Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

§14 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ ІЗ ПАРАМЕТРАМИ

Під час розв’язування завдань з параметрами, у яких вимагається розв’язати рівняння або нерівність, можна користуватися таким орієнтиром (§ 9).

Будь-яке рівняння чи нерівність із параметрами розв'язують як звичайні рівняння чи нерівність доти, поки всі перетворення або міркування, необхідні для розв'язування, можна виконати однозначно. Але в тому разі, коли якесь перетворення не можна виконати однозначно, розв'язування необхідно розбити на декілька випадків, щоб у кожному з них відповідь через параметри записувалася однозначно.

Також на етапі пошуку плану розв’язування рівнянь чи нерівностей із параметрами або міркуючи над самим розв’язанням, часто буває зручно супроводжувати відповідні міркування схемами, за якими легко простежити, у який саме момент ми не змогли однозначно виконати потрібні перетворення, на скільки випадків довелося розбити розв’язання і чим відрізняється один випадок від іншого.

Зазначимо, що рівняння і нерівності з параметрами найчастіше розв’язують за допомогою їх рівносильних перетворень, хоча інколи використовують і властивості функцій, метод інтервалів для розв’язування нерівностей і рівняння-наслідки.

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ*

Приклад 1

Розв’яжіть рівняння

Коментар

Ми не можемо однозначно дати відповідь на запитання, чи є в заданого рівняння корені, і тому вже на першому кроці повинні розбити розв’язання на два випадки:

1) а < 0 — коренів немає,

2) а ≥ 0 — корені є (див. схему).

Якщо 0, маємо найпростіше ірраціональне рівняння, обидві частини якого невід’ємні. Отже, при піднесенні до квадрата обох його частин одержуємо рівняння, рівносильне заданому. ОДЗ заданого рівняння можна не записувати, її враховано автоматично, бо для всіх коренів одержаного рівняння x - 2 = a2 ≥ 0.

Розв’язання

1) При а < 0 рівняння не має коренів.

2) При а ≥ 0 х - 2 = а2.

Тоді х = а2 + 2.

Відповідь: 1) якщо а < 0, то коренів немає; 2) якщо а ≥ 0, то х = а2 + 2.

* Див. також приклади в інтернет-підтримці підручника.

Приклад 2

Розв’яжіть нерівність

Коментар

Спочатку скористаємося рівносильними перетвореннями:

Якщо в одержані системи параметр а входить лінійно, то в таких випадках іноді буває зручно виразити параметр через змінну, розглянути параметр як функцію від цієї змінної і використати графічну ілюстрацію розв’язування нерівностей (у системі координат хОа, у якій виділяти штриховкою відповідні розв’язки).

Розв’язання

Задана нерівність рівносильна сукупності систем нерівностей:

або

Тоді

(1)

або

(2)

Зобразимо графічно розв’язки систем нерівностей (1) і (2) в системі координат хОа (на рис. 14.1 зафарбовано відповідні області 1 і 2).

Рис. 14.1

Бачимо, що при а ≥ — розв’язків немає (не має зафарбованих точок); якщо -1 ≤ а < -, то пряма а = const перетинає тільки зафарбовану область 1. Причому одержаний інтервал обмежений зліва і справа вітками параболи а = -х2 - х - 1. Але для відповіді нам потрібно записати х через а. Для цього з рівняння х2 + х + а + 1 = 0 знаходимо х:

Як бачимо

тобто

— рівняння правої вітки параболи, а — лівої.

Тоді відповідь у цьому випадку буде такою:

Якщо а < - 1 то пряма а = const перетинає заштриховані області 1 і 2. Для області 1 інтервал для х зліва обмежений прямою х = - 1, а справа — правою віткою параболи, тобто

Для області 2 інтервал для х обмежений зліва прямою х = а, а справа — прямою х = -1, тобто а ≤ х < -1. Об’єднання цих інтервалів можна коротше записати так:

Відповідь: 1) при а ≥ - розв’язків немає;

2) при - 1 ≤ а < -  

3) при а < -1

Вправи

14.1. Розв’яжіть рівняння:

14.2. Розв’яжіть нерівність:

14.3. Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння має корені.

14.4. Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння має тільки один дійсний корінь.

14.5. Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння має тільки один дійсний корінь.

14.6. Визначте кількість розв’язків системи рівнянь залежно від значення параметра а.

Додаткові завдання до теми «Степенева функція» та відомості з історії наведено на сайті interactive.ranok.com.ua.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПІДГОТОВКИ ДО ОЦІНЮВАННЯ

Тест № 2

1. Знайдіть значення виразу

А 7

Б 14

В 28

Г 34

2. Знайдіть значення виразу

3. Обчисліть

4. Знайдіть значення виразу

якщо а = 125, b = 11.

5. Розв’яжіть рівняння

Якщо рівняння має декілька коренів, то у відповідь запишіть їх добуток.

6. Розв’яжіть нерівність

A (-∞; 1)U(6; + ∞) Б (1; 6) В [-3; 1) Г (-3; 1)

7. Розв’яжіть рівняння залежно від значень параметра а (запишіть розв’язання).

Пройдіть онлайн-тестування на сайті interactive.ranok.com.ua.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити