Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

§11 ІРРАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ

Таблиця 13

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Розв’яжіть рівняння

Коментар

Ізолюємо один корінь і піднесемо обидві частини рівняння до квадрата — у такий спосіб ми позбудемося одного кореня. Потім знову ізолюємо корінь і знову піднесемо обидві частини рівняння до квадрата — унаслідок одержимо квадратне рівняння.

Оскільки при піднесенні до квадрата можна одержати сторонні корені, то в кінці виконаємо перевірку отриманих розв’язків.

Розв’язання

Перевірка, х = 1 — корінь

х = 13 — сторонній корінь

Відповідь: 1.

Приклад 2*

Розв’яжіть рівняння

Коментар

Деякі ірраціональні рівняння, що містять кілька коренів n-го степеня, можна звести до систем раціональних рівнянь, замінивши кожний корінь новою змінною.

Після заміни із заданого рівняння отримуємо тільки одне рівняння u + v = 3. Для того щоб одержати друге рівняння, запишемо за означенням кореня n-го степеня

Віднімемо від першої рівності другу (щоб позбутися змінної х) і одержимо ще один зв’язок між u i v: u3 - v2 =-3.

Одержану систему рівнянь розв’язуємо методом підстановки. Слід звернути увагу на те, що, виконуючи обернену заміну, необхідно з’ясувати, чи існує значення х, яке задовольняє обидва співвідношення заміни.

Розв’язання

Нехай

Тоді

Одержуємо систему рівнянь

Із першого рівняння знаходимо v = 3 - u і підставляємо в друге рівняння:

u3 - (3 - u)2 =-3;

u3 - (9 - 6u + u2) =-3;

u3 - u2 + 6u - 6 = 0;

u2 (u - 1) + 6(u - 1) = 0;

(u - 1)(u2 + 6) = 0.

Ураховуючи, що u2 + 6 ≠ 0, одержуємо u = 1. Тоді v = 2.

Маємо систему рівнянь

Із першого рівняння х = 3, що задовольняє і друге рівняння.

Відповідь: 3.

Якщо, розв’язуючи ірраціональні рівняння, ми використовуємо рівняння-наслідки (як у прикладі 1), то в кінці слід виконувати перевірку одержаних розв’язків. Але перевірка іноді є достатньо складною і громіздкою. Для таких рівнянь доводиться використовувати рівносильні перетворення на кожному кроці розв’язування. При цьому необхідно пам’ятати, що всі рівносильні перетворення рівнянь чи нерівностей виконують на ОДЗ заданого рівняння чи нерівності (§ 3), тому, виконуючи рівносильні перетворення ірраціональних рівнянь, необхідно враховувати ОДЗ заданого рівняння. Також досить часто в цих випадках міркують так: для всіх коренів заданого рівняння знаки лівої і правої частин рівняння збігаються, оскільки при підстановці в задане рівняння числа, яке є його коренем, одержують правильну числову рівність. Використовуючи останнє міркування, часто вдається одержати якусь додаткову умову для коренів заданого рівняння і виконувати рівносильні перетворення не на всій ОДЗ даного рівняння, а на якійсь її частині.

Приклад 3

Розв’яжіть рівняння

Розв’язання

ОДЗ:

Розв’язок цієї системи: х ≥ -.

На ОДЗ задане рівняння рівносильне рівнянням:

(1)

Для всіх коренів рівняння (1)

х - 1 ≥ 0. (2)

За цієї умови рівняння (1) рівносильне рівнянням:

Тоді

— входить до ОДЗ і задовольняє умову (2), отже, є коренем заданого рівняння;

— входить до ОДЗ, але не задовольняє умову (2), отже, не є коренем задане рівняння.

Відповідь: 3 + 2.

Коментар

Виконаємо рівносильні перетворення заданого рівняння.

Ураховуючи, що всі рівносильні перетворення виконуються на ОДЗ заданого рівняння, зафіксуємо його ОДЗ.

Переносячи вираз із лівої частини рівняння в праву 3 протилежним знаком, одержуємо рівняння, рівносильне заданому.

У рівнянні обидві частини невід’ємні, отже, при піднесенні обох частин до квадрата одержуємо рівняння, рівносильне заданому, яке рівносильне рівнянню (1).

Для всіх коренів рівняння (1) воно є правильною числовою рівністю. У цій рівності права частина — невід’ємне число тоді і ліва частина є невід’ємним числом, тобто х - 1 ≥ 0 для всіх коренів.

Тоді за умови (2) обидві частини рівняння (1) невід’ємні, отже, при піднесенні обох частин до квадрата одержуємо рівносильне рівняння. Але після того як знайдено корені цього рівняння, необхідно перевірити не тільки те, чи входять вони до ОДЗ, а й те, чи задовольняють умову (2). Для такої перевірки достатньо взяти наближені значення коренів х1 =6,4 та х2 = -0,4

Запитання

1. Назвіть та обґрунтуйте основні методи розв’язування ірраціональних рівнянь. Наведіть приклади їх застосування.

2. Поясніть, чому для розв’язування рівнянь зручно використати заміну змінної. Укажіть заміну для кожного рівняння. Розв’яжіть ці рівняння.

Вправи

Розв’яжіть рівняння 11.1—11.6.

11.1.

11.2.

11.3.

11.4.

11.5.

11.6*.

Розв’яжіть систему рівнянь 11.7—11.8.

11.7.

11.8*.

11.9. Розв’яжіть ірраціональне рівняння за допомогою рівносильних перетворень:

Розв’яжіть рівняння 11.10-11.11.

11.10*.

11.11*.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити