Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік
Розділ 2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ
§12 УЗАГАЛЬНЕННЯ ПОНЯТТЯ СТЕПЕНЯ. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ, ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІК
12.1. Узагальнення поняття степеня
Таблиця 14
ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ
Вам відомі поняття степенів із натуральним і цілим показниками. Нагадаємо їх означення та властивості.
Якщо n — натуральне число, більше за 1, то для будь-якого дійсного числа а
тобто аn дорівнює добутку n співмножників, кожен із яких дорівнює а. При n = 1 вважають, що а1 = а.
Якщо а ≠ 0, то а0 = 1 і 
де n — натуральне число.
Також вам відомі основні властивості степенів:
Нагадаємо ще одну корисну властивість:
Узагальнимо поняття степеня для виразів виду 
і т. п., тобто для степенів із раціональними показниками. Відповідне означення бажано дати так, щоб степені з раціональними показниками мали ті самі властивості, що й степені з цілими показниками.
Наприклад, якщо ми хочемо, щоб виконувалася властивість 
то повинна виконуватися рівність 
Але за означенням кореня n-го степеня остання рівність означає, що число 
є коренем n-го степеня з числа аm. Це приводить нас до такого означення.
Означення. Степенем числа а > 0 з раціональним показником r = 
де m — ціле число, an — натуральне число (n > 1), називається число 
Також за означенням приймемо, що при r > 0 0r = 0.
Наприклад, за означенням степеня з раціональним показником 
Зауваження. Значення степеня з раціональним показником 
(де n > 1) не означають при а < 0.
Це пояснюють тим, що раціональне число r можна подати різними способами у вигляді дробу:
де k — будь-яке натуральне число.
При а > 0, використовуючи основну властивість кореня і означення степеня з раціональним показником, маємо:
Отже, при а> 0 значення аr не залежить від форми запису r.
При а < 0 ця властивість не зберігається. Наприклад, якщо 
то повинна виконуватися рівність 
Але при а = -1 одержуємо:
тобто при від’ємних значеннях а маємо: 
Через це означення степеня 
(m — ціле, n — натуральне, не дорівнює 1) для від’ємних значень а не вводять.
В інтернет-підтримці підручника наведено обґрунтування властивостей степенів з раціональним показником і розглянуто поняття степеня з ірраціональним показником.
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ
Приклад 1
Подайте вираз у вигляді степеня з раціональним показником:
Коментар
За означенням степеня з раціональним показником для а > 0 
Для завдання 3 врахуємо, що вираз 
означений також і при а = 0.
У завданні 4 при а < 0 ми не маємо права користуватися наведеною вище формулою. Але якщо врахувати, що а2 = | а2 | , то для основи | а | зазначеною формулою вже можна скористатися, оскільки |а| ≥ 0.
Розв’язання
Приклад 2
Коментар
Використовуємо означення степеня з раціональним показником:
де а > 0, а при виконанні завдання 3 враховуємо, що вираз 
не означено при а < 0.
Розв’язання
Приклад 3
Спростіть вираз:
Коментар
Оскільки задані приклади вже містять вирази 
то а ≥ 0, b ≥ 0, х ≥ 0. Тоді в завданні 1 невід’ємні числа а і b можна подати як квадрати:
і використати формулу різниці квадратів: х2 - у2 =(х - у)(х + у), а в завданні 2 подати невід’ємне число х як куб:
і використати формулу розкладання суми кубів: a3 +b3 =(a + b)(a2 -ab + b2).
Розв’язання
Приклад 4
Розв’яжіть рівняння:
Коментар
Область допустимих значень рівняння 
— усі дійсні числа, а рівняння 
— тільки х > 0.
При піднесенні обох частин рівняння до куба одержуємо рівняння, рівносильне заданому на його ОДЗ. Отже, перше рівняння задовольняють усі знайдені корені, а друге — тільки невід’ємні.
(У завданні 1 також ураховано, що 
а в завданні 2 — що 
Розв’язання
1) 
= 1. ОДЗ: х ∈ R , х2 = 1; х = +1.
Відповідь: ±1.
2*) 
ОДЗ: х ≥ 0.
х2 =1; х = ±1.
Ураховуючи ОДЗ, одержуємо x = 1 .
Відповідь: 1.
Запитання
1. Дайте означення степеня з натуральним, цілим від’ємним і нульовим показниками. Наведіть приклади їх обчислення. При яких значеннях а існують значення виразів а0 та а-n, де n ∈ N?
2. Дайте означення степеня з раціональним показником r = 
, де m — ціле число, а n — натуральне, що не дорівнює 1. Наведіть приклади обчислення таких степенів. При яких значеннях а існують значення виразу 
Укажіть область допустимих значень виразів 
3. Запишіть і обґрунтуйте властивості степенів із раціональними показниками. Наведіть приклади їх використання.
4*. Поясніть на прикладі, як можна ввести поняття степеня з ірраціональним показником.
Вправи
12.1.1°. Подайте заданий вираз у вигляді кореня з числа:
12.1.2. Подайте вираз у вигляді степеня з раціональним показником:
12.1.3°. Чи має зміст вираз:
12.1.4. Знайдіть область допустимих значень виразу:
12.1.5. Знайдіть значення числового виразу:
12.1.6. Розкладіть на множники вираз:
12.1.7. Скоротіть дріб:
12.1.8. Розв’яжіть рівняння:
12.2. Степенева функція, її властивості та графік
Таблиця 15
ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ
Степеневими функціями називають функції виду у = ха, де а — будь-яке дійсне число.
З окремими видами таких функцій ви вже ознайомилися в курсі алгебри 7-9 класів. Це, наприклад, функції у = х1 = х, 
При довільному а графіки і властивості функції у = ха аналогічні відомим вам графікам і властивостям указаних функцій.
Описуючи властивості степеневих функцій, виокремимо ті характеристики функцій, які ми використовували в § 10:
1) область визначення;
2) область значень;
3) парність чи непарність;
4) точки перетину з осями координат;
5) проміжки знакосталості;
6) проміжки зростання і спадання;
7) найбільше і найменше значення функції.
Функція у = ха (а — парне натуральне число)
Якщо а — парне натуральне число, то функція у х2n, n ∈ N, має властивості та графік, повністю аналогічні властивостям і графіку функції у = х2.
Дійсно, область визначення функції у = х2n: D(y) = R, оскільки значення цієї функції можна обчислити при будь-яких значеннях х.
Функція парна: якщо f(x) = x2n, то f(-x) = (-x)2n = x2n = f(x). Отже, графік функції у = х2n симетричний відносно осі Оу.
Оскільки при х = 0 значення у = 0, то графік функції у = х2n завжди проходить через початок координат.
На проміжку [0; + ∞) функція зростає.
• Дійсно, для невід’ємних значень при х2 > х1 (х1 ≥ 0, х2 ≥ 0) одержуємо 
оскільки, як відомо з курсу алгебри 9 класу, при піднесенні обох частин правильної нерівності з невід’ємними членами до парного степеня (зі збереженням знака нерівності) одержуємо правильну нерівність.
На проміжку (-∞;0] функція спадає.
• Дійсно, для недодатних значень х1 і х2 (х1 ≤ 0, х2 ≤ 0), якщо х2 > х1; то -х2 < -х1 (і тепер -х1 ≥ 0, -х2 ≥ 0). Тоді (-х )2n < (-х1)2n отже, 
тобто f(x2) < f(x1).
Для того щоб знайти область значень функції у = х2n, n ∈ N, складемо рівняння х2n = а. Воно має розв’язки для всіх а ≥ 0, (тоді х = ± 
і тільки при таких значеннях а. Усі ці числа і складуть область значень функції. Отже, область значень заданої функції: у ≥ 0, тобто Е(y) = [0; + ∞).
Таким чином, для всіх дійсних значень х значення у ≥ 0 . Найменше значення функції дорівнює нулю (у = 0 при х = 0). Найбільшого значення функція не має.
Зазначимо також, що при х = 1 значення у = 12n =1.
Ураховуючи властивості функції у = х2n, n ∈ N, одержуємо її графік (рис. 12.2.1).
Рис. 12.2.1
Аналогічно можна обґрунтувати властивості степеневої функції для інших показників степеня (див. табл. 15). Виконайте відповідні обґрунтування самостійно. У разі потреби зверніться до інтернет-підтримки підручника.
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ
Приклад 1
Знайдіть область визначення функції:
Коментар
Ураховуємо, що вираз 
означений при а ≥ 0, а вираз 
— тільки при а > 0.
Розв’язання
1) х - 3 ≥ 0, тобто х > 3, отже, D(y) = [3; + ∞)
2) х + 1 > 0, тобто х > -1, отже, D(у) = (-1; + ∞)
Приклад 2
Побудуйте графік функції:
Коментар
Графіки заданих функцій можна отримати із графіків функцій:
за допомогою паралельного перенесення:
1) на +1 уздовж осі Оу;
2) на -2 вздовж осі Ох.
Розв’язання
1) Будуємо графік у = х5 (рис. 12.2.2, а), а потім паралельно переносимо його вздовж осі Оу на +1 (рис. 12.2.2, б).
2) Будуємо графік 
(рис. 12.2.3, а) а потім паралельно переносимо його вздовж осі Ох на -2 (рис. 12.2.3, б).
Рис. 12.2.2
Рис. 12.2.3
Запитання
1. Користуючись графіком відповідної функції, охарактеризуйте властивості функції у = ха, якщо а: парне натуральне число; не парне натуральне число; непарне від’ємне число; парне від’ємне число; неціле від’ємне число; неціле додатне число.
2*. Обґрунтуйте властивості степеневої функції в кожному з випадків. указаних v завданні 1.
Bправи
12.2.1. Знайдіть область визначення функції:
12.2.2. Побудуйте графік функції або рівняння:
12.2.3. Побудуйте й порівняйте графіки функцій:
12.2.4. Розв’яжіть графічно рівняння:
Перевірте підстановкою, що значення х дійсно є коренем рівняння.
12.2.5*. Доведіть, що рівняння, наведені в завданні 12.2.4, не мають інших коренів, крім знайдених графічно.
Виявіть свою компетентність
12.2.6. Висловіть свою думку з приводу того, представникам яких із наведених професій може стати у пригоді знання теми «Степенева функція, її властивості та графік»: інженер-консультант з альтернативної енергетики, інженер з утилізації, аналітик природних катаклізмів, медичний консультант з активного і здорового способу життя, проектувальник індивідуальної фінансової траєкторії.