корінь n-го степеня та його властивості;

► ознайомитеся зі степеневою функцією та її властивостями;

► навчитеся розв'язувати ірраціональні рівняння та нерівності

§10 КОРІНЬ n-го СТЕПЕНЯ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ. ФУНКЦІЯ КОРЕНЯ n-го СТЕПЕНЯ ТА ЇЇ ГРАФІК

Таблиця 11

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Означення кореня n-го степеня

Поняття кореня квадратного з числа а вам відомо: це таке число, квадрат якого дорівнює а. Аналогічно означають і корінь n-го степеня з числа а, де n — довільне натуральне число, більше за 1.

Означення. Коренем n-го степеня з числа а називається таке число, n-й степінь якого дорівнює а.

Наприклад, корінь третього степеня з числа 27 дорівнює 3, оскільки 33 = 27; корінь третього степеня з числа -27 дорівнює -3, оскільки (-3) =-27. Числа 2 і -2 є коренями четвертого степеня з 16, оскільки 24 = 16 і (-2)4 = 16.

При n = 2 та n = 3 корені n-го степеня називають також відповідно квадратним та кубічним коренями.

Як і для квадратного кореня, для кореня n-го степеня вводять поняття арифметичного кореня.

Означення. Арифметичним коренем n-го степеня з числа а називається невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.

При а ≥ 0 для арифметичного значення кореня n-го степеня з числа а існує спеціальне позначення : число n називають показником кореня, а саме число а — підкореневим виразом. Знак і вираз називають також радикалом.

Наприклад, те, що корінь третього степеня з числа 27 дорівнює 3, записують так: = 3; те, що корінь четвертого степеня з 16 дорівнює 2, записують так: = 2. Але для запису того, що корінь четвертого степеня з 16 дорівнює -2, позначення немає.

При а < 0 значення кореня n-го степеня з числа а існує тільки при непарних значеннях n (оскільки не існує такого дійсного числа, парний степінь якого буде від’ємним числом). У цьому випадку корінь непарного степеня n із числа а також позначають . Наприклад, те, що корінь третього степеня з числа -27 дорівнює -З, записують так: = -3. Оскільки -3 — від’ємне число, то не є арифметичним значенням кореня. Але корінь непарного степеня з від’ємного числа можна виразити через арифметичне значення кореня за допомогою формули

• Щоб довести наведену формулу, зауважимо, що за означенням кореня n-го степеня ця рівність буде правильною, як що

Дійсно, а це й означає, що

Наприклад,

Зазначимо також, що значення має той самий знак, що й число а, оскільки при піднесенні до непарного степеня знак числа не змінюється.

Також за означенням кореня n-го степеня можна записати, що в тому випадку, коли існує значення , виконується рівність і, зокрема, при а > 0

Область допустимих значень виразів із коренями n-го степеня. Розв’язки рівняння хn = a (n ∈ N)

Відповідний матеріал див. в п. 2 табл. 11, а обґрунтування - в інтернет-підтримці підручника.

* Усі властивості виразів виду наведено для випадку n ∈ N, n > 2. При n = 1 домовилися вважати, що

Властивості кореня n-го степеня

Зазначені властивості можна обґрунтувати, спираючись на означення кореня n-го степеня.

1) Формула була обґрунтована в п. 1 пояснень.

• Нагадаємо, що за означенням кореня n-го степеня для доведення рівності = B (при А ≥ 0, В ≥ 0) достатньо перевірити рівність Вn = А.

2) Вираз розглянемо окремо при n = 2k + 1 (непарне) і при n = 2k (парне). Якщо n — непарне, то враховуємо те, що вираз існує при будь-яких значеннях а і що знак збігається зі знаком а:

Якщо n — парне, то враховуємо те, що вираз позначає арифметичне значення кореня n-го степеня (отже, і що | а |2k = а2k . Тоді

3) Формулу при а ≥ 0 обґрунтуємо, розглядаючи її справа наліво.

Оскільки то за означенням

4) Справедливість формули при а ≥ 0 випливає з рівності

5) Для обґрунтування формули при а ≥ 0, b ≥ 0 викоpистовуємо рівність

6) Для обґрунтування формули при а ≥ 0, b > 0 використовуємо рівність

7) Властивість кореня при а ≥ 0 випливає з рівності

Наприклад, (показник кореня і показник степеня підкореневого виразу поділили на натуральне число 3).

Із формули можна одержати важливі наслідки.

При

Розглядаючи одержану формулу зліва направо, маємо формулу винесення невід’ємного множника з-під знака кореня: а справа наліво — формулу внесення невід’ємного множника під знак кореня:

Наприклад,

8) Зазначимо ще одну властивість коренів n-го степеня: для будь-яких невід’ємних чисел а і b якщо а > b, то

Доведемо це методом від супротивного. Припустимо, що

Тоді при піднесенні обох частин останньої нерівності з невід’ємними членами до n-го степеня (із збереженням знака нерівності) одержуємо правильну нерівність a ≤ b. Це суперечить умові а > b. Отже, наше припущення неправильне і

Узагальнення властивостей кореня n-го степеня

Основна частина формул, які виражають властивості коренів n-го степеня, обґрунтована для невід’ємних значень підкореневих виразів. Але інколи доводиться виконувати перетворення виразів із коренями n-го степеня і в тому випадку, коли таких обмежень немає, наприклад добувати корінь квадратний (або в загальному випадку корінь парного степеня) з добутку ab від’ємних чисел (а < 0, b < 0). Тоді ab > 0 і існує, проте формулою

скористатися, не можна: вона обгрунтована тільки для невід’ємних значень а і b. Але у випадку ab > 0 маємо: ab = | a | = | а | ∙ | b | і тепер | а | > 0 та | b |>0. Отже, для добування кореня з добутку можна використати формулу (1).

Тоді при а < 0, b < 0 можемо записати:

Зазначимо, що одержана формула справедлива і при а ≥ 0, b ≥ 0, оскільки в цьому випадку | а | = а і |b| = b. Отже, при ab ≥ 0

Аналогічно можна узагальнити властивість 6. При

Слід зазначити, що в тих випадках, коли обґрунтування основних формул можна повторити і для від’ємних значень а і b, такими формулами можна користуватися для будь-яких а і b (з ОДЗ лівої частини формули).

Наприклад, для коренів непарного степеня для будь-яких значень а і b

(2)

Дійсно, ліва і права частини цієї формули існують при будь-яких значеннях а та b і виконується рівність

тоді за означенням кореня (2k + 1)-го степеня виконується і рівність (2).

Наприклад, при будь-яких значеннях а і b.

Але деякими формулами не вдається скористатися для довільних значень а і b. Наприклад, якщо ми за основною властивістю кореня запишемо, що (показник кореня і показник степеня підкореневого виразу поділили на натуральне число 2), то одержана рівність не буде тотожністю, оскільки при а = - 1 (ліва і права частини цієї рівності означені при всіх значеннях а) отримаємо тобто 1 = -1 — неправильну рівність.

Отже, при діленні показника кореня і показника степеня підкореневого виразу на парне натуральне число потрібно узагальнити основну властивість кореня. Для , цього достатньо помітити, що a2 = | a |2, і тепер основа степеня підкореневого виразу | а | ≥ 0, а отже, можна використати основну формулу (властивість 7):

У загальному випадку, якщо при використанні основної властивості кореня доводиться ділити показник кореня і показник степеня підкореневого виразу на парне натуральне число, то в результаті основу степеня підкореневого виразу потрібно брати за модулем, тобто

Аналогічно можна обґрунтувати й інші приклади використання основних властивостей коренів при довільних значеннях а і b (з ОДЗ лівої частини формули), які наведено в табл. 12.

Отже, якщо за умовою завдання на перетворення виразів із коренями n-го степеня (ірраціональних виразів) відомо, що всі змінні (які входять до запису заданого виразу) набувають невід’ємних значень, то для перетворення цього виразу можна користуватися основними формулами, а якщо такої умови немає, то необхідно аналізувати ОДЗ заданого виразу і тільки після цього вирішувати, якими формулами користуватися — основними чи узагальненими (див. приклад 5 до цього параграфа).

3 обґрунтуванням властивостей функції y = ( n ∈ N, n ≥ 2) та її графіка, наведених у табл. 11, можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

Таблиця 12

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Знайдіть значення виразу:

Коментар

Використаємо означення кореня n-го степеня. Запис = b означає, що bn = а.

Розв’язання

Приклад 2

Знайдіть значення виразу:

Коментар

Використаємо властивості кореня n-го степеня і врахуємо, що кожну формулу, яка виражає ці властивості, можна застосувати як зліва направо, так і справа наліво. Наприклад, для розв’язування

завдання 1 скористаємося формулою а для розв’язування завдання 2 — цією самою формулою, але записаною справа наліво, тобто:

(при а ≥ 0 , b ≥ 0).

Розв’язання

Приклад 3

Порівняйте числа:

Коментар

Для порівняння заданих чисел у кожному завданні достатньо привести всі корені до одного показника кореня й урахувати, що для будь-яких невід’ємних чисел а і b, якщо а >b, то

Розв’язання

Приклад 4

Подайте вираз у вигляді дробу, знаменник якого не містить кореня n-го степеня:

Коментар

У завданні 1 урахуємо, що отже, після множення чисельника і знаменника заданого дробу на знаменник можна буде записати без знака радикала.

У завданні 2 достатньо чисельник і знаменник заданого дробу домножити на різницю - 1 ≠ 0 (щоб одержати в знаменнику формулу різниці квадратів).

Але виконання аналогічного перетворення в завданні 3 пов’язане з певними проблемами. ОДЗ виразу є а ≥ 0 (і всі тотожні перетворення потрібно виконувати для всіх значень а ≥ 0). Ми хочемо домножити чисельник і знаменник заданого дробу на вираз = 1. За основною властивістю дробу це можна зробити тільки для випадку, коли — 1 ≠ 0, тобто тільки при а ≠ 1. Але а = 1 входить до ОДЗ початкового виразу, і тому вибраний нами спосіб розв’язування приведе до звуження ОДЗ початкового виразу. Дійсно, якщо записати, що

то ця рівність не буде тотожністю, оскільки не виконується для а = 1 з ОДЗ початкового виразу. У цьому разі, щоб не припуститися помилок, можна користуватися таким орієнтиром.

Якщо для тотожних перетворень (або для розв'язування рівнянь і нерівностей) доводиться використовувати перетворення (або формули), які приводять до звуження ОДЗ початкового виразу, то значення, на які звужується ОДЗ заданого виразу, слід розглянути окремо.

Розв’язання

Приклад 5*

Спростіть вираз

Коментар

В умові не вказано, що значення а невід’ємні, тому маємо спочатку визначити ОДЗ заданого виразу.

Заданий вираз існує при будь-яких значеннях а (ОДЗ: будь-яке а ∈ R), і його перетворення потрібно виконати на всій ОДЗ.

Можливими є декілька шляхів перетворення заданого виразу, наприклад:

1) спочатку розглянути корінь квадратний із добутку, а потім скористатися формулою кореня з кореня і основною властивістю кореня;

2) внести вираз а4 під знак кубічного кореня, а потім теж використати формулу

кореня з кореня і основну властивість кореня.

На кожному з цих шляхів ураховуємо, що при будь-яких значеннях а значення а ≥ 0 і а ≥ 0 (отже, для цих виразів можна скористатися основними формулами). Використовуючи основну властивість кореня, доводиться ділити показник кореня і показник степеня підкореневого виразу на парне натуральне число 2. Тому в результаті основу степеня підкореневого виразу потрібно брати за модулем (оскільки а ∈ R).

Розв’язання

І спосіб

II спосіб

Який із запропонованих способів, на вашу думку, доцільніше використовувати для перетворення заданого виразу?

Запитання

1. Дайте означення кореня і арифметичного кореня n-го степеня з числа а. Наведіть приклади.

2. Запишіть і доведіть властивості кореня n-го степеня для невід’ємних значень підкореневих виразів.

3*. Якими властивостями кореня n-го степеня можна користуватися при довільних значеннях змінних (з ОДЗ лівої частини відповідної формули)? Наведіть приклади використання основних формул та їх узагальнень.

4. Запишіть усі розв’язки рівняння:

1) x2k+1 - a (k ∈ N);

2) x2k = a (k ∈ N): а) при а > 0; б) при а < 0; в) при а = 0. Наведіть приклади таких рівнянь і розв’яжіть їх.

5. Побудуйте графік функції у = , де n ∈ N , для парних і непарних значень n. Сформулюйте та обґрунтуйте її властивості.

Вправи

10.1. Перевірте правильність рівності:

10.2°. Обчисліть:

У завданнях 10.3-10.7 знайдіть значення виразу.

10.3.

10.4.

10.5.

10.6°.

10.7°.

10.8. Порівняйте числа:

10.9°. Визначте, при яких х має зміст вираз:

10.10. Подайте вираз у вигляді дробу, знаменник якого не містить кореня n-го степеня:

10.11. Винесіть множник з-під знака кореня (а > 0, b > 0):

10.12. Винесіть множник з-під знака кореня:

10.13. Внесіть множник під знак кореня (а > 0, b > 0):

10.14. Внесіть множник під знак кореня:

10.15. Спростіть вираз:

10.16*. Спростіть вираз:

10.17. Спростіть вираз:

10.18°. Розв’яжіть рівняння:

10.19. Побудуйте графік функції:

10.20. Розв’яжіть графічно рівняння:

Перевірте підстановкою, що значення х є коренем рівняння.

10.21. Доведіть, що рівняння, наведені в завданні 10.20, не мають інших коренів, крім знайдених графічно.

Виявіть свою компетентність

10.22. Перевірте правильність виконання завдання 10.20, побудувавши відповідні графіки за допомогою комп’ютерних програм.






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити