Розділ 2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

§12 УЗАГАЛЬНЕННЯ ПОНЯТТЯ СТЕПЕНЯ. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ, ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІК

12.1. Узагальнення поняття степеня

Таблиця 14

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Вам відомі поняття степенів із натуральним і цілим показниками. Нагадаємо їх означення та властивості.

Якщо n — натуральне число, більше за 1, то для будь-якого дійсного числа а

тобто аn дорівнює добутку n співмножників, кожен із яких дорівнює а. При n = 1 вважають, що а¹ = а.

Якщо а ≠ 0, то а0 = 1 і де n — натуральне число.

Також вам відомі основні властивості степенів:

Нагадаємо ще одну корисну властивість:

Узагальнимо поняття степеня для виразів виду і т. п., тобто для степенів із раціональними показниками. Відповідне означення бажано дати так, щоб степені з раціональними показниками мали ті самі властивості, що й степені з цілими показниками.

Наприклад, якщо ми хочемо, щоб виконувалася властивість то повинна виконуватися рівність

Але за означенням кореня n-го степеня остання рівність означає, що число є коренем n-го степеня з числа а^m. Це приводить нас до такого означення.

Означення. Степенем числа а > 0 з раціональним показником r = де m — ціле число, an — натуральне число (n > 1), називається число

Також за означенням приймемо, що при r > 0 0^r = 0.

Наприклад, за означенням степеня з раціональним показником  

Зауваження. Значення степеня з раціональним показником (де n > 1) не означають при а < 0.

Це пояснюють тим, що раціональне число r можна подати різними способами у вигляді дробу:

де k — будь-яке натуральне число.

При а > 0, використовуючи основну властивість кореня і означення степеня з раціональним показником, маємо:

Отже, при а> 0 значення аr не залежить від форми запису r.

При а < 0 ця властивість не зберігається. Наприклад, якщо то повинна виконуватися рівність

Але при а = -1 одержуємо:

 

тобто при від’ємних значеннях а маємо:

Через це означення степеня (m — ціле, n — натуральне, не дорівнює 1) для від’ємних значень а не вводять.

В інтернет-підтримці підручника наведено обґрунтування властивостей степенів з раціональним показником і розглянуто поняття степеня з ірраціональним показником.

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Подайте вираз у вигляді степеня з раціональним показником:

Коментар

За означенням степеня з раціональним показником для а > 0

Для завдання 3 врахуємо, що вираз означений також і при а = 0.

У завданні 4 при а < 0 ми не маємо права користуватися наведеною вище формулою. Але якщо врахувати, що а² = | а² | , то для основи | а | зазначеною формулою вже можна скористатися, оскільки |а| ≥ 0.

Розв’язання

Приклад 2

Коментар

Використовуємо означення степеня з раціональним показником:

де а > 0, а при виконанні завдання 3 враховуємо, що вираз не означено при а < 0.

Розв’язання

Приклад 3

Спростіть вираз:

Коментар

Оскільки задані приклади вже містять вирази   то а ≥ 0, b ≥ 0, х ≥ 0. Тоді в завданні 1 невід’ємні числа а і b можна подати як квадрати:

і використати формулу різниці квадратів: х² - у² =(х - у)(х + у), а в завданні 2 подати невід’ємне число х як куб:

і використати формулу розкладання суми кубів: a³ +b³ =(a + b)(a² -ab + b²).

Розв’язання

Приклад 4

Розв’яжіть рівняння:

Коментар

Область допустимих значень рівняння — усі дійсні числа, а рівняння — тільки х > 0.

При піднесенні обох частин рівняння до куба одержуємо рівняння, рівносильне заданому на його ОДЗ. Отже, перше рівняння задовольняють усі знайдені корені, а друге — тільки невід’ємні.

(У завданні 1 також ураховано, що а в завданні 2 — що

Розв’язання

1) = 1. ОДЗ: х ∈ R , х² = 1; х = +1.

Відповідь: ±1.

2*)

ОДЗ: х ≥ 0.

х² =1; х = ±1.

Ураховуючи ОДЗ, одержуємо x = 1 .

Відповідь: 1.

Запитання

1. Дайте означення степеня з натуральним, цілим від’ємним і нульовим показниками. Наведіть приклади їх обчислення. При яких значеннях а існують значення виразів а⁰ та а-n, де n ∈ N?

2. Дайте означення степеня з раціональним показником r = , де m — ціле число, а n — натуральне, що не дорівнює 1. Наведіть приклади обчислення таких степенів. При яких значеннях а існують значення виразу

Укажіть область допустимих значень виразів

3. Запишіть і обґрунтуйте властивості степенів із раціональними показниками. Наведіть приклади їх використання.

4*. Поясніть на прикладі, як можна ввести поняття степеня з ірраціональним показником.

Вправи

12.1.1°. Подайте заданий вираз у вигляді кореня з числа:

12.1.2. Подайте вираз у вигляді степеня з раціональним показником:

12.1.3°. Чи має зміст вираз:

12.1.4. Знайдіть область допустимих значень виразу:

12.1.5. Знайдіть значення числового виразу:

12.1.6. Розкладіть на множники вираз:

12.1.7. Скоротіть дріб:

12.1.8. Розв’яжіть рівняння:

12.2. Степенева функція, її властивості та графік

Таблиця 15

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Степеневими функціями називають функції виду у = х^а, де а — будь-яке дійсне число.

З окремими видами таких функцій ви вже ознайомилися в курсі алгебри 7-9 класів. Це, наприклад, функції у = х¹ = х,

При довільному а графіки і властивості функції у = х^а аналогічні відомим вам графікам і властивостям указаних функцій.

Описуючи властивості степеневих функцій, виокремимо ті характеристики функцій, які ми використовували в § 10:

1) область визначення;

2) область значень;

3) парність чи непарність;

4) точки перетину з осями координат;

5) проміжки знакосталості;

6) проміжки зростання і спадання;

7) найбільше і найменше значення функції.

Функція у = х^а (а — парне натуральне число)

Якщо а — парне натуральне число, то функція у х²ⁿ, n ∈ N, має властивості та графік, повністю аналогічні властивостям і графіку функції у = х².

Дійсно, область визначення функції у = х²ⁿ: D(y) = R, оскільки значення цієї функції можна обчислити при будь-яких значеннях х.

Функція парна: якщо f(x) = x²ⁿ, то f(-x) = (-x)²ⁿ = x²ⁿ = f(x). Отже, графік функції у = х²ⁿ симетричний відносно осі Оу.

Оскільки при х = 0 значення у = 0, то графік функції у = х²ⁿ завжди проходить через початок координат.

На проміжку [0; + ∞) функція зростає.

• Дійсно, для невід’ємних значень при х₂ > х₁ (х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0) одержуємо оскільки, як відомо з курсу алгебри 9 класу, при піднесенні обох частин правильної нерівності з невід’ємними членами до парного степеня (зі збереженням знака нерівності) одержуємо правильну нерівність.

На проміжку (-∞;0] функція спадає.

• Дійсно, для недодатних значень х₁ і х₂ (х₁ ≤ 0, х₂ ≤ 0), якщо х₂ > х₁; то -х₂ < -х₁ (і тепер -х₁ ≥ 0, -х₂ ≥ 0). Тоді (-х )²ⁿ < (-х₁)²ⁿ отже, тобто f(x₂) < f(x₁).

Для того щоб знайти область значень функції у = х²ⁿ, n ∈ N, складемо рівняння х²ⁿ = а. Воно має розв’язки для всіх а ≥ 0, (тоді х = ± і тільки при таких значеннях а. Усі ці числа і складуть область значень функції. Отже, область значень заданої функції: у ≥ 0, тобто Е(y) = [0; + ∞).

Таким чином, для всіх дійсних значень х значення у ≥ 0 . Найменше значення функції дорівнює нулю (у = 0 при х = 0). Найбільшого значення функція не має.

Зазначимо також, що при х = 1 значення у = 1²ⁿ =1.

Ураховуючи властивості функції у = х²ⁿ, n ∈ N, одержуємо її графік (рис. 12.2.1).

Рис. 12.2.1

Аналогічно можна обґрунтувати властивості степеневої функції для інших показників степеня (див. табл. 15). Виконайте відповідні обґрунтування самостійно. У разі потреби зверніться до інтернет-підтримки підручника.

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Знайдіть область визначення функції:

Коментар

Ураховуємо, що вираз означений при а ≥ 0, а вираз — тільки при а > 0.

Розв’язання

1) х - 3 ≥ 0, тобто х > 3, отже, D(y) = [3; + ∞)

2) х + 1 > 0, тобто х > -1, отже, D(у) = (-1; + ∞)

Приклад 2

Побудуйте графік функції:

Коментар

Графіки заданих функцій можна отримати із графіків функцій:

за допомогою паралельного перенесення:

1) на +1 уздовж осі Оу;

2) на -2 вздовж осі Ох.

Розв’язання

1) Будуємо графік у = х⁵ (рис. 12.2.2, а), а потім паралельно переносимо його вздовж осі Оу на +1 (рис. 12.2.2, б).

2) Будуємо графік (рис. 12.2.3, а) а потім паралельно переносимо його вздовж осі Ох на -2 (рис. 12.2.3, б).

Рис. 12.2.2

Рис. 12.2.3

Запитання

1. Користуючись графіком відповідної функції, охарактеризуйте властивості функції у = х^а, якщо а: парне натуральне число; не парне натуральне число; непарне від’ємне число; парне від’ємне число; неціле від’ємне число; неціле додатне число.

2*. Обґрунтуйте властивості степеневої функції в кожному з випадків. указаних v завданні 1.

Bправи

12.2.1. Знайдіть область визначення функції:

12.2.2. Побудуйте графік функції або рівняння:

12.2.3. Побудуйте й порівняйте графіки функцій:

12.2.4. Розв’яжіть графічно рівняння:

Перевірте підстановкою, що значення х дійсно є коренем рівняння.

12.2.5*. Доведіть, що рівняння, наведені в завданні 12.2.4, не мають інших коренів, крім знайдених графічно.

Виявіть свою компетентність

12.2.6. Висловіть свою думку з приводу того, представникам яких із наведених професій може стати у пригоді знання теми «Степенева функція, її властивості та графік»: інженер-консультант з альтернативної енергетики, інженер з утилізації, аналітик природних катаклізмів, медичний консультант з активного і здорового способу життя, проектувальник індивідуальної фінансової траєкторії.