Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§16 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ КУТА І ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА

Таблиця 19

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

1. Означення тригонометричних функцій

Із курсу геометрії вам відомі означення тригонометричних функцій гострого кута в прямокутному трикутнику й означення тригонометричних функцій кутів від 0° до 180° через коло радіуса R із центром у початку координат (див. табл. 19). Аналогічно можна дати означення тригонометричних функцій довільного кута, але для спрощення означень найчастіше вибирають радіус відповідного кола таким, що дорівнює 1 (з більш детальними відповідними поясненнями можна ознайомитися, звернувшися до інтернет-підтримки підручника).

Коло радіуса 1 із центром у початку координат будемо називати одиничним колом.

Нехай при повороті на кут а точка Р0 (1; 0) переходить у точку Ра (х; у) (тобто при повороті на кут а радіус ОР0 переходить у радіус ОРа) (рис. 16.1).

Рис. 16.1

Означення 1 .Синусом кута а називається ордината точки Ра (х; у) одиничного кола: sin а = у.

Означення 2.Косинусом кута а називається абсциса точки Ра(х; у) одиничного кола: cos а = х .

Означення 3.Тангенсом кута а називається відношення ординати точки Ра(х; у) одиничного кола до її абсциси, тобто відношення .

Отже, tga = (де cosa ≠ 0).

Означення 4. Котангенсом кута а називається відношення абсциси точки Ра(х; у) одиничного кола до її ординати, тобто відношення .

Отже, ctga = (де sina ≠ 0).

Приклад

Користуючись цими означеннями, знайдемо синус, косинус, тангенс і котангенс кута радіан.

Розглянемо одиничне коло (рис. 16.2).

Рис. 16.2

Унаслідок повороту на кут радіус ОР0 переходить у радіус (а точка Р0 переходить у точку

Координати точки можна знайти, використовуючи властивості прямокутного трикутника (з кутами 60° і 30° та гіпотенузою 1):

Тоді:

Аналогічно знаходять значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кутів, указаних у верхньому рядку табл. 20. Зазначимо, що таким чином можна знайти

тригонометричні функції тільки деяких кутів. Тригонометричні функції довільного кута зазвичай знаходять за допомогою калькулятора або таблиць.

Таблиця 20

2. Тригонометричні функції числового аргумента

Уведені означення дозволяють розглядати не тільки тригонометричні функції кутів, а й тригонометричні функції числових аргументів, якщо розглядати тригонометричні функції числа а як відповідні тригонометричні функції кута в а радіан. Отже:

• синус числа а — це синус кута в а радіан;

• косинус числа а — це косинус кута в а радіан.

Наприклад,

(див. також п. 2 табл. 19).

3. Лінії тангенсів і котангенсів

Для розв’язування деяких задач корисно мати уявлення про лінії тангенсів і котангенсів.

Проведемо через точку Р0 одиничного кола пряму АР0, паралельну осі Оу (рис. 16.3). Цю пряму називають лінією тангенсів.

Нехай а — довільне число (чи кут), для якого cosa ≠ 0. Тоді точка Ра не лежить на осі Оу і пряма ОРа перетинає лінію тангенсів у точці А.

Оскільки пряма ОРа проходить через початок координат, то її рівняння y = kx. Але ця пряма проходить через точку Ра з координатами (cosa; sina), отже, координати точки Разадовольняють рівняння прямої y = kx, тобто sina = kcosa. Звідси

Отже, рівняння прямої ОРа таке: У = (tga)x .

Рівняння прямої АР0 х = 1 . Щоб знайти ординату точки А, достатньо в рівняння прямої ОРа підставити х -1. Одержуємо УА=tga.

Рис. 16.3

Отже, тангенс кута (числа) а — це ордината відповідної точки на лінії тангенсів.

(Аналогічно вводять і поняття лінії котангенсів: це пряма СВ, що проходить через точку С(0; 1) одиничного кола паралельно осі Ох (рис. 16.4).

Якщо а — довільне число (чи кут), для якого sin a ≠ O (тобто точка Ра не лежить на осі Ох), то пряма ОРа перетинає лінію котангенсів у деякій точці В(хB; 1).

Аналогічно попередньому обґрунтовують, що xB = ctga. Отже, котангенс кута (числа) a — це абсциса відповідної точки на лінії котангенсів.

Рис. 16.4

Запитання

1. Сформулюйте означення тригонометричних функцій гострого кута в прямокутному трикутнику.

2. Сформулюйте означення тригонометричних функцій довільного кута:

1) використовуючи коло радіуса R і з центром у початку координат;

2) використовуючи одиничне коло.

3. Що мають на увазі, коли говорять про синус, косинус, тангенс і котангенс числа а?

Bправи

1 6.1°. Побудуйте на одиничному колі точку Ра, у яку переходить точка Р0(1; 0) одиничного кола внаслідок повороту на кут а:

У якій координатній чверті міститься точка Ра у завданнях 3—6?

16.2. Знайдіть значення sin a, cos a, tga, ctga (якщо вони існують) при:

16.3°. Користуючись означенням синуса і косинуса, за допомогою одиничного кола вкажіть знаки sin а і cos а, якщо:

16.4*. Користуючись лінією тангенсів, укажіть знак tga, якщо:

16.5*. Користуючись лінією котангенсів, укажіть знак ctga, якщо:





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити