Розділ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ ВИ:

► ознайомитеся з тригонометричними функціями кута і числового аргумента та властивостями цих функцій;

► навчитеся будувати графіки тригонометричних функцій;

► дізнаєтеся про формули тригонометрії

§15 РАДІАННА МІРА КУТІВ

Таблиця 17

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

У курсі геометрії кут означають як геометричну фігуру, утворену двома променями, які виходять з однієї точки. Наприклад, кут АОВ, зображений у першому пункті табл. 17, — це кут, утворений променями ОА і ОВ. Кут можна розглядати також як результат повороту променя на площині навколо початкової точки. Наприклад, повертаючи промінь ОА навколо точки О від початкового положення ОА до кінцевого положення ОВ, теж одержимо кут АОВ. Зауважимо, що досягнути кінцевого положення ОВ можна при повороті променя ОА як за годинниковою стрілкою, так і проти неї.

* Походження та зміст терміна «тригонометрія» див. у рубриці «Відомості з історії» до розділу 3, наведеній в інтернет-підтримці підручника.

Вимірювання кутів

Наведені вище різні означення кута приводять до різного розуміння вимірювання кутів.

У курсі геометрії кожному куту відповідає його градусна міра, яка може знаходитися тільки в межах від 0° до 180°, і тому, наприклад, для прямого кута АОВ (див. п. 2 табл. 17) його міра записується однозначно: ∠АОВ = 90° (нагадаємо, що 1° — це частина розгорнутого кута).

При вимірюванні кутів повороту домовилися вважати напрям повороту проти годинникової стрілки додатним, а за годинниковою стрілкою — від’ємним.

Тому при вимірюванні кутів, утворених при повороті променя навколо початкової точки, можна одержати як додатні, так і від’ємні значення кутів повороту. Наприклад, якщо кут АОВ, у якому промені ОА і ОВ взаємно перпендикулярні, одержано при повороті променя ОА на кут 90° проти годинникової стрілки, то значення кута повороту (3 (див. відповідний рисунок у п. 2 табл. 17) дорівнює +90° (або просто 90°). Якщо той самий кут АОВ одержано при повороті променя О А на кут 270° за годинниковою стрілкою (зрозуміло, що повний оберт — це 360°), то значення кута повороту у дорівнює -270°. Той самий кут АОВ можна одержати також при повороті променя ОА проти годинникової стрілки на 90° і ще на повний оберт; у цьому випадку значення кута повороту дорівнює 90° + З60°, тобто 450° і т. д.

Вибравши як значення кута повороту довільне від’ємне чи додатне число (градусів), ми завжди можемо повернути промінь ОА (за годинниковою стрілкою чи проти неї) і одержати відповідний кут АОВ. Отже, значення кута повороту (у градусах) може набувати всіх дійсних значень від - ∞ до +∞ .

Для вимірювання кутів певний кут приймають за одиницю виміру і за її допомогою вимірюють інші кути. За одиницю виміру можна прийняти будь-який кут.

Нагадаємо, що частина розгорнутого кута — це один градус (1°). У техніці за одиницю виміру кутів приймають повний оберт (зазначимо, що 1 градус — це частина повного оберту).

У мореплавстві за одиницю виміру кутів приймають румб, який дорівнює частині повного оберту.

У математиці та фізиці, крім градусної міри кутів, використовують також радіанну міру кутів.

Якщо розглянути деяке коло, то можна означити радіан у такий спосіб.

Означення. 1 радіан — це центральний кут, що відповідає дузі, довжина якої дорівнює радіусу кола.

Отже, якщо кут АОВ дорівнює одному радіану (рис. 15.1), то це означає, що ∪АВ = ОА = R.

Рис. 15.1

Установимо зв’язок між радіанними і градусними мірами кутів.

Центральному розгорнутому куту АОС (рис. 15.1), який дорівнює 180°, відповідає півколо, тобто дуга, довжина якої дорівнює R , а одному радіану — дуга довжиною R. Отже, радіанна міра розгорнутого кута АОС дорівнює =  

Одержану відповідність між градусною і радіанною мірами кута часто записують так:

180° = радіан.

Із цієї рівності одержуємо такі відповідності:

Приклад 1

Виразіть у радіанній мірі величини кутів: 30°; 45°; 60°; 90°; 270°; 360°.

Оскільки 30° — це частина кута 180°, то з рівності 180° = (рад) одержуємо, що 30° = (рад).

Аналогічно можна обчислити й величини інших кутів. У загальному випадку враховуємо, що 1° = радіан, тоді:

Ураховуючи, що радіанними мірами розглянутих кутів доводиться користуватися досить часто, запишемо одержані результати у вигляді довідкової таблиці.

Таблиця 18

Зауваження. Найчастіше у записі радіанної міри кутів назву одиниці виміру «радіан» (або скорочено рад) не пишуть.

Наприклад, замість рівності 90° = радіан пишуть 90° = .

Приклад 2

Виразіть у градусній мірі величини кутів:

Оскільки — це частина кута , то з рівності = 180° одержуємо, що = 18°. Аналогічно можна обчислити і ве личини кутів та .

У загальному випадку враховуємо, що 1 радіан = , тоді

Запитання

1. Поясніть, як можна означити кут за допомогою повороту променя. Як при такому означенні вимірюють кути?

2. Як ви розумієте такі твердження: «Величина кута дорівнює 450°», «Величина кута дорівнює -225°»? Зобразіть ці кути.

3. Як можна означити кут в 1°?

4. Дайте означення кута в 1 радіан.

5. Чому дорівнює градусна міра кута в радіан?

6. Поясніть на прикладах, як за радіанною мірою кута знайти його градусну міру і, навпаки, за градусною мірою кута знайти його радіанну міру.

Вправи

15.1°. Зобразіть кут, утворений поворотом променя ОА навколо точки О на:

1) 270°; 3) 720°; 5) 225°; 7) 540°; 9) 360°;

2) -270°; 4) -90°; 6) -45°; 8) -180°; 10) -60°.

15.2°. Чому дорівнюють кути повороту, показані на рис. 15.2?

Рис. 15.2

15.3. Виразіть у радіанній мірі величини кутів:

1°) 225°; 3) 100°; 5) -22,5°;

2°) 36°; 4) -240°; 6) -150°.

15.4. Виразіть у градусній мірі величини кутів:

15.5. За допомогою калькулятора (або таблиць) знайдіть радіанні міри кутів:

1) 27°; 2) 132°; 3) 43°; 4) 114°.

15.6. За допомогою калькулятора (або таблиць) знайдіть градусні міри кутів:

1) 0,5585; 2) 0,8098; 3) 3,1416; 4) 4,4454.

Виявіть свою компетентність

15.7. Визначте кут (у градусах і в радіанах), який утворюється внаслідок обертання хвилинної стрілки від моменту часу 1 год 15 хв до моменту часу 1 год 40 хв тієї самої доби. Обговоріть, чи будуть відрізнятися запис самого кута і запис його модуля?

15.8. Маховик двигуна робить 50 обертів за хвилину. На який кут (у градусах і в радіанах) повернеться його спиця ОА (рис. 15.3) за 2 с (напрям обертання позначено на рисунку)?

Рис. 15.3